2023年中考数学专题训练：三角形综合题.docx

1、2023年中考数学专题训练：三角形综合题一、综合题1如图（1）ACAB，BDAB，AB12cm，ACBD8cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）.（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t2时，ACP与BPQ是否全等，请说明理由； （2）在（1）的条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明； （3）如图（2），将图（1）中的“ACAB，BDAB”改为“CABDBA50”，其他条件不变.设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得ACP与BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请

2、说明理由. 2在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，E、F 是对角线 AC 上的两个动点，分 别从 A、C 同时出发相向而行，速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒，其中 0t5 .（1）若 G，H 分别是 AB，DC中点，求证：四边形 EGFH 是平行四边形（E、F 相遇时除外）； （2）在（1）条件下，若四边形 EGFH 为矩形，求 t 的值； （3）若 G，H 分别是折线 ABC，CDA 上的动点，与 E，F 相同的速度同时出发，若 四边形 EGFH 为菱形，求 t 的值. 3如图1，已知一次函数 y=kx+6 的图象分别交y轴正半轴于点A，x轴正半轴于点B，且AOB的面积是2

3、4，P是线段OB上一动点. （1）求一次函数解析式； （2）如图1，将AOP沿AP翻折得到AOP，当点O正好落在直线AB上时，求点P的坐标；将直线AP绕点P顺时针旋转45得到直线AP，求直线AP的表达式；（3）如图2，上题中的直线AP与线段AB相交于点M，将PBM沿着射线PA向上平移，平移后对应的三角形为PBM，当APB是以AP为直角边的直角三角形时，请求出点P的坐标. 4如图，开口向上的抛物线yax22ax3a与X轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），顶点为D.经过点A的直线ykx+b（k0）与抛物线的另一个交点为C.（1）求点C的坐标（用含a、k的代数式表示）. （2）当ACD的内心恰在X

4、轴上时，求 ka 得值.（3）已知ADB为直角三角形：a的值等于（直接写出结果）.若直线AC下方的拋物线上存在点P，使APCADB，求的值及点P的坐标.5问题探究如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，A=90;（1）在图中作一条直线将四边形ABCD的面积二等分;（2）已知AB=2，BC= 25 ，在图四边形ABCD内部求作一点P，使得PB=PD，且折线B-P-D将四边形ABCD面积二等分；并求折线段B-P-D的长度;（3）问题解决：如图，植物园有一块空地ABCD，其中AB=AD=100m，CB=CD=100 5 m，A=90.根据视觉效果和花期特点，植物园设计部门想在这块空地上种上

5、等面积的两种不同的花，要求从入口B修一条笔直的小路将这块地的面积二等分(小路面积忽略不计)，以方便游客观赏，请通过计算，画图说明设计部门能否实现，若能实现，求出小路的长度；若不能，说明理由.6如图1，在平面直角坐标系中，已知点 A(-8,0) ， B(2,0) ，以 AB 为直径作 D ，交 y 轴的正半轴于点C，连结AC、BC，过A、B、C三点作抛物线. （1）求抛物线的解析式； （2）点F是BC延长线上一点， ACF 的平分线CE交 D 于点E，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，连结AE，在 D 上是否存在点P，使得 PEA=CAE ？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理

6、由. 7如图，直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），以线段OA为边在第四象限内作等边AOB，点C为 x 轴正半轴上一动点（OC3），连结BC，以线段BC为边在第四象限内作等边CBD，直线DA交 y 轴于点E. （1）证明ACB=ADB； （2）若以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形，求此时C点的坐标； （3）随着点C位置的变化， OAAE 的值是否会发生变化?若没有变化，求出这个值；若有变化，说明理由.8已知ABCEDC，过点A作直线lBC；（1）如图1，点D在线段AC上时，点E恰好落在直线l上点A的右侧，求ACB的度数；（2）如图2，在（1）的条件下，连接BE交AC于点F，G是线段CE上一

7、点，且满足CGCF，连接DG交EF于点H，连接CH.求证：SCHGSCBE=GHBE；（3）如图3，ACB大小与（1）中相同，当点D不在线段AC上时，且点F、点G、点H满足（2）中条件，点M，N分别为线段CE，GD的延长线与直线l的交点.请直接写出GMN为等腰三角形时，EBC与BCD满足的数量关系.9以BC为斜边在它的同侧作RtDBC和RtABC，其中A=D=90，AB=AC，AC、BD交于点P.（1）如图1，BP平分ABC，求证：BC=AB+AP；（2）如图2，过点A作AEBP，分别交BP、BC于点E、点F，连接AD，过A作AGAD，交BD于点G，连接CG，CG交AF于点H，求证：GH=CH

