1、专题三几何图形中的证明与计算类型四非固定点问题类型四非固定点问题【例例4】如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AD8，AB16，点，点E在在AB边上，边上，与点与点A，B不重合，过点不重合，过点D作作DE的垂线与的垂线与BC的延长线相交于点的延长线相交于点F，连接连接EF，交，交CD于点于点G.(1)若若G为为EF的中点，求的中点，求AE的长；的长；(2)若若DEG是以是以DE为腰的等腰三角形，求为腰的等腰三角形，求tan ADE.【分 析分 析】(1)根 据根 据 A D E C D F，A D C F 9 0 证 明证 明DAEDCF，得到对应边成比例，得到对应边成比例，再根据中点定义
2、即可求解；再根据中点定义即可求解；(2)分情况分情况讨论：当讨论：当DEDG时时，先证明先证明EDF EBF得得DEBE，再根据勾股定理求再根据勾股定理求得得AE的长的长，进而可求进而可求tan ADE；当；当EDEG时时，证明证明DAEFBE，得到得到对应边成比例对应边成比例，求得求得AE的长的长，进而可求进而可求tan ADE.(1)证明：证明：AOOD，OADADO.OC平分平分BOD，DOCCOB，又又DOCCOBOADADO，ADODOC，COAD；(2)解：解：如解图，过点如解图，过点E作作EMFD交交AD的延长线于点的延长线于点M，设设DAC，COAD，ACODAC.AOOC，O
3、ACOCA，OAOD，ODAOAD2，2.(2020烟台烟台)在等边三角形在等边三角形ABC中，点中，点E是边是边AC上一定点，上一定点，点点D是直线是直线BC上一动点，以上一动点，以DE为一边作等边三角形为一边作等边三角形DEF，连接，连接CF.(1)如图，若点如图，若点D在边在边BC上，求证：上，求证：CECFCD；(2)如图，若点如图，若点D在边在边BC的延长线上，的延长线上，请探究线段请探究线段CE，CF与与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由之间存在怎样的数量关系？并说明理由(1)证明：证明：在在CD上截取上截取CHCE，如解图，如解图.ABC是等边三角形，是等边三角形，ECH60
4、.CEH是等边三角形，是等边三角形，EHECCH，CEH60.DEF是等边三角形，是等边三角形，DEFE，DEF60，DEHHEFFECHEF60，DEHFEC，DEH FEC(SAS)，DHCF，CDCHDHCECF，CECFCD；(2)解：解：FCCDCE.理由：理由：ABC是等边三角形，是等边三角形，AB60.过点过点D作作DGAB，交，交AC的延长线于点的延长线于点G，如解图，如解图.GDAB，GDCB60，DGCA60，GDCDGC60，GCD为等边三角形，为等边三角形，DGCDCG，GDC60.EDF为等边三角形，为等边三角形，EDDF，EDFGDC60，EDGFDC，EGD FC
5、D(SAS)，EGFC，FCEGCGCECDCE.(1)证明：证明：AEDE，ADEDAE.CAD90，ADCACD90，DAECAE90，CAEACD，EAEC.AED45CAEACD，ACD22.5.ABAC，BAC90，ACB45，BCDACD22.5，CD平分平分ACB；4(2020海南海南)如图，四边形如图，四边形ABCD是边长为是边长为2的正方形，的正方形，E是是AB的中点，的中点，连接连接DE，点，点F是射线是射线BC上一动点上一动点(不与点不与点B重合重合)，连接，连接AF，交，交DE于点于点G.(1)当点当点F是是BC边的中点时求证：边的中点时求证：ABF DAE；(2)当点当点F与点与点C重合时求重合时求AG的长；的长；(3)在点在点F运动的过程中，当线段运动的过程中，当线段BF为何值时，为何值时，AGAE？请说明理由？请说明理由
