2020年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（9）.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（9） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）复数（1+i）a 是实数，其中 i 为虚数单位，则实数 a 等于（ ） A1 B1 C0 D2 2 （5 分） 已知集合 = *| = ( + 2)+， = *| = 2+ 1+， 则 A （RB） （ ） A B1，+） C （2，1 D （2，1） 3 （5 分）设函数 f（x）= ( ;)， 0 2 2 4，0，若函数 g（x）f（x）ax 恰有两个零 点，则实数 a

2、 的取值范围为（ ） A （0，2） B （0，2 C （2，+） D2，+） 4 （5 分）设 ， 为非零向量，则“| + | | + | |”是“ 与 不共线”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的右焦点为 F，过右顶点 A 且与 x 轴垂 直的直线交双曲线的一条渐近线于 M 点，MF 的中点恰好在双曲线 C 上，则 C 的离心率 为（ ） A5 1 B2 C3 D5 6 （5 分） 九章算术是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题： “今有女子 善织，日益功，疾，初日

3、织六尺，今一月织十一匹三丈（1 匹40 尺，一丈10 尺） ，问 日益几何？”其意思为： “有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越 来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织 6 尺，一月织了十一匹 三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按 30 天算，记该女子一个月中的第 n 天所织布 的尺数为 an，则1:3:29 2:4:30的值为（ ） A14 15 B16 17 C23 24 D2 3 7 （5 分）为了解学生课外使用手机的情况，某学校收集了本校 500 名学生 2019 年 12 月课 余使用手机的总时间（单位：小时）的情况从中随机抽取了 50 名学生，

4、将数据进行整 理，得到如图所示的频率分布直方图已知这 50 名学生中，恰有 3 名女生课余使用手机 的总时间在10，12，现在从课余使用手机总时间在10，12的样本对应的学生中随机抽 第 2 页（共 20 页） 取 3 名，则至少抽到 2 名女生的概率为（ ） A15 56 B3 8 C2 7 D 5 28 8 （5 分）下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ） Ayx+1 Byx3 Cyx3 Dyln|x| 9 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A2 B4 3 C2 3 D1 3 10 （5 分）已知椭圆 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点分别为 F1

5、、F2，过点 F2的直线交 椭圆于 PQ 两点，且|PF1|：|PQ|：|QF1|2：3：4，则椭圆的离心率为（ ） A 17 9 B 17 7 C 51 9 D 17 6 11 （5 分）若函数 f（x）2sinx 在区间, 6 ， 3-上存在最小值2，则非零实数 的取 值范围是（ ） A3，+） B （0，3 C, 3 2 ，0) (0，3- D(， 3 2- ,3， + ) 12 （5 分）已知当 x（1，+）时，关于 x 的方程:(2;) = 1有唯一实数解，则 k 值所在的范围是（ ） A （3，4） B （4，5） C （5，6） D （6，7） 第 3 页（共 20 页） 二填空

6、题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （ 5 分 ） 已 知 t 0 ， 记 () = 0 (1 8 12 + 8242 8 383 + 8 71287 + 8 82568)，则 f（t）的展开式中各项系数和为 14 （5 分）函数 f（x）aex与 g（x）x1 的图象上存在关于 x 轴的对称点，则实数 a 的取值范围为 15 （5 分） 在三棱锥 PABC 中， 平面 PAB平面 ABC， PAB 和ABC 均为边长为 23的 等边三角形， 若三棱锥PABC的四个顶点都在同一个球面上， 则该球的表面积为 16 （5 分）已知 =（ 1

7、 2， 3 2 ） ， = ， = + ，若OAB 是以 O 为直角顶点 的等腰直角三角形，则AOB 的面积是 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn2an2n1， （nN+） （）求证：数列an+2是等比数列； （）求数列n （an+2）的前 n 项和 18 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形 ABB1A1，BB1C1C 均为正方形，且 A1B1B1C1，M 为 CC1的中点，N 为 A1B 的中点 （1）求证：MN平面 ABC； （2）求二面角

