2020年山东省高考数学模拟试卷（10）.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年山东省高考数学模拟试卷（年山东省高考数学模拟试卷（10） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 = *| 3 1+，Bx|x0，则 AB（ ） Ax|0x3 Bx|0x3 Cx|1x3 Dx|1x3 2 （5 分）复数（ai） （2i）的实部与虚部相等，其中 i 为虚数单位，则实数 a（ ） A3 B 1 3 C 1 2 D1 3 （5 分）已知命题 P：x1，2xlog2x1，则p 为（ ） Ax1，2xlog2x1 Bx1，2xlog2x1 Cx1，2xlog2x1 D

2、x1，2xlog2x1 4 （5 分）( 1 + 2)5的展开式中 x5的系数是10，则实数 m（ ） A2 B1 C1 D2 5 （5 分） 函数 f （x） sin （x+） 的部分图象如图所示， 则 f （x） 的单调递增区间为 （ ） A(2 + 3 4 ，2 + 7 4)，kZ B(2 1 4 ，2 + 3 4)，kZ C(2 + 3 4 ，2 + 7 4)，kZ D(2 1 4 ，2 + 3 4)，kZ 6 （5 分）已知三棱锥 DABC 的四个顶点在球 O 的球面上，若 ABACBCDBDC 1，当三棱锥 DABC 的体积取到最大值时，球 O 的表面积为（ ） A5 3 B2 C

3、5 D20 3 7 （5 分）如图是我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的“弦图” 现提供 4 种颜色给“弦图”的 5 个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同， 则不同的涂色方案共有（ ） 第 2 页（共 20 页） A48 种 B72 种 C96 种 D144 种 8（5 分） 已知向量 = (1，2)， = (，3)， 若 (2 )， 则 在 方向上的投影为 （ ） A 2 2 B1 C32 2 D2 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分） 已知抛物线 y22px （p0） 上一点 M 到其准线及

4、对称轴的距离分别为 3 和22， 则 p 的值可以是（ ） A2 B6 C4 D8 10 （5 分）某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调査了 50 名男生和 50 名女 生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表经计算 K2的观测值 k4.762，则可以推断出（ ） 满意 不满意 男 30 20 女 40 10 P （k2k） 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 A该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为3 5 B调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意 C有 95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 D

5、有 99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 11 （5 分）居民消费价格指数（ConsumerPriceIndex，简称 CPI） ，是度量居民生活消费品 和服务价格水平随着时间变动的相对数，综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水 平的变动情况如图为国家统计局于 2020 年 4 月公布的 2019 年 3 月至 2020 年 3 月 CPI 数据同比和环比涨跌幅折线图，则下列说法正确的是（ ） 第 3 页（共 20 页） （注： 同比= 本月 去年同月， 同比涨跌幅= 本月去年同月 去年同月 100%， 环比= 本月 上月， 环比涨跌幅= 本月上月 上月 100%） A2019

6、年 12 月与 2018 年 12 月 CPI 相等 B2020 年 3 月比 2019 年 3 月 CPI 上涨 4.3% C2019 年 7 月至 2019 年 11 月 CPI 持续增长 D2020 年 1 月至 2020 年 3 月 CPI 持续下降 12 （5 分）下列判断正确的是（ ） A命题 p： “x0，使得 x2+x+10“，则 p 的否定： “x0，都有 x2+x+10” BABC 中，角 A，B，C 成等差数列的充要条件是 B= 3 C线性回归直线 = + 必经过点（x1，y1） ， （x2，y2） ，（xn，yn）的中心点（，） D若随机变量 服从正态分布 N（1，2）

7、 ，P（4）0.79，则 P（2）0.21 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）曲线 f（x）= 1 + 1 在点（1，f（1） ）处的切线方程是 14 （5 分）记 Sn为数列an的前 n 项和，若= 2 1，则 S7 15 （5 分）已知直线 ykx（k0）与双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)交于 A，B 两点， 以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F，若ABF 的面积为 4a2，则双曲线的离心 率为 第 4 页（共 20 页） 16 （5 分）某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级

8、随机抽取了 20 位家长的满意度评分，其频数分布表如表： 满意度评分 分组 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100） 合计 高一 1 3 6 6 4 20 高二 2 6 5 5 2 20 根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 评分70 分 70评分90 评分90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事 件发生的概率现从高一、高二年级各随机抽取 1 名家长，记事件 A： “高一家长的满意 度高于高二家长的满意度等级” ，则事件 A 发生的概率为 四解答题（共四解答题（

