2020年四川省高考数学（理科）模拟试卷（7）.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年四川省高考数学（理科）模拟试卷（年四川省高考数学（理科）模拟试卷（7） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 AxN|x1，Bx|x5，则 AB（ ） Ax|1x5 Bx|x1 C2，3，4 D1，2，3，4，5 2 （5 分）在复平面内，复数 5 1+2对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）已知 ， 为锐角，且 cos（+）= 3 5，sin= 5 13，则 cos 的值为（ ） A56 65 B33 65 C16 65 D6

2、3 65 4 （5 分） “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积 极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运 共同体 自 2015 年以来， “一带一路” 建设成果显著 右图是 20152019 年， 我国对 “一 带 一 路 ” 沿 线 国 家 进 出 口 情 况 统 计 图 ， 下 列 描 述 错 误 的 是 （ ） A这五年，出口总额之和比进口总额之和大 B这五年，2015 年出口额最少 C这五年，2019 年进口增速最快 D这五年，出口增速前四年逐年下降 5 （5 分）已知函数 f（x）= (1 3) + 2(0)

3、( 3)2+ 2( 0) ，在（，+）上是减函数，则实 数 a 的取值范围为（ ） A （2，3） B1，3） C （1，3） D1，3 第 2 页（共 19 页） 6 （5 分）已知向量 = (2，1)， = (， 1)，若 ( )，则 x（ ） A2 B2 C 1 2 D1 2 7 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长 一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若 输入的 a，b 分别为 3，1，则输出的 n 等于（ ） A5 B4 C3 D2 8 （5 分） “三个实数 a，b，c 成等差数列”是“2ba+c“的（

4、） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9 （5 分）ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 a= 3，bcosAsinB， 则 A（ ） A 12 B 6 C 4 D 3 10 （5 分） 已知双曲线2 2 3 = 1的左、 右焦点分别为 F1， F2， 点 P 在双曲线上， 且F1PF2 120，F1PF2的平分线交 x 轴于点 A，则|PA|（ ） A 5 5 B25 5 C35 5 D5 11 （5 分）在平面四边形 ABCD 中，ABBC2，ACAD22，CAD30现沿对 第 3 页（共 19 页） 角线 AC 折起，使得平面

5、 DAC平面 ABC，则此时得到的三棱锥 DABC 外接球的表面 积为（ ） A （1683） B （64323） C （843） D （1643） 12 （5 分）设函数 f（x）x3+2x1，在下列区间中，一定包含 f（x）零点的区间是（ ） A(0， 1 4) B(1 4， 1 2) C(1 2，1) D （1，2） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）在（ax+ 1 ） （x 21）5 的展开式中，x3的系数为 15，则实数 a 14 （5 分） 已知实数 x， y 满足约束条件： 0 + 4 0 1 ， 则 z

6、2 2x+y 的最大值为 15 （5 分）2019 年 11 月 5 日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕， 共有 155 个国家和地区，26 个国际组织参加现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参 加某主题展览活动，每个企业一个展位在排成一排的 6 个展位中，甲、乙、丙三个企 业两两互不相邻的排法有 种 16 （5 分）抛物线 x26y 的焦点到直线 3x+4y10 的距离为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知 Sn为等差数列an的前 n 项和，a35，S749 （I）求数列an的通项公式； （

7、II）设= 2，Tn 为数列bn的前 n 项和，求证：Tn3 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PAPD，PAAB，N 是 棱 AD 的中点 （1）求证：PN平面 ABCD； （2）若 APPD，且 AB2，AD4，求二面角 BPCN 的余弦值 19 （12 分）对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，而咬牙 第 4 页（共 19 页） 起床的唯一动力，就是上学能够不迟到已知学校要求每天早晨 7：15 之前到校，7：15 之后到校记为迟到小明每天 6：15 会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要 半个小时，故每天 6：45 小

8、明就可以出门去上学从家到学校的路上，若小明选择步行 到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量 X（分钟）表示步行到校的时间， 可以认为 XN（22，4） 若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由 于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量 Y（分钟）描 述骑车到校的时间，可以认为 YN（16，16） 若小明选择坐公交车上学，速度很快， 但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机 变量 Z（分钟）描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为 ZN（10，64） （1） 若某天小明妈妈出差没在家， 小明一觉醒来已经是 6： 40