8、；（3）如图3，点M为边AB的中点，点Q是边BC上一动点，连接MQ，将线段MQ绕点M逆时针旋转90得到线段MK，连接PK、CK，当DBC=15，AP=4时，求PK+CK的最小值.10如图，在RtABC中，C=90，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒.（1）求BC边的长； （2）当ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当ABP为等腰三角形时，求t的值. 11如图1，ABC中，ABC90，AB1，BC2，将线段BC绕点C顺时旋转90得到线段CD，连接AD（1）说明ACD的形状，并求出ACD的面积; （2）把等腰直角三角板按如图2的方

9、式摆放，顶点E在CB边上，顶点F在DC的延长线上，直角顶点与点C重合.从A，B两题中任选一题作答：A .如图3，连接DE，BF,猜想并证明DE与BF之间的关系；将三角板绕点C逆时针旋转(090)，直接写出DE与BF之间的关系.B .将图2中的三角板绕点C逆时针旋转(0360)，如图4所示，连接BE，DF，连接点C与BE的中点M,猜想并证明CM与DF之间的关系；当CE1，CM 72 时，请直接写出的值.12如图，在 RtABC 中， ACB=90,AC=3,BC=4 动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿 AC-CB-BA 方向绕行 ABC 一周，动直线l从 AC 开始，以每秒1个单位长度

10、的速度向右平移，分别交 AB、BC 于 D、E 两点当点P运动到点A时，直线l也停止运动（1）求点P到 AB 的最大距离；（2）当点P在 AC 上运动时， 求 tanPDE 的值；把 PDE 绕点E顺时针方向旋转，当点P的对应点 P 落在 ED 上时， ED 的对应线段 ED 恰好与 AB 垂直，求此时t的值（3）当点P关于直线 DE 的对称点为F时，四边形 PEFD 能否成为菱形？若能，直接写出t的值；若不能，请说明理由13如图，在矩形ABCD中，AB6，BC4，动点Q在边AB上，连接CQ，将BQC沿CQ所在的直线对折得到CQN，延长QN交直线CD于点M（1）求证：MCMQ（2）当BQ1时，

11、求DM的长； （3）过点D作DECQ，垂足为点E，直线QN与直线DE交于点F，且 DFDE=13 ，求BQ的长 14（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在ABC中，AD是ABC的中线，若AB10，AC8，求AD的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DEAD，连接BE请根据小明的方法思考：.由已知和作图能得到ADCEDB，依据是 ASSS BSAS CAAS DASA.由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三

12、角形之中（2）【学会运用】如图，AD是 ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB， BAC=BCA， 求证：AE=2AD.15ABC （ C90 ）的三条角平分线相交于点 D ，延长 AD 交 BC 于点 E 作 AFBC ，交 BC 延长线于点 F （1）若 BAC=40 ，则 BDC= ； （2）判断 CDE 与 ABD 的数量关系，并说明理由； （3）求证 ACD=EAF+ABD 16问题引入：（1）如图所示， ABC 中，点 O 是 ABC 和 ACB 的平分线的交点，若 A= ，则 BOC= （用 表示）；不用说明理由，直接填空 如图所示， OBC=13ABC ， OCB=13

13、ACB ，若 A= ，则 BOC= （用 表示）不用说明理由，直接填空（2）如图所示， OBC=13DBC ， OCB=13ECB ，若 A= ，求 BOC答案1（1）解：ACP与BPQ全等， 理由如下：当t2时，APBQ4cm，则BP1248cm，BPAC8cm，又AB90，在ACP和BPQ中，AP=BQA=BCA=PB ，ACPBPQ（SAS）.（2）解：PCPQ， 证明：ACPBPQ，ACPBPQ，APC+BPQAPC+ACP90.CPQ90，即线段PC与线段PQ垂直.（3）解：若ACPBPQ， 则ACBP，APBQ，122t8，解得，t2（s），则x2（cm/s）.若ACPBQP，则A

14、CBQ，APBP，则2t 12 12，解得，t3（s），则x83 83 （cm/s），故当t2s，x2cm/s或t3s，x 83 cm/s时，ACP与BPQ全等.2（1）证明：四边形ABCD是矩形， AB=CD，ABCD，ADBC，B=90，AC= AB2+BC2=5 ，GAF=HCE，G，H分别是AB，DC中点，AG=BG，CH=DH，AG=CH，AE=CF，AF=CE，在AFG和CEH中，AG=CHGAF=HCEAF=CE ，AFGCEH（SAS），GF=HE，同理：GE=HF，四边形EGFH是平行四边形；（2）解：由（1）得：BG=CH，BGCH， 四边形BCHG是平行四边形，GH=BC