9、共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）等差数列*+( )中，a1，a2，a3分别是如表第一、二、三行中的某一个 数，且其中的任何两个数不在如表的同一列 第一列 第二列 第三列 第一行 5 8 2 第二行 4 3 12 第三行 16 6 9 （1）请选择一个可能的a1，a2，a3组合，并求数列an的通项公式； （2）记（1）中您选择的an的前 n 项和为 Sn，判断是否存在正整数 k，使得 a1，ak，Sk+2 第 5 页（共 20 页） 成等比数列，若有，请求出 k 的值；若没有，请说明理由 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已

10、知 = 1 2 （）若 bsinBasinA2csinC，求 的值； （）若ABC 的平分线交 AC 于 D，且 BD1，求 4a+c 的最小值 19 （12 分）如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，已知B1C1A190，AB1A1C，且 AA1 AC （）求证：平面 ACC1A1平面 A1B1C1； （）若 AA1AC1B1C12，求二面角 C1AA1B1的余弦值 20 （12 分）根据国家统计局数据，1978 年至 2018 年我国 GDP 总量从 0.37 万亿元跃升至 90 万亿元， 实际增长了 242 倍多， 综合国力大幅提升 将年份 1978， 1988， 1998， 2008

11、， 2018 分别用 1，2，3，4，5 代替，并表示为 t；y 表示全国 GDP 总量，表中 zilnyi（i 1，2，3，4，5） ， = 1 5 5 =1 5 =1（ti） 2 5 =1 （ti） （yi） 5 =1 （ti） （zi） 3 26.474 1.903 10 209.76 14.05 （1）根据数据及统计图表，判断 = + 与 = （其中 e2.718为自然对数的 底数）哪一个更适宜作为全国 GDP 总量 y 关于 t 的回归方程类型？（给出判断即可，不 必说明理由） ，并求出 y 关于 t 的回归方程； （2）使用参考数据，估计 2020 年的全国 GDP 总量 线 性

12、回 归 方 程 = + 中 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 法 估 计 公 式 分 别 为 ： = =1 ()() =1 ()2 ， = 参考数据： 第 6 页（共 20 页） n 4 5 6 7 8 en的近似值 55 148 403 1097 2981 21 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的短轴长为23，左右焦点分别为 F1，F2， 点 B 是椭圆上位于第一象限的任一点，且当2 12 = 0时，|2| = 3 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若椭圆 C 上点 A 与点 B 关于原点 O 对称，过点 B 作 BD 垂直于 x 轴，垂足为 D， 连接

13、 AD 并延长交 C 于另一点 M，交 y 轴于点 N （i）求ODN 面积最大值； （ii）证明：直线 AB 与 BM 斜率之积为定值 22 （12 分）已知函数 f（x）ax（a0，a1） （1）当 ae（e 为自然对数的底数）时， （i）若 G（x）f（x）2xm 在0，2上恰有两个不同的零点，求实数 m 的取值范围； （ii）若() = () ( 2 + 1 2)( )，求 T（x）在0，1上的最大值； （ 2 ） 当 = 2时，= ()， +， 数 列 bn 满 足 () 1)= 1 2+1 (1 + =1 )求证： =1 3,1 (3 4) - 第 7 页（共 20 页） 2020

14、 年山东省高考数学模拟试卷（年山东省高考数学模拟试卷（10） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 = *| 3 1+，Bx|x0，则 AB（ ） Ax|0x3 Bx|0x3 Cx|1x3 Dx|1x3 【解答】解：集合 = *| 3 1+ =x|0x3， Bx|x0， ABx|0x3 故选：A 2 （5 分）复数（ai） （2i）的实部与虚部相等，其中 i 为虚数单位，则实数 a（ ） A3 B 1 3 C 1 2 D1 【解答】解：（ai） （2i）（2a1）（a+2）i

15、的实部与虚部相等， 2a1a2，解得 a= 1 3 故选：B 3 （5 分）已知命题 P：x1，2xlog2x1，则p 为（ ） Ax1，2xlog2x1 Bx1，2xlog2x1 Cx1，2xlog2x1 Dx1，2xlog2x1 【解答】解：全称命题的否定为特称命题，改变量词，否定结论即可 即x1，2xlog2x1， 故选：D 4 （5 分）( 1 + 2)5的展开式中 x5的系数是10，则实数 m（ ） A2 B1 C1 D2 【解答】解：由题意得+1= 5 (1 ) 5(2) = 5 5(1) 2 令5(1) 2 = 5得，k3 35 3 = 10，m1 故选：C 5 （5 分） 函数