9、 了， 他抓紧时间洗漱更衣， 没吃早饭就出发了，出门时候是 6：50请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学 不迟到？小明此时的最优选择是什么？ （2）已知共享单车每 20 分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变 量 表示这五天小明上学骑车的费用，求 的期望与方差（此小题结果均保留三位有效 数字） 已知若随机变量 N（0，1） ，则 P（11）68.26%，P（22）95.44%， P（33）99.74% 20 （12 分）椭圆 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的右焦点 F（1，0） ，O 为坐标原点 （1）若椭圆短轴的两个三等分点 M，N 与 F 构成正三角形，求椭圆的

10、方程； （2）过点 F 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，若直线 l 绕点 F 任意旋转，都有|OA|2+|OB|2 |AB|2，求 a 的取值范围 21 （12 分）已知函数 f（x）ax+ 1 ，g（x）= 1 （1）讨论函数 f（x）在（0，+）上的单调性； （2）当 a= 1 2时，设 P（x，y）为函数 yln ()1 ()1（x（0，+） ）图象上任意一点直 线 OP 的斜率为 k，求证：0k1 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系中，点 P 是曲线 C： = 2 = 2 + 2， （t

11、 为参数数）上的动 点，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点 O 为中心，将线 第 5 页（共 19 页） 段 OP 顺时针旋转 90得到 OQ，设点 Q 的轨迹为曲线 C2 （1）求曲线 C1，C2的极坐标方程； （2）在极坐标系中，点 M 的坐标为(4， 2)，射线 l： = 6 (0)与曲线 C1、C2分别交 于 A，B 两点，求MAB 的面积 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23 （1）设 a，b（0，+） ，且 ab，求证：a3+b3a2b+ab2 （2）设 a，b，c 为不全相等的正数，且 abc1，求证：1 + 1 + 1 + + 第 6

12、页（共 19 页） 2020 年四川省高考数学（理科）模拟试卷（年四川省高考数学（理科）模拟试卷（7） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 AxN|x1，Bx|x5，则 AB（ ） Ax|1x5 Bx|x1 C2，3，4 D1，2，3，4，5 【解答】解：集合 AxN|x1，Bx|x5， ABxN|1x52，3，4 故选：C 2 （5 分）在复平面内，复数 5 1+2对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解： 5 1+2 = 5(12)

13、 (1+2)(12) = 2 + ， 在复平面内，复数 5 1+2对应的点的坐标为（2，1） ，位于第一象限 故选：A 3 （5 分）已知 ， 为锐角，且 cos（+）= 3 5，sin= 5 13，则 cos 的值为（ ） A56 65 B33 65 C16 65 D63 65 【解答】解：根据题意， 为锐角，若 sin= 5 13，则 cos= 12 13， 若 cos（+）= 3 5，则（+）也为锐角， 则 sin（+）= 4 5， 则 coscos（+）cos（+）cos+sin（+）sin= 3 5 12 13 + 4 5 5 13 = 56 65， 故选：A 4 （5 分） “一带

14、一路”是“丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积 极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运 共同体 自 2015 年以来， “一带一路” 建设成果显著 右图是 20152019 年， 我国对 “一 带 一 路 ” 沿 线 国 家 进 出 口 情 况 统 计 图 ， 下 列 描 述 错 误 的 是 （ ） 第 7 页（共 19 页） A这五年，出口总额之和比进口总额之和大 B这五年，2015 年出口额最少 C这五年，2019 年进口增速最快 D这五年，出口增速前四年逐年下降 【解答】解：对于 A，这五年，出口总额之和比进口总额之和大，故 A

15、 对； 对于 B，2015 出口额最少，故 B 对； 对于 C，这五年，2019 年进口增速最快，故 C 对； 对于 D，根据蓝色线斜率可知，这五年，出口增速前三年逐年下降，第四年后增速开始 增加，故 D 错 故选：D 5 （5 分）已知函数 f（x）= (1 3) + 2(0) ( 3)2+ 2( 0) ，在（，+）上是减函数，则实 数 a 的取值范围为（ ） A （2，3） B1，3） C （1，3） D1，3 【解答】解：f（x）在（，+）上是减函数， 1 30 30 2 2 ，解得 1a3， a 的取值范围为1，3） 故选：B 6 （5 分）已知向量 = (2，1)， = (， 1)，