8、BMNB1的正弦值； （3）设 P 是棱 B1C1上一点，若直线 PM 与平面 MNB1所成角的正弦值为 2 15，求 1 11的 值 19 （12 分）已知抛物线 E：y22px（p0）过点 Q（1，2） ，F 为其焦点，过 F 且不垂直 于 x 轴的直线 l 交抛物线 E 于 A，B 两点，动点 P 满足PAB 的垂心为原点 O （1）求抛物线 E 的方程； （2）求证：动点 P 在定直线 m 上，并求 的最小值 第 4 页（共 20 页） 20 （12 分）如图是在竖直平面内的一个“通道游戏” 图中竖直线段和斜线段都表示通道， 并且在交点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第

9、二层，依此类 推现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动若在通道的分叉处，小弹子以相同的 概率落入每个通道，记小弹子落入第 n 层第 m 个竖直通道（从左至右）的概率为 P（n， m） 某研究性学习小组经探究发现小弹子落入第n层的第m 个通道的次数服从二项分布， 请你解决下列问题 （）求 P（2，1） ，P（3，2）及 P（4，2）的值，并猜想 P（n，m）的表达式 （不必 证明） （） 设小弹子落入第 6 层第 m 个竖直通道得到分数为 ， 其中 = 4 ，1 3 3，4 6， 试求 的分布列及数学期望 21 （12 分）已知函数 f（x）lnxax （1）讨论 f（x）在其定义域内的单调性；

10、 （2）若 a1，且 f（x1）f（x2） ，其中 0x1x2，求证：x1+x2+x1x23 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 1 + = （ 为参数） 以坐 标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 1，直线 l 的极坐标方程为 = 4 ( ) （1）求：曲线 C1的普通方程； 曲线 C2与直线 l 交点的直角坐标； （2）设点 M 的极坐标为(6， 3)，点 N 是曲线 C1 上的点，求MON 面积的最大值 五解答题（共五

11、解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x3|2|x| 第 5 页（共 20 页） （1）求不等式 f（x）2 的解集； （2）若 f（x）的最大值为 m，正数 a，b，c 满足 a+b+cm，求证：a2+b2+c23 第 6 页（共 20 页） 2020 年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（9） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）复数（1+i）a 是实数，其中 i 为虚数单位，则实数 a 等于（ ） A1 B1 C0 D2 【解答】解

12、：复数（1+i）aa+ai 是实数， a0 故选：C 2 （5 分） 已知集合 = *| = ( + 2)+， = *| = 2+ 1+， 则 A （RB） （ ） A B1，+） C （2，1 D （2，1） 【解答】解：集合 Ax|ylg（x+2）（2，+） ，By|y11，+） ， RB（，1） ； 则 A（RB）（2，1） ， 故选：D 3 （5 分）设函数 f（x）= ( ;)， 0 2 2 4，0，若函数 g（x）f（x）ax 恰有两个零 点，则实数 a 的取值范围为（ ） A （0，2） B （0，2 C （2，+） D2，+） 【解答】解：由 yf（x）ax 恰有两个零点，而当

13、 x0 时，yf（0）00，即 x0 是函数的一个零点， 故当 x0 时， = () 必有一个零点，即函数() = () = ;，0 4 2，0与函数 y a 必有一个交点， 作出函数 h（x）图象如下所示， 第 7 页（共 20 页） 由图可知，要使函数 h（x）与函数 ya 有一个交点，只需 0a2 即可 故实数 a 的取值范围是（0，2） 故选：A 4 （5 分）设 ， 为非零向量，则“| + | | + | |”是“ 与 不共线”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解： 与 不共线，则“| + | | + | |” ，反之不

14、成立，例如反向共线时 “| + | | + | |”是“ 与 不共线”的必要不充分条件 故选：B 5 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的右焦点为 F，过右顶点 A 且与 x 轴垂 直的直线交双曲线的一条渐近线于 M 点，MF 的中点恰好在双曲线 C 上，则 C 的离心率 为（ ） A5 1 B2 C3 D5 【解答】解：双曲线 C： 2 2 2 2 =1，a0，b0 的右顶点为 A（a，0） ，右焦点为 F （c，0） ， M 所在直线为 xa，不妨设 M（a，b） ， MF 的中点坐标为（: 2 ， 2） 代入方程可得 (+ 2 )2 2 ( 2) 2 2 =1， (