16、 f （x） sin （x+） 的部分图象如图所示， 则 f （x） 的单调递增区间为 （ ） 第 8 页（共 20 页） A(2 + 3 4 ，2 + 7 4)，kZ B(2 1 4 ，2 + 3 4)，kZ C(2 + 3 4 ，2 + 7 4)，kZ D(2 1 4 ，2 + 3 4)，kZ 【解答】解：根据函数 f（x）sin（x+）的部分图象，可得1 2 2 = 5 4 1 4， 再根据五点法作图，可得 1 4 +，= 3 4 ，f（x）sin（x+ 3 4 ） 令 2k 2 x+ 3 4 2k+ 2，求得 2k 5 4 x2k 1 4， 故函数的增区间为2k 5 4，2k 1 4，

17、kZ 再把 k 换成 k+1，可得函数的增区间为2k+ 3 4，2k+ 7 4，kZ， 故选：C 6 （5 分）已知三棱锥 DABC 的四个顶点在球 O 的球面上，若 ABACBCDBDC 1，当三棱锥 DABC 的体积取到最大值时，球 O 的表面积为（ ） A5 3 B2 C5 D20 3 【解答】解：如图，当三棱锥 DABC 的体积取到最大值时，则平面 ABC平面 DBC， 取 BC 的中点 G，连接 AG，DG，则 AGBC，DGBC 分别取ABC 与DBC 的外心 E，F，分别过 E，F 作平面 ABC 与平面 DBC 的 垂线，相交于 O，则 O 为四面体 ABCD 的球心， 由 A

18、BACBCDBDC1，得正方形 OEGF 的边长为 3 6 ，则 OG= 6 6 四面体 ABCD 的外接球的半径 R= 2+ 2=( 6 6 )2+ (1 2) 2 = 5 12 球 O 的表面积为= 4 ( 5 12) 2 = 5 3 ， 故选：A 第 9 页（共 20 页） 7 （5 分）如图是我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的“弦图” 现提供 4 种颜色给“弦图”的 5 个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同， 则不同的涂色方案共有（ ） A48 种 B72 种 C96 种 D144 种 【解答】解：根据题意，如图，假设 5 个区域依次为 A、B、C、D、E

19、，分 4 步分析： ，对于 A 区域，有 4 种涂法， ，对于 B 区域，与 A 相邻，有 3 种涂法， ，对于 C 区域，与 A、B 相邻，有 2 种涂法， ，对于 D 区域，若其与 B 区域同色，则 E 有 2 种涂法， 若 D 区域与 B 区域不同色，则 E 有 1 种涂法， 则 D、E 区域有 2+13 种涂色方法， 则不同的涂色方案共有 432372 种； 故选：B 第 10 页（共 20 页） 8（5 分） 已知向量 = (1，2)， = (，3)， 若 (2 )， 则 在 方向上的投影为 （ ） A 2 2 B1 C32 2 D2 【解答】解：因为向量 = (1，2)， = (，

20、3)， 2 =（2m，1） ； (2 )2m+20m4； =（4，3） ； 向量 在 方向上的投影为 | | = 10 32+42 =2 故选：D 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分） 已知抛物线 y22px （p0） 上一点 M 到其准线及对称轴的距离分别为 3 和22， 则 p 的值可以是（ ） A2 B6 C4 D8 【解答】解：设 P 点（x0，y0） ，由 P 在抛物线上，所以 y022px0， 由抛物线的方程可得准线的方程为 x= 2， 由题意可得 x0+ 2 =3，|y0|= 20=22，解得：p2 或 4，

21、 故选：AC 10 （5 分）某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调査了 50 名男生和 50 名女 生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表经计算 K2的观测值 k4.762，则可以推断出（ ） 满意 不满意 男 30 20 女 40 10 P （k2k） 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 第 11 页（共 20 页） A该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为3 5 B调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意 C有 95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 D有 99%的把握认为男、女生对该食堂服务