16、若 ( )，则 x（ ） 第 8 页（共 19 页） A2 B2 C 1 2 D1 2 【解答】解：由已知： =（2x，2） ( )， 2x40，解得 x2 故选：A 7 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长 一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若 输入的 a，b 分别为 3，1，则输出的 n 等于（ ） A5 B4 C3 D2 【解答】解：模拟程序的运行，可得 a3，b1 n1 a= 9 2，b2 不满足条件 ab，执行循环体，n2，a= 27 4 ，b4 不满足条件 ab，执行循环体，n3，a= 81 8 ，b8

17、 第 9 页（共 19 页） 不满足条件 ab，执行循环体，n4，a= 243 16 ，b16 此时，满足条件 ab，退出循环，输出 n 的值为 4 故选：B 8 （5 分） “三个实数 a，b，c 成等差数列”是“2ba+c“的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：若“a，b，c 成等差数列” ，则“2ba+c” ，即“a，b，c 成等差数列”是 “2ba+c”的充分条件； 若“2ba+c” ，则“a，b，c 成等差数列” ，即“a，b，c 成等差数列”是“2ba+c”的 必要条件， 综上可得： “a，b，c 成等差数列”是“2ba+c”

18、的充要条件， 故选：C 9 （5 分）ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 a= 3，bcosAsinB， 则 A（ ） A 12 B 6 C 4 D 3 【解答】解：a= 3，bcosAsinB， 3bcosAasinB， 由正弦定理可得 sinAsinB= 3sinBcosA， B 是三角形内角，sinB0， tanA= 3， 由 A 是三角形内角，可得：A= 3 故选：D 10 （5 分） 已知双曲线2 2 3 = 1的左、 右焦点分别为 F1， F2， 点 P 在双曲线上， 且F1PF2 120，F1PF2的平分线交 x 轴于点 A，则|PA|（ ） A 5 5

19、 B25 5 C35 5 D5 【解答】解：由题意可得 a21，b23，在三角形 PF1F2中，设 P 在右支上，由余弦定 理可得 F1F22PF12+PF222PF1PF2cos120（PF1PF2）2+2PF1PF2+PF1PF2， 第 10 页（共 19 页） 即 4c24a2+3PF1PF2， 所以可得 PF1PF2= 4(22) 3 = 42 3 = 43 3 =4， PF1PF22a2， 可得 PF1= 5 +1，PF2= 5 1， 所以 S 12= 1 2 1 2sin120= 1 2 4 3 2 = 3， 因为 PA 为角平分线，所以F1PAF2PA60， 而 S 12=S1+

20、S2= 1 2 （PF1PAsin60+PF2PAsin60） = 1 2PA （PF1+PF2） 3 2 = 3 4 PA（5 +1+5 1）= 35 2 PA， 所以3 = 35 2 PA，所以 PA= 25 5 ， 故选：B 11 （5 分）在平面四边形 ABCD 中，ABBC2，ACAD22，CAD30现沿对 角线 AC 折起，使得平面 DAC平面 ABC，则此时得到的三棱锥 DABC 外接球的表面 积为（ ） A （1683） B （64323） C （843） D （1643） 【解答】解：如图，过 D 作 DEAC，则 DE平面 ABC， ABBC2，AC22，AB2+BC2AC

21、2，即三角形 ABC 为直角三角形， 球心在过 AC 中点 F 且垂直于平面 ABC 的直线上， 过 F 作 DE 的平行线 FG 交 AD 于 G，则球心 O 在 FG 上，设为 O， 则 OAOD， 根据题意，AFFC= 2， CD=8 + 8 2 22 22 30 =16 82， DEADsin30= 2， AEADcos30= 6，EF= 6 2， 由OAOD得2+ 2= 2+ ( )2即 2 + 2=(6 2)2+ (2 )2，解得 OF= 423 2 ， 设球半径为 r，则 r2AF2+OF22+1483 =1683， 故三棱锥 DABC 外接球的表面积为 4r24（1683）（6

22、4323）， 故选：B 第 11 页（共 19 页） 12 （5 分）设函数 f（x）x3+2x1，在下列区间中，一定包含 f（x）零点的区间是（ ） A(0， 1 4) B(1 4， 1 2) C(1 2，1) D （1，2） 【解答】解：f（x）3x2+20； f（x）在 R 上单调递增， f（0）1，(1 4) = 1 2 + (1 4) 30，(1 2) = 1 8 0； 由零点存在定理，函数 f（x）在（1 4 ， 1 2）有零点； 故选：B 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）在（ax+ 1 ） （x 21）