15、:) 2 42 = 5 4，e 2+2e40，e= 5 1（负值舍去） 第 8 页（共 20 页） 故选：A 6 （5 分） 九章算术是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题： “今有女子 善织，日益功，疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈（1 匹40 尺，一丈10 尺） ，问 日益几何？”其意思为： “有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越 来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织 6 尺，一月织了十一匹 三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按 30 天算，记该女子一个月中的第 n 天所织布 的尺数为 an，则1:3:29 2:4:30的值为（ ） A1

16、4 15 B16 17 C23 24 D2 3 【解答】解：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列an， a16（尺） ，S301140+30470（尺） ，设公差为 d（尺） ， 则 306+ 3029 2 d470，解得 d= 2 3 则1:3:29 2:4:30 = 151:1 215142 152:1 215142 = 156:15142 3 15(6:2 3):1514 2 3 = 23 24 故选：C 7 （5 分）为了解学生课外使用手机的情况，某学校收集了本校 500 名学生 2019 年 12 月课 余使用手机的总时间（单位：小时）的情况从中随机抽取了 50 名学生，将数据进行

17、整 理，得到如图所示的频率分布直方图已知这 50 名学生中，恰有 3 名女生课余使用手机 的总时间在10，12，现在从课余使用手机总时间在10，12的样本对应的学生中随机抽 取 3 名，则至少抽到 2 名女生的概率为（ ） A15 56 B3 8 C2 7 D 5 28 【解答】解：这 50 名学生中，恰有 3 名女生的课余使用手机总时间在10，12， 调余时间使用手机总时间在10，12的学生总数为：500.0828（名） ， 从课余使用手机总时间在10，12的样本对应的学生中随机抽取 3 名， 基本事件总数 n= 8 3 =56， 第 9 页（共 20 页） 至少抽到 2 名女生包含的基本事

18、件个数 m= 3 3 + 3 251 =16， 至少抽到 2 名女生的概率为 p= = 16 56 = 2 7 故选：C 8 （5 分）下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ） Ayx+1 Byx3 Cyx3 Dyln|x| 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，yx+1，为一次函数，不是奇函数，不符合题意； 对于 B，yx3，为幂函数，是奇函数且在 R 上为增函数，不符合题意； 对于 C，yx3，既是奇函数又是减函数，符合题意； 对于 D，yln|x|= ，0 ()，0，是偶函数不是奇函数，不符合题意； 故选：C 9 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

19、A2 B4 3 C2 3 D1 3 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为底边为直角三角形，高为 2 的三棱锥体 如图所示： 第 10 页（共 20 页） 所以 V= 1 3 1 2 2 1 2 = 2 3 故选：C 10 （5 分）已知椭圆 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点分别为 F1、F2，过点 F2的直线交 椭圆于 PQ 两点，且|PF1|：|PQ|：|QF1|2：3：4，则椭圆的离心率为（ ） A 17 9 B 17 7 C 51 9 D 17 6 【解答】解：设|PF1|2，|PQ|3，|QF1|4，|PF2|2a2，|QF2|2a4， |由|PF2|

20、+|QF2|4a6|PQ|3， a= 9 4，则 PF2= 5 2， 在PF1Q 中，cosQPF1= 22+3242 223 = 1 4， 在PF1F2中，由余弦定理得：|F1F2|=22+ (5 2) 2 2 2 5 2 ( 1 4) = 51 2 ， 即椭圆离心率为 51 2 9 2 = 51 9 故选：C 11 （5 分）若函数 f（x）2sinx 在区间, 6 ， 3-上存在最小值2，则非零实数 的取 值范围是（ ） A3，+） B （0，3 C, 3 2 ，0) (0，3- D(， 3 2- ,3， + ) 【解答】解：当 0 时，由 , 6 ， 3-得 6 3 ，题意知 6 2则

