1、专题九专题九 二次函数压二次函数压轴题轴题类型三类型三 等腰三角形判定等腰三角形判定问题问题例例3 如图，抛物线yax2bxc(a0)的图象过点M(2，)，顶点坐标为N(1，)，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上的动点，当PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；(3)在直线AC上是否存在一点Q，使QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由34 33典例精析例3题图A(_，0)，B(_，0)，C(0，_)，设P(_，m)，OB_，OC_，BC_，AC_，AB_，PB ，PC (1)【自主作答】133 1332 32424 m24
2、 2 3mm 热身小练习解：(1)由抛物线顶点坐标为N(1，)，故可设其解析式为ya(x1)2 ，将M(2，)代入，得 a(21)2 ，解得a ，故所求抛物线的解析式为y (x1)2 x2 x ；4 334 334 33333333334 332 333(2)【思维教练】通过二次函数解析式求出点B、C的坐标；然后利用勾股定理求得线段BC的长，当PBC为等腰三角形时，需分PBPC，CPCB，BPBC三种情况讨论【自主作答】(2)y x2 x ，当x0时，y ，C(0，)，当y0时，x2 x 0，解得x1或x3，A(1，0)，B(3，0)，BC 2 ，设P(1，m)，当PBPC时，有 ，解得m0；
3、332 33333332 33322OBOC32222(1)(3)(1)(3)mm 当CPCB时，有CP 2 ，解得m ；当BPBC时，有BP 2 ，解得m2 ；综上所述，当PBC为等腰三角形时，点P的坐标为(1，0)或(1，)或(1，)或(1，2 )或(1，2 )；21(3)m331122(1 3)m 3231131122(3)【思维教练】要使QBM的周长最小，由于BM为定值，则只需QBQM最小，点B与点M为定点，利用“将军饮马”模型，作点B关于直线AC对称的点B，连接MB交AC于Q，点Q即为所求的点【自主作答】(3)存在由(2)知BC2 ，AC2，AB4，BC2AC2AB2，BCAC.如解
4、图，连接BC并延长至B，使BCBC，连接BM，交直线AC于点Q，连接BM、BQ，B、B关于直线AC对称，QBQMQBQMMB，又BM 2，此时QBM的周长最小322(3 0)(2 3)例3题解图 由B(3，0)，C(0，)，易得B(3，2 )设直线MB的解析式为ykxn，将M(2，)，B(3，2 )代入，得 ，解得 ，即直线MB的解析式为y 同理可求得直线AC的解析式为y x .2332 3k nk n 357 35kn37 3.55x333333 联立 ，解得 ，即Q(，)，在直线AC上存在一点Q(，)，使QBM的周长最小37 35533yxyx134 33xy134 33134 33【方法指导】探究等腰三角形存在性的解题方法一般探究等腰三角形存在性的解题方法一般为：为：(1)用点坐标表示三角形三边长的平方；(2)根据等腰三角形的性质，分别令三边长中两两相等，得到三组方程；(3)分别解这三个方程，若方程有解，则这个解即为所求；若方程无解，则不存在这样的三角形此类问题也可以利用数形结合，先找点，再计算：此类问题也可以利用数形结合，先找点，再计算：等腰三角形利用两圆一线找交点，即分已知边为腰时，作圆找点；已知边为底时作线段垂直平分线找点如图所示：分别以点A、B为圆心，以线段AB长为半径作圆，再作AB的垂直平分线，两圆和垂直平分线与l的交点即为所有P点