23、5 的展开式中，x3的系数为 15，则实数 a 5 【解答】解：（x21）5的展开式的通项公式为 Tr+1C 5 （x2）5r （1）r（1） rC 5 x102r，r0，1，5， （ax+ 1 ） （x 21）5 的展开式中含 x3的系数为 a（1）4C 5 4 +C 5 3 （1）35a 10 又5a1015，a5 故答案为：5 14 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件： 0 + 4 0 1 ，则 z2 2x+y 的最大值为 1 2 【解答】解：由实数 x，y 满足约束条件： 0 + 4 0 1 ，作出可行域如图，则 z2 2x+y 的最大值就是 u2xy 的最小值时取得 联立 =

24、0 = 1 ，解得 A（1，1） ， 第 12 页（共 19 页） 化目标函数 u2x+y 为 y2x+u， 由图可知， 当直线 y2x+u 过 A 时， 直线在 y 轴上的截距最小， 此时 z 有最大值为 2 2+1= 1 2 故答案为：1 2 15 （5 分）2019 年 11 月 5 日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕， 共有 155 个国家和地区，26 个国际组织参加现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参 加某主题展览活动，每个企业一个展位在排成一排的 6 个展位中，甲、乙、丙三个企 业两两互不相邻的排法有 144 种 【解答】解：用插空法：先排丁、戊、己三家企业，共

25、有3 3中方法， 在它们之间的两个空加上两头共有四个空位，从 4 孔位中任意选三个排列甲、乙、丙三 个企业，共有4 3种方法 由乘法原理可得：甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有= 3 343 =144 种 故答案为：144 16 （5 分）抛物线 x26y 的焦点到直线 3x+4y10 的距离为 1 【解答】解：抛物线 x26y 的焦点为（0，3 2） ，所以点（0， 3 2）到直线 3x+4y10 的 距离 d= |30+43 21| 32+42 = 5 5 = 1 故答案为：1 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 第 13 页

26、（共 19 页） 17 （12 分）已知 Sn为等差数列an的前 n 项和，a35，S749 （I）求数列an的通项公式； （II）设= 2，Tn 为数列bn的前 n 项和，求证：Tn3 【解答】解： （）设等差数列an的首项为 a1，公差为 d， 则： 1+ 2 = 5 71+ 76 2 = 49 ， 解得：a11，d2， 故： 证明： （）由于：an2n1， 所以= 2 = (2 1) 1 2， 则：= 1 1 21 + 3 1 22 + + (2 1) 1 2 1 2 = 1 1 22 + 3 1 23 + + (2 1) 1 2+1 得：= 3 1 22 21 2 = 3 2+3 2

27、3 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PAPD，PAAB，N 是 棱 AD 的中点 （1）求证：PN平面 ABCD； （2）若 APPD，且 AB2，AD4，求二面角 BPCN 的余弦值 【解答】 （1）证明：由题意，知 ABAD，ABPA， 又 PAADA，PA，AD平面 PAD， AB平面 PAD 又 PN平面 PAD，ABPN 由 PAPD，NAND，得 PNAD， ABADA，AB，AD平面 ABCD， 第 14 页（共 19 页） PN平面 ABCD； （2）解：由 APPD，NAND，AB2，AD4，得：NANDPNNE2 取 BC 的中点

28、E，连结 NE，则 NEAB，故 NEAD 由（1）知：PNNA，PNNE，NENA， 以 N 为原点，NA，NE，NP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 于是，有：N（0，0，0） ，A（2，0，0） ，B（2，2，0） ，C（2，2，0） ，P（0，0，2） ， = (0，0，2)， = (4，0，0)， = (2， 2，2) 设平面 NPC 的一个法向量为 = (，)， 则由 = 2 = 0 = 2 2 + 2 = 0 ，取 y1，得： = (1，1，0)； 设平面 BPC 的一个法向量为 = (，)， 则由 = 4 = 0 = 2 2 + 2 = 0 ，取 b1，得： = (