21、 3； 当 0 时，由 , 6 ， 3-得 3 6 ，根据题意知 3 2则 3 2； 3 或 3 2 故选：D 12 （5 分）已知当 x（1，+）时，关于 x 的方程:(2;) = 1有唯一实数解，则 k 值所在的范围是（ ） A （3，4） B （4，5） C （5，6） D （6，7） 第 11 页（共 20 页） 【解答】解：由方程:(2;) = 1，得 xlnx+（2k）xk 即 xlnx（k2）xk， 关于 x 的方程:(2;) = 1有唯一实数解， 即函数 yxlnx 与 y（k2）xk 的图象有唯一交点， 由 yxlnx，得 ylnx+1， 由 y0，得 x 1 ，由 y0，得

22、 0x 1 yxlnx 在（0，1 ）上为减函数，在（ 1 ，+）上为增函数 画出函数 yxlnx 与 y（k2）xk 的图象如图： 直线 y （k2） xk 过定点 P （1， 2） ， 设过点 P 的直线与 yxlnx 相切于 （x0， x0lnx0） ， 则切线的斜率为 lnx0+1k2， 切线方程为 yx0lnx0（lnx0+1） （xx0） ， 把（1，2）代入，可得2x0lnx0（lnx0+1） （1x0）lnx0x0lnx0+1x0， 即 lnx0+3x00 令 g（x）lnx+3x，则 g（x）= 1 10（x1） ， g（x）lnx+3x 在（1，+）上为减函数， 由 g（4

23、）0，g（5）0， x0（4，5） ， 则 k（ln4+3，ln5+3）（4，5） ， 故选：B 第 12 页（共 20 页） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （ 5 分 ） 已 知 t 0 ， 记 () = 0 (1 8 12 + 8242 8 383 + 8 71287 + 8 82568)，则 f（t）的展开式中各项系数和为 1 9 【解答】 解： 因为： () = 0 (1 8 12 + 8242 8 383 + 8 71287 + 8 82568) = 0 （12x）8dx= 1 18（12x） 9| 0 = 1 1

24、8（12t） 9（1 18） （10） 9 = 1 181（12t） 9； 令 t1 可得 f（t）的展开式中各项系数和为： 1 18 2= 1 9 故答案为：1 9 14 （5 分）函数 f（x）aex与 g（x）x1 的图象上存在关于 x 轴的对称点，则实数 a 的取值范围为 （，1 【解答】解：若函数 f（x）aex与 g（x）x1 的图象上存在关于 x 轴对称的点， 则方程 aexx+1a= +1 在 xR 有解， 令 h（x）= +1 ， 可得 h（x）= ，令; =0，可得 x0，x0 时，函数是增函数，x0 时，函数是 减函数，所以 ah（0）= 1 0 =1，故 a（，1， 故

25、答案为： （，1 15 （5 分） 在三棱锥 PABC 中， 平面 PAB平面 ABC， PAB 和ABC 均为边长为 23的 等边三角形，若三棱锥 PABC 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 20 【解答】解：由题意，如图所示，取 AB 中点 E，连结 PE，DE， 延长 CE，交ABC 外接圆于点 D，连结 PD， ABC 是边长为 23的等边三角形， ABC 外接圆半径为 3 3 23 =2，且 CE3，ED1， 平面 PAB平面 ABC，PAB 和ABC 均为边长为 23的等边三角形， 第 13 页（共 20 页） 在直角PAB 中，PE平面 ABC，且 PECE3， 在直

26、角PCE 中，PC= 2+ 2= 32，且 sinPCE= = 3 32 = 1 2， 在直角PED 中，PD= 2+ 2= 1 + 9 = 10， 在直角PCD 中，由正弦定理得 2R= = 10 1 2 =25， 该球的半径 R= 5， 该球的表面积 S4R220 故答案为：20 16 （5 分）已知 =（ 1 2， 3 2 ） ， = ， = + ，若OAB 是以 O 为直角顶点 的等腰直角三角形，则AOB 的面积是 1 【解答】解： ， =（ ） （ + ）0， 展开化简得： 2 2 0，得| | |，| |= 1 4 + 3 4 =1， | | |，即有| | + |， 即 2 +

27、2 2 = 2 + 2 +2 ，即有 =0， 可得 、 是互相垂直的单位向量 因此，| | |= 2，得OAB 的面积 S= 1 2| | |1 故答案为：1 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn2an2n1， （nN+） （）求证：数列an+2是等比数列； （）求数列n （an+2）的前 n 项和 第 14 页（共 20 页） 【解答】解： （I）证明：令 n1，则 a13 Sn2an2n1， （nN+） Sn12an12（n1）1， （n2，nN+） 得：an2an

