2022年九年级中考二轮总复习·数学 专题二 开放性问题 ppt课件.pptx

1、 中考二轮总复习数学专题二开放性问题 开放性问题是相对于条件和结论明确的封闭题而言的，简单来说就是条件（或结论）给定不完全、答案不唯一的一类问题。重在考查学生观察、实验、验证、推理及分析问题和解决问题的能力。题型呈现条件开放型结论开放型综合开放型解题策略观察实验猜想论证解题方法解题方法 解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，有时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等对于开放探究型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展开发散性思维，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论在解开放探究题时，常通过确定结论

2、或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题 这类问题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件。解这种题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向推理，逐步探寻。它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因。考点1 条件开放型问题条件开放型问题 已知四边形ABCD，ABCD，要得出四边形ABCD是平行四边形的结论，还应具备什么条件？【例】条件边 角直接间接 A=CADBCA+B=180AB=CD B=DC+D=180解析 1如图，AC，BD相交于点O，AD，请补充一个条件，使AOBDOC，你补充的条件是 (填出一个即可)ABC=DCBAB=D

3、CBO=COAO=DO条件边 角直接间接 ACB=DBC解析 对应训练对应训练解析 k-1k+10K=0，1,2，3如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线 上分别取点E，F，连结BE，CF.（1）请你添加一个条件，使得BEHCFH，你添加的条件是 ，并证明EHFH平行四边形BFCE为矩形（1）证明：点H是BC的中点 BHCH又EHFH，BHE=CHF BEHCFH（SAS）（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由（2）解：当BH=EH时，四边形BFCE是矩形理由：BHCH，EHFH四边形BFCE是平行四边形对角线互

4、相平分的四边形为平行四边形对角线相等的平行四边形为矩形当BHEH时，BCEFk=4k 40 k 45请举反例说明命题“对于任意实数x，x25x5的值总是整数”是假命题，你举的反例是x_(写出一个x的值即可)6.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是_ (添加一个条件即可)ABC90或ACBD (答案不唯一)7如图，点B在AE上，点D在AC上，ABAD.请你添加一个适当的条件，使ABCADE.(只能添加一个)（1）你添加的条件是：条件边 角直接间接ACAEABCADEBEDCCEEBCCDE（2）添加条件后，请说明ABCADE的理由选CE为条件理由如下：在ABC和ADE中解：ABC

5、ADE(AAS)解条件开放型问题时，在一般方法上运用逆向思维，从结论部分或部分条件出发，逆向思维推出所需条件。【点悟】这类问题是指条件给定，结论不确定，并且符合条件的结论往往呈现多样性。解这种题的一般思路是：充分利用已知条件或图形特征，从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想、类比、猜测等，从而获得所求的结论。考点2 结论开放型问题结论开放型问题 如图，A，P，B，C是O上的四个点，APCBPC60，过点A作O的切线交BP的延长线于点D.【例】（1）求证：ADPBDA；（1）证明：6060E作O的直径AE，连接PEAE是O的直径，AD是O的切线DAEAPE90PADPAE

6、PAEE90PADEPBAEPADPBA又DDADPBDA（2）试探究线段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明你的结论；6060（2）PAPBPC证明：又BPC60PBF是等边三角形PBBF，BFP60BFC180PFB120又BPAAPCBPC120BPABFC在BPA和BFC中BPABFC(AAS)PAFCPAPBCFPFPC在线段PC上截取PFPB，连接BFF60PBPB=PAB=PCB1如图，M是RtABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，这样的直线共有()A1条 B2条 C3条 D4条CNCNM CAB过点M作MN AC于点N过点M作

7、MG AB于点GMGB CAB过点M作MH BC交AC于点HCMH CABGH对应训练对应训练2如图，在44的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分 是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形)若再作一个格点正方形，并涂上 阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形既是轴对称图形，又是中心 对称图形，则这个格点正方形的作法共有()A2种 B3种 C4种 D5种C3直线l过点M(2，0)，该直线的解析式可以写为 (只写出一个即可)解析 设y=kx+b(k0)将M(2，0)代入，得0=-2k+b不定方程k 12-1by=kx+b-224y=x+2y=-x-2y=2x+44二

8、次函数yax2bxc(a0)的图象如图，给出下列四个结论：4acb20；4ac2b；3b2c0；m(amb)ba(m1)，其中正确的个数是()A4 B3 C2 D1B抛物线与x轴有两个交点 b24ac 0 4acb20解析 大于1小于2-2x=-2时，y=4a-2bc 0 4ac 2bb=2a又x=1时，y=a+b+c 0 3b2c0 正确 不正确 正确且m1 当x=1时，y=a-b+c最大 又x=m时，y=am2+bm+cam2+bm+ca-b+cam2+bm+ba m(am+b)+ba 正确 解结论开放型问题时要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在

