2020年北京海淀区空中课堂初三数学第34课：几何综合之图形关系的再探究 ppt课件 (共2份打包).zip

1、几何综合之图形关系的再探究(上)2020年海淀区空中课堂初三年级数学学科第34课几何综合关注点动或线动或图动的运动变化中的不变量、不变关系.不变量：运动变化过程中 某一线段长度不变、某一角度不变.不变关系：运动变化过程中 某两个或三个线段关系不变，或角度关系不变.几何综合画图：感受图形生成过程识图：图形关系直观猜测不变量、不变关系.推理：证明几何直观所得的猜想.关注点动或线动或图动的运动变化中的不变量、不变关系.解决：画图画图识图识图推理论证推理论证变化中的不变是解题的关键 如图，正方形ABCD中，点E为BC边一动点，连接AE.过点E做EFAE，交DCB的外角的平分线于点F，画图并猜想可能的不

2、变量、不变关系.BAE=FEC有关角的不变量、不变关系BAE+BEA=90FEC+BEA=90EAF+EFA=90EAF=EFA=45?识图识图画图画图有关边的不变量、不变关系?AE=EFAE2+EF2=AF2?慧眼识图AB2+BE2=AE2 如图，正方形ABCD中，点E为BC边一动点，连接AE.过点E做EFAE，交DCB的外角的平分线于点F，画图并猜想可能的不变量、不变关系.如图，正方形ABCD中，点E为BC边一动点，连接AE.过点E做EFAE，交DCB的外角的平分线于点F求证：AE=EF推理推理典型例题全等等量代换等角对等边。如图，正方形ABCD中，点E为BC边一动点，连接AE.过点E做E

3、FAE，交DCB的外角的平分线于点F.求证：AE=EF思路1：如图，在AB上取一点M，使AM=CE，连接ME.还可这样添加辅助线：如图，在AB上取一点M，使BM=BE，连接ME.EAF=EFA=45AB=BC,AM=CEBM=BE,BMEBEM45AME135CF是DCB的外角的平分线 ECF135AEEFFECAEB90B90BAE+AEB90 FECBAE AMEECFAEMCEF AEEFAMCECFME画图识图推理论证生成新图形图形关系不变量、不变关系直观直观猜测新的不变量、不变关系几何直观与逻辑推理的螺旋式上升过程梳 理如图，正方形ABCD中，点E为BC边一动点，连接AE.过点E做E

4、FAE，交DCB的外角的平分线于点F.求证：AE=EF思路2：如图，连接AC，过点E作BC的垂线交AC于点QAEQFEC(ASA)ACB45，EQEC EQ=EC,AQE135CF是DCB的外角的平分线 ECF135AQEECFEQEC,AEEFAEQFECAE=EF.EQ=EC如图，正方形ABCD中，点E为BC边一动点，连接AE.过点E做EFAE，交DCB的外角的平分线于点F.求证：AE=EF思路3：如图，延长AB到P,使BP=BE，连接PE，PC.PC=EF.易得ABECBP(SAS)AE=PC,BAE=BCPAEEFBAE=FEC.FEC=BCPEF/PC易得PEC=ECF=135PE/

5、CF四边形EPCF是平行四边形AE=EF.如图，正方形ABCD中，点E为BC边一动点，连接AE.过点E做EFAE，交DCB的外角的平分线于点F.求证：AE=EF思路4：如图，延长AB交FC的延长线于点H，连接HE易得ABEHBE(SAS)AE=HEEHC=EFCEH=EF.AE=EF如图，正方形ABCD中，点E为BC边一动点，连接AE.过点E做EFAE，交DCB的外角的平分线于点F，求证：AE=EF思路5：如图，连接AC并延长到N，使CN=CF，连接EN.可证ECFECN(SAS)EFEN ENCEAC AE=ENAE=EF如图，正方形ABCD中，点E为BC边一动点，连接AE.过点E做EFAE

6、，交DCB的外角的平分线于点F，求证：AE=EF思路6：如图，以AF为直径，构造辅助圆 AEF=90，点E在圆上.ACF=90，点C在圆上.1=2=45.EAF=1=45AE=EF.一题多解、多解择优一题多解、多解择优几何变换转移线段旋转变换翻折变换小 结 几何综合问题我们应该始终关心“不变量、不变关系”，通过从画图、识图、观察、分析、推理，动中窥定，变中求静，从中探求本质、规律和方法，明确图形之间的内在联系！如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EHDE交DG的延长线于点H，连