28、2an12，an2an1+2， :2 1:2 = 2(1:2) 1:2 = 2， an+2是等比数列 （II）由（I）知：数列an+2是首项为：a1+25，公比为 2 的等比数列 + 2 = 5 2;1， (+ 2) = 5 2 2， 设数列n （an+2）的前 n 项和为 Tn，则= 5 2 (1 2 + 2 22+ 3 23+ + 2) 2= 5 2 (1 22+ 2 23+ 3 24+ + 2:1) 得：= 5 2 (2 + 22+ 23+ + 2 2:1) = 5 2 ,2(12 ) 12 2:1-， = 5( 1)2+ 5 18 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，四边

29、形 ABB1A1，BB1C1C 均为正方形，且 A1B1B1C1，M 为 CC1的中点，N 为 A1B 的中点 （1）求证：MN平面 ABC； （2）求二面角 BMNB1的正弦值； （3）设 P 是棱 B1C1上一点，若直线 PM 与平面 MNB1所成角的正弦值为 2 15，求 1 11的 值 【解答】 （1）证明：因为四边形 ABB1A1，BB1C1C 均为正方形，所以 A1B1BB1，BB1 B1C1 又 A1B1B1C1， 第 15 页（共 20 页） 从而以点 B1为坐标原点， 分别以向量1 ，11 11 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向， 建立 如图所示的空间直角坐标系

30、B1xyz 不妨设 BB12，则有 B1（0，0，0） ，B（2，0，0） ，A1（0，0，2） ，M（1，2，0） ，N （1，0，1） ， 所以 = (0， 2，1) 易知，平面 ABC 的法向量为1 = (2，0，0) 由于1 = 0，所以1 ，即 BB1MN 又因为 MN平面 ABC，所以 MN平面 ABC （2）由题意，知 = (0， 2，1)， = (1，2，0)，1 = (1，2，0) 设平面 MNB 的法向量为 = (，)， 则有 = 0， = 0， 即2 + = 0， + 2 = 0. 令 y1，得 = (2，1，2) 设平面 MNB1的法向量为 = (1，1，1)， 则有

31、= 0， 1 = 0， 即21 + 1= 0， 1+ 21= 0. 令 y11，得 = (2，1，2) 所以 = 1，| | = 3，| = 3，所以 ， = | |= 1 9， 设二面角 BMNB1的大小为 ， 所以 =1 2 ， =45 9 故所求二面角 BMNB1的正弦值为45 9 （3）设点 P（0，t，0） （0t2） ，则 = (1，2 ，0)， 且有 = ，| | = 1 + (2 )2，| | = 3 设直线 PM 与平面 MNB1所成角为 ， 第 16 页（共 20 页） 则有 = | ， | =2 15，即 | 31:(2;)2 = 2 15， 整理，得 21t2+16t2

32、00，解得 = 2 3或 = 10 7 （舍去） 所以 1 11 = 2 = 1 3 19 （12 分）已知抛物线 E：y22px（p0）过点 Q（1，2） ，F 为其焦点，过 F 且不垂直 于 x 轴的直线 l 交抛物线 E 于 A，B 两点，动点 P 满足PAB 的垂心为原点 O （1）求抛物线 E 的方程； （2）求证：动点 P 在定直线 m 上，并求 的最小值 【解答】解： （1）Q（1，2）代入 y22px 解得 p1， 可得抛物线的方程为 y24x； （2）证法 1： （巧设直线） 证明：设 l：tyx1，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立 y24x，可得 2 4 1 =

33、 0， 则有1 + 2= 4 12= 4 ，可设 AP： 1= 2 2 ( 1)，即 = 2 4 + 3 41， 同理 BP： = 1 4 + 3 42，解得 P（3，3t） ， 即动点 P 在定直线 m：x3 上， = 1 2|1 1 2|2 = 1 2 = |32:4| |2| = | 3 2 + 2 | 23， 当且仅当 = 23 3 时取等号其中 d1，d2分别为点 P 和点 Q 到直线 AB 的距离 证法 2： （利用向量以及同构式） 证明：设 l：xmy+1（m0） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立 y24x， 可得 y24my40，则有1 + 2= 4 12= 4