9、的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维能力和知识应用能力【点悟】此类问题没有明确的条件，没有固定的结论，并且符合条件的结论具有多样性，解答时必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下应该有什么样的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断。考点3 综合开放型开放型 如图，在平面直角坐标系xOy中，A(0，2)，B(0，6)，动点C在直线yx上 若以A，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数有()A2个 B3个 C4个 D

10、5个【例】AB为腰，A为顶角顶点时（即AB=AC）以点A为圆心，AB长为半径作 A与直线y=x交于C1、C2两点解析 AB为腰，B为顶角顶点时（即BA=BC）以点B为圆心，AB长为半径作 B与直线y=x无交点方法2过点B作BE直线y=x，垂足为E.BOE=45，OB=6 B与直线y=x相离（无交点）方法1=(-6)2-4110=-40根据两点间距离公式得42=(0-a)2+(6-a)2假设有交点，设为C（a，a），则BA2=BC2化简得a2-6a+10=0该方程无实数根无交点?AB为底，C为顶角顶点时（即CA=CB）作AB的垂直平分线与直线y=x交于点C3，垂足为点D根据中点坐标公式可得 DC

11、3垂直平分线AB，垂足为点D D为AB的中点 DC3y轴，x轴y轴 DC3x轴 C3（4,4）综上所述，答案3个，选B。1蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的 网络，正六边形的顶点称为格点，ABC的顶点都在格点上设定AB边如图所示，则ABC是直角三角形的个数有()A4个 B6个 C8个 D10个以AB为直角边，A为直角顶点C2C3C1以AB为直角边，B为直角顶点C6C5C4C7C8D以AB为斜边，C为直角顶点D以AB的中点D为圆心AB为半径画圆解析 对应训练对应训练C9C10情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进2.在如图所示的三

12、个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境.情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；（1）情境a，b所对应的函数图象分别是_，_；(填写序号)（2）请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境情境是小芳离开家到公园，休息了一会儿，又走回了家.3如图，OB是O的半径，弦ABOB，直径CDAB，若点P是线段OD上的动点，连接PA，则PAB的度数可以是_ (写出一个即可)60PAB75解析 连接DA、OA，则OAB是等边三角形OAB=AOB=60直径CDABDAB=90-15=75点P是线段OD上的动点 OABPAB DAB答案不唯一4.在下列三个

13、不为0的式子 x2-4,x2-2x,x2-4x+4中,任选两个你喜欢的式子组成一个 分式是 ，把这个分式化简所得的结果是 。选择分式 化简过程化简结果x2-4 和和 x2-2x x2-2x 和和x2-4x+4x2-4 和和x2-4x+4 5如图，AB是O的直径，弦BC4cm，F是弦BC的中点，ABC60.若动点 E以1 cm/s的速度从A点出发在AB上沿着ABA运动，设运动时间为t(s)(0t16)，连接EF，当BEF是直角三角形时，t的值为 (填出一个正确的即可)解析 EFB=90ABEFB ACBE与AB的中点O重合 AB是O的直径 ACB90 ABC60 CAB30 BC4cm AB8c

14、m AO=BO4cm F是弦BC的中点 CF=BF2cmt=4sFEB=90 EFB=30EAE=7cm t=7sBAFEB=90EFB=30t=9sEFB=90EFB ACBE与AB的中点O重合t=12s4或7或9或126如图，在RtABC中，C90，AC4 cm，BC3 cm.动点M，N从点C同时 出发，均以每秒1 cm的速度分别沿CA，CB向终点A，B移动，同时动点P从点B 出发，以每秒2 cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t (单位：秒，0t2.5)（1）当t为何值时，以A、P、M为顶点的三角形与ABC相似？如图，在RtABC中，C90，AC4 cm，BC3 c

15、m根据题意可知以A、P、M为顶点的三角形与ABC相似，分两种情况：当APMABC时当AMPABC时根据勾股定理，得解：（1）综上所述，以A，P，M为顶点的三角形与ABC相似(不合题意，舍去)4 cm3 cm5 cmt cmt cm2t cm（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由4 cm5 cmt cmt cm2t cmH存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值如图，过点P作PHBC于点H.（2）理由如下：则 BHP=C=90 PHACS有最小值 解决综合开放性问题时，需要

16、类比、试验、创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，从而使问题得以解决综合开放型问题的解题方法一般不唯一或解题路径不明确，要求解题者不墨守成规，敢于创新，积极发散思维，优化解题方案和过程【点悟】归纳猜想、开放型探究 二合一型几何综合题【探究发现】如图，ABC是等边三角形，AEF60，EF交等边三角形外角平分线CF所在 的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AEEF成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE，EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上(B，C除外)任意一点时(其他条件不变)，结论AEEF仍然成立 假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“

