1、与圆的切线有关的证明2020年海淀区空中课堂初三年级数学学科第15课一、根据已知条件证切线1、切线的定义:直线和圆有 公共点时，这条 直线叫圆的切线。2、切线的性质:圆的切线 于过切点的半径。3、切线的判定:和圆只有 公共点的直线是圆的切线。到圆心距离 半径的直线是圆的切线。经过半径的外端并且 于这条半径的直线是圆的 切线。4、证明直线与圆相切，一般有两种情况：已知直线与圆有公共点，则连 ，证明 。不知直线与圆有公共点，则作 ，证明垂线段的 长等于 。温习梳理温习梳理且只有1个垂直一个等于垂直半径垂直垂直半径1.已知：如图，AB是 O的直径，C是 O上一点，ODBC于点D，过点C作 O的切线，
2、交OD的延长线于点E，连接BE.求证：BE与 O相切.证明：如图，连接证明：如图，连接OC，则，则OCCE，DCODCE90，OCOB，DCODBO，DBODCE90，由垂径定理，得由垂径定理，得CDBD，CDEBDE90，DEDE，CDEBDE(SAS)，DCEDBE，DBODBE90，OBE90，即，即OBBE，OB为为O的半径，的半径，BE与与O相切相切2.如图，AB是 O的直径，弦CDAB于点E，在 O的切线CM上取一点P，使得CPB=COA求证：PB是 O的切线.证明：证明：PCPC与与O相切于点相切于点C，OCOCPC OCP=90 AOC=CPB，AOC+BOC=180，BOC+
3、CPB=180在四边形在四边形PBOC中，中，PBO=360-CPB-BOC-PCO=90 半径半径OBPB PBPB是是O的切线的切线 思考：还有哪种类型的题考察的本质是切线的证明呢？思考：还有哪种类型的题考察的本质是切线的证明呢？二、根据切线证线角关系1.如图，AB是 O的一条弦，E是AB的中点，过点E作ECOA于点C，过点B作 O的切线交CE的延长线于点D.求证：DBDE.证明：如图，证明：如图，CDOA，ACEA90，BD为为O的切线，的切线，OBBD，ABODBE90，OAOB,OABOBA，CEADBE，又又CEABED，BEDDBE，DBDE2.如图，AB是 O的直径，PA、PC
4、分别与 O相切于点A、C，PC交AB的延长线于点D，DEPO交PO的延长线于点E.求证：EPDEDO.证明：证明：PA、PC与与O分别相切于点分别相切于点A、C，PAPC，APOEPD，AB是是O的直径，的直径，PA是是O的切线，的切线，PAAB，DEPO，POADOE，PAOE90，APOEDO，又又APOEPD，EPDEDO 作业布置作业布置 1.在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，的平分线交图形G于点D，连接AD，CD（1）求证：AD=CD；（2）过点D作DE BA，垂足为E，作DF BC
5、，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM若AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数 2.求证：经过直径两端点的切线互相平行.ABC 作业布置作业布置3.如图，OA和OB是 O的半径，并且OAOB，P是OA上任意一点，BP的延长线交 O于Q，过Q作 O的切线交OA的延长线于R，求证：PQR为等腰三角形 作业作业答案答案1.(1)证明：证明：点点O到点到点A，B，C的距离均等于的距离均等于a，图形图形G为以点为以点O为圆心，为圆心，a为半径的圆为半径的圆(如图所示如图所示).BD平分平分ABC，ABDCBD.ADCD；ADCD(2)解：如图所示，连接解：如图所示，连接BM，OD.由由(1)得
6、得ADCD.又又ADCM，CDCM，DBCMBCMDC.DMBC，DBCBDM90.MDCBDM90，即，即BDC90BC是是O的直径的直径.ODOB，ODBOBD.OBDABD，ODBABD.ODAB.BEDE，ODDE.OD是是O的半径，的半径，DE与与O相切相切.直线直线DE与图形与图形G的公共点个数为的公共点个数为1.作业作业答案答案 2.已知：如图，已知：如图，AB 是是 O的直径，的直径，AC、BD是是 O的切线的切线.DCBAO证明：证明：AB 是是 O的直径，的直径，AC、BD是是 O的切线的切线CABDBA=90 CAB+DBA=180 ACBD求证求证:ACBD 作业作业答案答案3.提示：连接连接OQ.由由OB=OQ可证可证OBQOQB;由由OAOB及及RQ为切线可得为切线可得OBAOQR 90;从而可得从而可得OPBPQR,又又OPBRPQ,从而得从而得 PQR RPQ；进而得到进而得到RP=RQ，故，故PQR为等腰三角形为等腰三角形