22、的评价有差异 【解答】解：由统计表格知：女生对食堂的满意率为：4 5；男生对食堂的满意率为 3 5； 故 A，该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为3 5，A 正确； 对于 B，应为该校女生比男生对食堂服务更满意；B 错误； 由题意算得，k24.7623.841，参照附表，可得： 有 95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异； 故 C 正确，D 错误 故选：AC 11 （5 分）居民消费价格指数（ConsumerPriceIndex，简称 CPI） ，是度量居民生活消费品 和服务价格水平随着时间变动的相对数，综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水 平的变动情况如图为国家统计局于 2

23、020 年 4 月公布的 2019 年 3 月至 2020 年 3 月 CPI 数据同比和环比涨跌幅折线图，则下列说法正确的是（ ） （注： 同比= 本月 去年同月， 同比涨跌幅= 本月去年同月 去年同月 100%， 环比= 本月 上月， 环比涨跌幅= 本月上月 上月 100%） A2019 年 12 月与 2018 年 12 月 CPI 相等 B2020 年 3 月比 2019 年 3 月 CPI 上涨 4.3% C2019 年 7 月至 2019 年 11 月 CPI 持续增长 D2020 年 1 月至 2020 年 3 月 CPI 持续下降 第 12 页（共 20 页） 【解答】解：在

24、A 中，2019 年 12 月与 2018 年 12 月 CPI 不相等，故 A 不正确； 在 B 中，2020 年 3 月比 2019 年 3 月 CPI 上涨 4.3%，故 B 正确； 在 C 中，2019 年 7 月至 2019 年 11 月 CPI 持续增长，故 C 正确； 在 D 中，2020 年 1 月至 2020 年 3 月 CPI 跌幅持续下降，故 D 不正确 故选：BC 12 （5 分）下列判断正确的是（ ） A命题 p： “x0，使得 x2+x+10“，则 p 的否定： “x0，都有 x2+x+10” BABC 中，角 A，B，C 成等差数列的充要条件是 B= 3 C线性回

25、归直线 = + 必经过点（x1，y1） ， （x2，y2） ，（xn，yn）的中心点（，） D若随机变量 服从正态分布 N（1，2） ，P（4）0.79，则 P（2）0.21 【解答】解：对于 A；命故错； 对于 B，ABC 中，B60A+C2B，ABC 的三内角 A，B，C 成等差数列，故正 确； 对于 C，在研究变量 x 和 y 的线性相关性时，线性回归直线方程必经过散点图中心（， ） ，故正确； 对于 D，已知随机变量 服从正态分布 N （1，2） ，图象关于 x1 对称，根据 P （4） 0.79， 可得 P（2）0.79，得 P（2）10，790.21，故正确； 故选：BCD 三填空

26、题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）曲线 f（x）= 1 + 1 在点（1，f（1） ）处的切线方程是 2x+y30 【解答】解：() = 1 2 1 ， 故 f（1）1，f（1）2， 所以切线为：y12（x1） ， 即 2x+y30 故答案为：2x+y30 14 （5 分）记 Sn为数列an的前 n 项和，若= 2 1，则 S7 254 第 13 页（共 20 页） 【解答】解：因为 Sn为数列an的前 n 项和， = 2 1， a12； 且 2ansn2； 故 2（snsn1）sn2sn2sn12sn22（sn12） ；

27、s124， sn2是以4 为首项，2 为公比的等比数列； s72（4）27 1s 7426+2254 故答案为：254 15 （5 分）已知直线 ykx（k0）与双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)交于 A，B 两点， 以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F，若ABF 的面积为 4a2，则双曲线的离心 率为 5 【解答】解：以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F，以 AB 为直径的圆的方 程为 x2+y2c2， 设|AF|m， |BF|n， 则 mn2a ABF 的面积= 1 2 = 42， 且 m2+n2|AB|2 4c2， 联立三式： = 2 = 82 2+ 2= 4

28、2 ，得 = 4 = 2 ， 故202= 42 = 5 故答案为：5 16 （5 分）某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了 20 第 14 页（共 20 页） 位家长的满意度评分，其频数分布表如表： 满意度评分 分组 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100） 合计 高一 1 3 6 6 4 20 高二 2 6 5 5 2 20 根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 评分70 分 70评分90 评分90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相