34、， = (0 1 2 4 ，0 1)， = (2 2 4 ，2)， 第 17 页（共 20 页） 又 O 为PAB 的垂心，从而 = 0，代入化简得：0 4 2 2 + 02+ 3 = 0， 同理：0 4 1 2 + 01+ 3 = 0，从而可知，y1，y2是方程0 4 2+ 0 + 3 = 0的两根， 所以 1+ 2= 40 0 = 4 12= 12 0 = 4 0 = 0 0= 3 0 = 3 0= 3，所以动点 P 在定直线 m：x 3 上， = 1 2|1 1 2|2 = 1 2 = |32:4| |2| = | 3 2 + 2 | 23， 当且仅当 = 23 3 时取等号其中 d1，

35、d2分别为点 P 和点 Q 到直线 AB 的距离 20 （12 分）如图是在竖直平面内的一个“通道游戏” 图中竖直线段和斜线段都表示通道， 并且在交点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，依此类 推现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动若在通道的分叉处，小弹子以相同的 概率落入每个通道，记小弹子落入第 n 层第 m 个竖直通道（从左至右）的概率为 P（n， m） 某研究性学习小组经探究发现小弹子落入第n层的第m 个通道的次数服从二项分布， 请你解决下列问题 （）求 P（2，1） ，P（3，2）及 P（4，2）的值，并猜想 P（n，m）的表达式 （不必 证明） （） 设小弹子落

36、入第 6 层第 m 个竖直通道得到分数为 ， 其中 = 4 ，1 3 3，4 6， 试求 的分布列及数学期望 【解答】解： （I）根据已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的 概率都是1 2，小球遇到第 n 行第 m 个障碍物（从左至右）上顶点的概率为 P（n，m） ，可 得 第 18 页（共 20 页） P（2，1）= 1 2，P（3，2）= 2 1 1 2 1 2 = 1 2，P（4，2）= 3 1 (1 2) 3 = 3 8 猜想 P（n，m）= ;1 ;1 (1 2) ;1； （6 分） （II） 的可能取值为 3，2，1，（7 分） P（3）P（6，1）+P（6，6）

37、= 1 16， P（2）P（6，2）+P（6，5）= 5 1 (1 2) 5 = 5 16， P（1）P（6，3）+P（6，4）= 5 8 分布列为： 3 2 1 P 1 16 5 16 5 8 （10 分） E3 1 16 +2 5 16 +1 5 8 = 23 16 （12 分） 21 （12 分）已知函数 f（x）lnxax （1）讨论 f（x）在其定义域内的单调性； （2）若 a1，且 f（x1）f（x2） ，其中 0x1x2，求证：x1+x2+x1x23 【解答】解： （1）() = 1 = 1 当 a0 时，f（x）0，则 f（x）在区间（0，+）上单调递增； 当0时， (0， 1

38、 )，()0，()在区间(0， 1 )上单调递增； (1 ， + )，()0，()在区间(1 ， + )上单调递减， （2）由（1）得：当 a1 时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减， 0x11x2， 将要证的不等式转化为2 31 1+1，考虑到此时，x21， 3;1 1:1 1， 又当 x（1，+）时，f（x）递增， 故只需证明f（x2）f（3;1 1:1） ， 即证(1) (31 1+1)， 设 Q（x）= 3 1+ + (3 1+)， 第 19 页（共 20 页） 则() = 1 1 + 4 (+1)2 + 4 (+1)(3)， = 1 + 4 (+1), 1 +1

39、 + 1 3-， = 1 + 4 (+1) 2(1) (+1)(3) = (1)2(2+3) (3)(+1)2 当 x（0，1）时，Q（x）0，Q（x）递减所以，当 x（0，1）时，Q（x）Q（1） 0 所以(1)(31 1+1)，从而命题得证 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 1 + = （ 为参数） 以坐 标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 1，直线 l 的极坐标方程为 = 4 ( ) （1）求：曲线 C1的普通方程； 曲线 C2与直线 l 交点的直角坐标； （