29、0，1，1) cos ， = | |= 1 22 = 1 2 二面角 BPCN 的余弦值为1 2 19 （12 分）对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，而咬牙 起床的唯一动力，就是上学能够不迟到已知学校要求每天早晨 7：15 之前到校，7：15 之后到校记为迟到小明每天 6：15 会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要 半个小时，故每天 6：45 小明就可以出门去上学从家到学校的路上，若小明选择步行 到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量 X（分钟）表示步行到校的时间， 可以认为 XN（22，4） 若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由

30、第 15 页（共 19 页） 于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量 Y（分钟）描 述骑车到校的时间，可以认为 YN（16，16） 若小明选择坐公交车上学，速度很快， 但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机 变量 Z（分钟）描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为 ZN（10，64） （1） 若某天小明妈妈出差没在家， 小明一觉醒来已经是 6： 40 了， 他抓紧时间洗漱更衣， 没吃早饭就出发了，出门时候是 6：50请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学 不迟到？小明此时的最优选择是什么？ （2）已知共享单车每 20 分钟收费一

31、元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变 量 表示这五天小明上学骑车的费用，求 的期望与方差（此小题结果均保留三位有效 数字） 已知若随机变量 N（0，1） ，则 P（11）68.26%，P（22）95.44%， P（33）99.74% 【解答】解： （1）依题意，小明需要在 25 分钟内到达学校 若他选择步行到校，则不迟到的概率记为 P1（X25） ，取 122，12， 则 1+124，1+2126， P1（X25）P1（X26）1 195.44% 2 =97.72% 若骑车到校，则不迟到的概率记为 P2（X25） ，取 216，24， 则 2+220，2+2224，2+3228， 则

32、P2（X24）1 1 2（195.44%）97.72%， P2（X28）1 1 2（199.74%）99.87%， P2（X25）（P2（X24） ，P2（X28） ）（97.72%，99.87%） ， 若坐公交车到校，则不迟到的概率记为 P3（X25） ，取 310，38， 则 3+318，3+2326，P3（X25）P3（X26）97.72% 综上，三种方案都无法满足 3原则，不能保证上学不迟到 相对而言，骑车到校不迟到的概率最高，是最优选择 （2）取随机变量 1表示五天里骑车上学时间单程超过 20 分钟的天数 依题意，每天骑车上学时间超过 20 分钟的概率为 P2（X20）= 168.2

33、6% 2 =15.87%， 1B（5，15.87%） ，E（1）515.87%0.7935， 第 16 页（共 19 页） D（1）515.87%（115.87%）0.668 又21+（51）5+1， E（）5+E（1）5.79（元） ，D（）D（1）0.668（元 2） 20 （12 分）椭圆 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的右焦点 F（1，0） ，O 为坐标原点 （1）若椭圆短轴的两个三等分点 M，N 与 F 构成正三角形，求椭圆的方程； （2）过点 F 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，若直线 l 绕点 F 任意旋转，都有|OA|2+|OB|2 |AB|2，求 a 的取值范围 【

34、解答】解： （1）由题意可得 c1，OF= 3 2 MN= 3 2 1 3 2所以 1= 3 3 b，即 b= 3，而 a2b2+c2，所以 a24，b23， 所以椭圆的方程为： 2 4 + 2 3 = 1； （ （2） 由 （1） 得， F （1， 0） ， a2， 当斜率为 0 时， A， B 是长轴的两个端点， 这时|OA|2+|OB|2 2a2|AB|24a2符合条件， 所以直线的斜率不为 0，设直线 l 的方程为：xmy+1，设交点 A（x，y） ，B（x，y） ， 联立直线与椭圆的方程整理得： （a2+b2m2）y2+2b2my+b2a2b20， y+y= 22 2+22，yy=

35、222 2+22， 因为有|OA|2+|OB|2|AB|2恒成立，所以AOB 为钝角， =xx+yy0 恒成立， xx+yym2yy+m（y+y）+1+yy（1+m2）yy+m（y+y） +1= (1+2)(222)222+2+22 2+22 = 222+222+2 2+22 0， 又 a2+b2m20， m2a2b2+b2a2b2+a20，对 mR 恒成立， 当对 mR 时，m2a2b2最小值为 0，所以 b2a2b2+a20， a2（a21）b2b4，又 a0，b0，a2c2b2，即 a21b2， ab2a21， 解得：a 1+5 2 或 a 15 2 （舍） ， 由以上可得，a 的取值范