29、应事 件发生的概率现从高一、高二年级各随机抽取 1 名家长，记事件 A： “高一家长的满意 度高于高二家长的满意度等级” ，则事件 A 发生的概率为 0.42 【解答】解：由频数分布表得： 从高一、高二年级各随机抽取 1 名家长， 高一学生家长不满意的人数为：1+34，满意的人数为 6+612，非常满意的人数为 4， 高二学生家长不满意的人数为：2+68，满意的人数为 5+510，非常满意的人数为 2， 记事件 A： “高一家长的满意度高于高二家长的满意度等级” ， 则事件 A 发生的概率为 P（A）= 812+84+104 2020 =0.42 故答案为：0.42 四解答题（共四解答题（共

30、6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）等差数列*+( )中，a1，a2，a3分别是如表第一、二、三行中的某一个 数，且其中的任何两个数不在如表的同一列 第一列 第二列 第三列 第一行 5 8 2 第二行 4 3 12 第三行 16 6 9 （1）请选择一个可能的a1，a2，a3组合，并求数列an的通项公式； （2）记（1）中您选择的an的前 n 项和为 Sn，判断是否存在正整数 k，使得 a1，ak，Sk+2 成等比数列，若有，请求出 k 的值；若没有，请说明理由 第 15 页（共 20 页） 【解答】解： （1）由题意可知：有两种组合满足条件： a18，a212，a31

31、6，此时等差数列an，a18，d4， 所以其通项公式为 an8+（n1）44n+4 a12，a24，a36，此时等差数列an，a12，d2， 所以其通项公式为 an2n （2）若选择，Sn= (8+4+4) 2 =2n2+6n 则+2= 2( + 2)2+ 6( + 2) = 22+ 14 + 20 若 a1，ak，Sk+2成等比数列，则2= 1 +2， 即（4k+4）28（2k2+14k+20） ，整理，得 5k9， 此方程无正整数解，故不存在正整数 k，使 a1，ak，Sk+2成等比数列 若选择，Sn= (2+2) 2 =n2+n， 则+2= ( + 2)2+ ( + 2) = 2+ 5

32、+ 6， 若 a1，ak，Sk+2成等比数列，则2= 1 +2， 即（2k）22（k2+5k+6） ，整理得 k25k60，因为 k 为正整数，所以，k6 故存在正整数 k6，使 a1，ak，Sk+2成等比数列 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 = 1 2 （）若 bsinBasinA2csinC，求 的值； （）若ABC 的平分线交 AC 于 D，且 BD1，求 4a+c 的最小值 【解答】解： （）由正弦定理，得 b2a22c2，即 b2a2+2c2； 由余弦定理得 b2a2+c22accosB， 又 = 1 2，所以 c 2ac； 所以 =

33、1 （）由题意得 SABCSABD+SDBC， 即1 2 120 = 1 2 60 + 1 2 60， 所以 aca+c，即1 + 1 = 1； 则4 + = (4 + )(1 + 1 ) = 5 + + 4 5 + 2 4 = 9， 第 16 页（共 20 页） 当且仅当 c2a，即 c3， = 3 2时取等号； 所以 4a+c 的最小值为 9 19 （12 分）如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，已知B1C1A190，AB1A1C，且 AA1 AC （）求证：平面 ACC1A1平面 A1B1C1； （）若 AA1AC1B1C12，求二面角 C1AA1B1的余弦值 【解答】解： （1）证

34、明：连接 AC1，在平行四边形 ACC1A1中， 由 AA1AC 得平行四边形 ACC1A1为菱形，所以 A1CAC1， 又 A1CAB1，所以 A1C面 AB1C1，所以 A1CB1C1， 又 A1C1B1C1，所以 B1C1面 ACC1A1，所以平面 ACC1A1平面 A1B1C1 （2）取 A1C1的中点 O 为坐标原点，以 OC1，OA 为 x，z 轴 建立空间直角坐标系， 则面 ACC1A1的法向量为 = (1，0，0)， 第 17 页（共 20 页） 设面 B1AA1的法向量为 = (，)， 因 为1(0， 1，0)，(0，0，3)，1(2，1，0)， 所 以1 = (0，1，3)