7、接BH.根据题意画出图形并猜想可能的不变量、不变关系思考题几何综合之图形关系的再探究(下)2020年海淀区空中课堂初三年级数学学科第34课 如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EHDE交DG的延长线于点H，连接BH.根据题意画出图形并猜想可能的不变量、不变关系ADE=BEH.EDH=EHD=45DE=EH新图、新不变量、新关系？慧眼识图思考题 如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，

8、连接DG，过点E作EHDE交DG的延长线于点H，连接BH.根据题意画出图形并猜想可能的不变量、不变关系BEH=GEH.CG=FG新图、新不变量、新关系、新探究新图、新不变量、新关系、新探究EG=AE+CGBH是ABC的外角的平分线EBH=135.慧眼识图 如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EHDE交DG的延长线于点H，连接BH.ADE=BEHADE+AED=90 BEH+AED=90A=90EHDE慧眼识图 如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A，B重合)，

9、连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EHDE交DG的延长线于点H，连接BH.BEH=GEH.BEH+AED=90EHDE慧眼识图DEG+GEH=90DAEDFE 点A关于直线DE的对称点为FAED=FED 如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EHDE交DG的延长线于点H，连接BH.DAEDFE 点A关于直线DE的对称点为FDA=DF=DC，DFE=A=90RtDGFRtDGC(HL)GF=GCAE=EFEG=EF+FGEG=AE

10、+CG?EG=AE+CG慧眼识图 如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EHDE交DG的延长线于点H，连接BH.DAEDFE 点A关于直线DE的对称点为FDA=DF=DC，DFE=A=90RtDGFRtDGC(HL)GF=GC1=2EDH=453=4DE=EHEDH=EHD=45慧眼识图 如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EHDE交DG的延长线于点H，连接BH.

11、线段BH与AE有怎样的数量关系？你能证明出你的猜想是正确的吗？思路一：通过全等三角形集中线段方法1：在AD上取点M 使得AM=AE,连接MEDMEEBH(SAS)ME=BH,AME为等腰直角三角形，BH是ABC的外角的平分线EBH=135.螺旋式上升思路一：通过全等三角形集中线段方法2：还可这样添加辅助线：如图，过点H作HNAB交AB的延长线于点N如图，延长AB至点N,使得BN=AENEHADE(SAS)N=A=90,NH=AEBNH为等腰直角三角形思路二：通过几何变换（构造平行四边形）集中线段方法3：如图，延长DA至点P,使得AP=AE,连接PE,PB可证得ADEABP(SAS)DE=BP,

12、ADE=ABP由DE=EH,ABP=BEHEH/BPEH=BP四边形BPEH为平行四边形BH=PE在等腰直角APE中,由DEEH，可得ADE=BEH思路二：通过几何变换（构造平行四边形）集中线段方法4：如图，连接AF并延长交BC于点P,连接PHADEBAP(ASA)AE=BP,ADE=BAP四边形AEHP为平行四边形AE=PHBPH为等腰直角三角形思路三：通过构造相似三角形联系线段方法5：如图，连接BD可证得ADB为等腰直角三角形DEH为等腰直角三角形ADBEDH45ADEBDH,ADEBDH 如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称

13、点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EHDE交DG的延长线于点H，连接BH.根据题意画出图形并猜想可能的不变量、不变关系BEH=GEH.CG=FGEG=AE+CGBH是ABC的外角的平分线EBH=135.ADE=BEH.EDH=EHD=45DE=EH.如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A,B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EHDE交DG的延长线于点H.连接BH.(1)求证:GF=GC;(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.人教版八年级（下）第人教版八年级（下）第6969页第页第141

14、4题题(改编）改编）(2018北京27).审题干审图形审结论思考1：如图：点E在AB的延长线上，点G在射线BC上，其余条件不变，探究结论是否依然成立.思考2：如图，如果把正方形改成等边三角形ABC，点E是边BC上的一动点，AEH60，AE=EH，点E在运动过程中，猜想可能的不变量、不变关系，并证明.本节课 我学会了-我感触最深的是-我感到困难的是-课堂小结变化中的不变是解题的关键生成新图形图形关系不变量、不变关系直观直观猜测画图识图推理论证几何综合问题螺旋式上升01比知识更重要的是方法02比方法更重要的是思维 03比思维更重要的是学习兴趣和探索精神（2017北京27题改编）在等腰直角ABC中，ACB90，点P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQCP，过点Q作QHAP于点H，交AB于点M.（1）根据题意画出图形,点P在运动过程中，猜想可能的不变量（2）若PAC，求AMQ的大小（用含的式子表示）.（3）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.课后作业