36、围（1+5 2 ，+） 第 17 页（共 19 页） 21 （12 分）已知函数 f（x）ax+ 1 ，g（x）= 1 （1）讨论函数 f（x）在（0，+）上的单调性； （2）当 a= 1 2时，设 P（x，y）为函数 yln ()1 ()1（x（0，+） ）图象上任意一点直 线 OP 的斜率为 k，求证：0k1 【解答】解： （1）f（x）ax+ 1 ，f（x）a 1 2 = 21 2 ，1 分； 当 a0 时，f（x）0，函数 f（x）在（0，+）上的单调递减2 分； 当 a0 时，由 f（x）0，得 x1 = （舍负） ，3 分； 当 x（0， ）时，f（x）0，函数 f（x）单调递减；

37、当 x（ ，+）时，f（x） 0，函数 f（x）单调递增；5 分 （2）证明：由已知，即证 0yx yln()1 ()1 =ln ( 1)1 (1 2+ 1 )1 =ln 1 1 2 2 ，即证 0ln 1 1 2 2 x6 分 设 h（x）exx1 1 2x 2，h（x）ex1x，h（x）ex1， x（0，+） ，h（x）ex10，h（x）ex1x 为增函数 h（x）ex1xh（0）e010， h（x）为增函数， h（x）exx1 1 2x 2h（0）0，即 exx11 2x 2，即( 1)1 (1 2+ 1 )1 1， 第 18 页（共 19 页） ln ( 1)1 (1 2+ 1 )1

38、0，即 y0，9 分 构造函数 s（x）exx1 1 2x 2ex，s（x）ex1xex1 2x 2ex，s（x） 2xex 1 2x 2ex0，s（x）在（0，+）上为减函数， s（x）s（0）0，s（x）在（0，+）上为减函数，s（x）s（0）0， exx1 1 2x 2ex，即1 1 2 2 ex，即 yln 1 1 2 2 x 成立 由可知，0yx，0k1 成立，12 分 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系中，点 P 是曲线 C： = 2 = 2 + 2， （t 为参数数）上的动 点，以坐标

39、原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点 O 为中心，将线 段 OP 顺时针旋转 90得到 OQ，设点 Q 的轨迹为曲线 C2 （1）求曲线 C1，C2的极坐标方程； （2）在极坐标系中，点 M 的坐标为(4， 2)，射线 l： = 6 (0)与曲线 C1、C2分别交 于 A，B 两点，求MAB 的面积 【解答】解： （1）曲线 C1： = 2 = 2 + 2， （t 为参数）转换为直角坐标方程为：x 2+（y 2）24 转换为极坐标方程为 4sin 将线段 OP 顺时针旋转 90得到 OQ，设点 Q 的轨迹为曲线 C2 所以 Q（，）对应的 Q（， + 2） ， 所以曲线

40、C2的极坐标方程为 4cos （2）利用点到直线的距离公式的应用，点 M 到直线的距离 d4sin 3 =23 所以|AB|12|= 4( 6 6) = 2(3 1)， 所以= 1 2 | = 6 23 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23 （1）设 a，b（0，+） ，且 ab，求证：a3+b3a2b+ab2 （2）设 a，b，c 为不全相等的正数，且 abc1，求证：1 + 1 + 1 + + 第 19 页（共 19 页） 【解答】 （1）方法一（分析法） ：要证 a3+b3a2b+ab2 成立， 即需证（a+b） （a2ab+b2）ab（a+b） 成立， 又因 a+b0，故只

41、需证 a2ab+b2ab 成立， 即需证 a2ab+b20 成立， 即需证 （ab）20 成立， 而依题设 ab，则 （ab）20 显然成立，由此命题得证； 方法二（综合法） ：abab0（ab）20a22ab+b20a2ab+b2ab， 注意到 a，b（0，+） ，a+b0， 由上式即得（a+b） （a2ab+b2）ab（a+b） ， 所以 a3+b3a2b+ab2； （2）解：a，b，c 为不全相等的正数，且 abc1， 1 + 1 + 1 = + + ， 又 bc+ca 2 =2，ca+ab 2 = 2，ab+bc 2 = 2， 且 a，b，c 不全相等，上述三个不等式中的“”不能同时成立， 2 + 2 + 22 + 2 + 2，即 + + + + ， 故 1 + 1 + 1 + +