35、，1 = (2，2，0) 由1 = + 3 = 0 1 = 2 + 2 = 0 = 3 = ，令 = 3，则 = (3， 3，1) 设所求二面角为 ，则 = | ，| =21 7 ， 故二面角 C1AA1B1的余弦值为 21 7 20 （12 分）根据国家统计局数据，1978 年至 2018 年我国 GDP 总量从 0.37 万亿元跃升至 90 万亿元， 实际增长了 242 倍多， 综合国力大幅提升 将年份 1978， 1988， 1998， 2008， 2018 分别用 1，2，3，4，5 代替，并表示为 t；y 表示全国 GDP 总量，表中 zilnyi（i 1，2，3，4，5） ， =

36、1 5 5 =1 5 =1（ti） 2 5 =1 （ti） （yi） 5 =1 （ti） （zi） 3 26.474 1.903 10 209.76 14.05 （1）根据数据及统计图表，判断 = + 与 = （其中 e2.718为自然对数的 底数）哪一个更适宜作为全国 GDP 总量 y 关于 t 的回归方程类型？（给出判断即可，不 必说明理由） ，并求出 y 关于 t 的回归方程； （2）使用参考数据，估计 2020 年的全国 GDP 总量 线 性 回 归 方 程 = + 中 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 法 估 计 公 式 分 别 为 ： = =1 ()() =1 ()2 ， =

37、 参考数据： n 4 5 6 7 8 en的近似值 55 148 403 1097 2981 第 18 页（共 20 页） 【解答】解： （1）根据数据及图表可以判断，ycedt更适宜作为全国 GDP 总量 y 关于 t 的回归方程， 对 ycedt两边取自然对数得 lnylnc+dt，令 zlny，alnc，bd， 得 za+bt 因为 = 5 =1 ()() 5 =1 ()2 = 14.05 10 = 1.405， 所以 = = 1.903 1.405 3 = 2.312， 所以 z 关于 t 的线性回归方程为 = 1.405 2.312， 所以 y 关于 t 的回归方程为 = 1.405

38、2.312= (2.312)1.405 （2）将 t5.2 代入 = 1.4052.312，其中 1.4055.22.3124.994， 于是 2020 年的全国 GDP 总量约为： = 4.994 5= 148万亿元 21 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的短轴长为23，左右焦点分别为 F1，F2， 点 B 是椭圆上位于第一象限的任一点，且当2 12 = 0时，|2| = 3 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若椭圆 C 上点 A 与点 B 关于原点 O 对称，过点 B 作 BD 垂直于 x 轴，垂足为 D， 连接 AD 并延长交 C 于另一点 M，交 y 轴

39、于点 N （i）求ODN 面积最大值； （ii）证明：直线 AB 与 BM 斜率之积为定值 【解答】解： （1）设 F2（c，0） ，由2 12 = 0，得 BF2F1F2 将 xc 代入 2 2 + 2 2 = 1，得 = 2 ，即|2| = 2 = 3 2， 由 = 3，解得 a2， 第 19 页（共 20 页） 所以椭圆 C 的标准方程为 2 4 + 2 3 = 1 （2）设 B（x1，y1） ，M（x2，y2） ，则 A（x1，y1） ，D（x1，0） （i）易知 ON 为ABD 的中位线，所以(0， 1 2 )， 所以= 1 2 |1| | 1 2 | = 1 4|1| |1| =

40、1 4 11， 又 B （x1， y1） 满足 2 4 + 2 3 = 1， 所以1 2 4 + 1 2 3 = 1 2 1 2 1 3 = 11 3 ， 得11 3， 故= 1 411 3 4 ，当且仅当1 2 = 1 3 ，即1= 2，1= 6 2 时取等号， 所以ODN 面积最大值为 3 4 （ii）记直线 AB 斜率为 = 1 1 (0)，则直线 AD 斜率为 1 21 = 1 21 = 2，所以直线 AD 方程为 = 2( 1) 由 = 2( 1) 2 4 + 2 3 = 1 ，得(3 + 2)2 221 + 212 12 = 0， 由韦达定理得(1) + 2= 221 3+2 ，所以2= 221 3+2 + 1= (32+3)1 3+2 ，代入直线 AD 方 程，得2= 31 3+2， 于是，直线 BM 斜率= 21 21 = 31 3+21 (32+3)1 3+2 1 = 3 2， 所以直线 AB 与 BM 斜率之积为定值 3 2 22 （12 分）已知函数 f（x）ax（a0，a1） （1）当 ae（e 为自然对数的底数）时， （i）若 G（x）f（x）2xm 在0，2上恰有两个不同的零点，求实数 m 的取值范围； （ii）若() = () ( 2 + 1 2)( )，求