17、点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图中画出图形，并证明AEEF.【探究发现】如图，ABC是等边三角形，AEF60，EF交等边三角形外角平分线CF所在 的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AEEF成立；ABC是等边三角形AB=AC，BAC=ACB=60点E是BC的中点时 AE BC且AE平分 BAC AEC=90，EAC=30设EF与AC交点为OO AEF6060 FEC=90-60=30 AOE=180-30-60=90AC EFCF是等边ABC外角的平分线 ECF=ACB+ACF=60+6

18、0=120 EFC=180-30-120=30 EFC=FEC EC=FC又AC EF EF=2EOAEO中，AOE=90，EAO=30 AE=2EO AE=EF 但是这种方法有它的特殊性，不能推广到一般情况。解法1：303030我们先看特例【探究发现】如图，ABC是等边三角形，AEF60，EF交等边三角形外角平分线CF所在 的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AEEF成立；G6060120 ABC是等边三角形AB=BC，ABC=ACB=60CF是等边ABC外角的平分线 ECF=ACB+ACF=60+60=120解法2：在AB上截取AG，使AG=EC，连接EGAB-AG=BC-EC即BG=B

19、EBEG是等边三角形 BGE=60 AGE=120 AGE=ECF AEC是ABE的一个外角 AEC=ABC+BAE=60+BAE又 AEC=AEF+FEC且 AEF=60 AEC=60+FEC AEC=60+FEC=60+BAE FEC=BAE AGE ECF（ASA）AE=EF 这种方法就没有特殊性，可以推广到一般情况。选“点E是线段BC上的任意一点”G6060120 ABC是等边三角形AB=BC，ABC=ACB=60CF是等边ABC外角的平分线 ECF=ACB+ACF=60+60=120证法1：在AB上截取AG，使AG=EC，连接EGAB-AG=BC-EC即BG=BEBEG是等边三角形

20、BGE=60 AGE=120 AGE=ECF AEC是ABE的一个外角 AEC=ABC+BAE=60+BAE又 AEC=AEF+FEC且 AEF=60 AEC=60+FEC AEC=60+FEC=60+BAE FEC=BAE AGE ECF（ASA）AE=EF选“点E是线段BC上的任意一点”G60120 ABC是等边三角形ACB=60CF是等边ABC外角的平分线 ECF=ACB+ACF=60+60=120证法2：在CA上截取CG，使CG=CE，连接EGCEG是等边三角形 AGE=120 AGE=ECF AEF=60 AEF=CEG AEG+GEF=CEF+GEF AEG=CEF AGE ECF

21、（ASA）AE=EF EG=EC，CEG=CGE=60比方法1简单，就近原理。选“点E是线段BC上的任意一点”G6060 ABC是等边三角形 ACB=60CF是等边ABC外角的平分线 G=CEG=60证法3：在FC延长线上截取CG，使CG=EC，连接EGECG是等边三角形 EC=EG ECG=FCD=60 G=ACE AEF+FEC=GEC+FEC AEF=GEC AEF=60即 AEC=FEG AEC FEG（ASA）AE=EF也比证法1简单些。D6060选“点E是线段BC延长线上的任意一点”G6060 ABC是等边三角形AB=BC，BAC=ABC=ACB=60CF是等边ABC外角的平分线证

22、明：在BA延长线上截取AG，使AG=EC，连接EGAB+AG=BC+EC 即BG=BEBEG是等边三角形 BGE=60 AGE=ECF GAE是ABE的一个外角 GAE=ABC+AEB=60+AEB又 CEF=AEF+AEB且 AEF=60 CEF=60+AEB GAE=CEF AGE ECF（ASA）AE=EF选“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”G6060 ABC是等边三角形AB=BC，ABC=ACB=60CH是等边ABC外角的平分线 ECF=HCD=60证明：在BA反向延长线上截取BG，使BG=BE，连接EGAB+BG=BC+BE即AG=CEBEG是等边三角形 G=60 G=ECF

23、ABC是ABE的一个外角 AEC=ABC-BAE=60-BAE又 AEC=AEF-FEC且 AEF=60 AEC=60-FEC AEC=60-FEC=60-BAE FEC=BAE AGE ECF（ASA）AE=EF6060又 EBG=ABC=60HD 当点E在线段BC的延长线上时，若CEBC，在图中画出图形，并运用上述结论求出SABCSAEF的值【拓展应用】由数学思考得 AE=EF解：连接AF AEF=60AEF是等边三角形ABCAEF又 ABC也是等边三角形AC=BC，BAC=ACB=60 CE=BCCA=CE CAE=CEA又 CAE+CEA=ACB=60 CAE=CEA=30 BAE=BAC+CAE=60+30=90做一题、学一法；做一题、学一法；会一类、通一片会一类、通一片.学有道，行天下；学有道，行天下；行有恒，天不负行有恒，天不负.