15、=4，当EF=GH=4时，平行四边形EGFH是矩形，分两种情况：AE=CF=t，EF=5-2t=4，解得：t=0.5；AE=CF=t，EF=5-2（5-t）=4，解得：t=4.5；综上所述：当t为0.5s或4.5s时，四边形EGFH为矩形；（3）解：连接AG、CH，如图所示： 四边形EGFH为菱形，GHEF，OG=OH，OE=OF，OA=OC，AG=AH，四边形AGCH是菱形，AG=CG，设AG=CG=x，则BG=4-x，由勾股定理得：AB2+BG2=AG2，即32+（4-x）2=x2，解得，x= 258 ，BG= 4-258 = 78 ，AB+BG=3+ 78 = 318 ，t为 318 时

16、，四边形EGFH为菱形.3（1）解：由解析式可得OA=6 AOB的面积是24OB=8点B的坐标是（8,0）将B点坐标代入解析式，得 k=-34一次函数解析式为： y=-34x+6（2）解：如图，当点O落在AB上时，PO=PO，且PBO为直角三角形。 AO=6,BO=8AB=10,AO=6OB=4设P点坐标为（a,0），由勾股定理可得: PB2=PO2+BO2即 （6-a）2=a2+42解得：a=3点P的坐标为（3,0）如图，过点A作AQPA交PA于点Q，过点Q作QEy轴于点E。APQ=45，AQPAAPQ是等腰直角三角形AQ=APQEAAOPEQ=AO=6,EA=OP=3点Q的坐标是（6,9）

17、设PA的解析式为 y=kx+b ,将点P（3,0）和Q（6,9）代入，求得 k=3，b=-9 .PA的解析式为 y=3x-9（3）解：设点P的坐标为（a,3a-9）,则点B的坐标为（a+5,3a-9）， 点P的坐标为（3,0），点A的坐标（0,6）当APB=90时，如图，有 PB2+PA2=AB2(a+2)2+(3a-9)2+(35)2=(a+5)2+(3a-15)2解得 a=4点P的坐标为（4,3）.当PAB=90时，如图，有 AB2+PA2=PB2(a+5)2+(3a-15)2+(35)2=(a-2)2+(3a-9)2解得 a=7点P的坐标为（7,12）.综上所述，P点的坐标为（4,3）或

18、（7,12）4（1）解：由 ax2-2ax-3a=0 ， a0 ， 解得 x1=-1,x2=3 ，A(-1,0) ， B(3,0) .直线 y=kx+b 经过点A，-k+b=0 ， b=k ，直线 AC 的解析式为 y=kx+k .由 y=ax2-2ax-3ay=kx+k ，解得： x1=-1y1=0 ， x2=-k+3aay2=k2+4aka ，C(k+3aa,k2+4aka) ；（2）解：过D作Y轴的平行线 DE 交 AC 于E、交X轴于点F， yax22ax3a的对称轴为 x=-2a2a=1 ，D(1,-4a) .DE/Y 轴且点E在直线 y=kx+k 上，E(1,2k) .ACD 的内

19、心恰在x轴上，x轴平分 CAD ，EAF=DAF ，EF=DF ，2k=4a ，ka=42=2 ；（3）12解：当 a=12 ， C(2k+3,8k+12) 过点做直线 l/X 轴，作 AMl,CNl 垂足分别为M、N， APCADB ， ADB 为等腰直角三角形， APC 也为等腰三角形， CP=AP,APC=90 ， APM+CPN=90 . APM+MAP=90 ， CPN=MAP ， AMP=PNC,AP=PC ， RtCNPRtPMA ， CN=PM ， AN=AM . 设 P(m,12m2-m-32) ， 由 CN=PM 得 8k+12-(12m2-m-32)=m+1 ， 由 PN

20、=AM 得 2k+3-m=-(12m2-m-32) ， 注意到 k0 由上两式可解得 k=14 ， m=2 ， P(2,-32) .5（1）解：如图，连结AC，则直线AC把将四边形ABCD的面积二等分，理由如下：在ABC和ACD中，AB=ADCB=CDAC=AC，ABCACD（SSS），SABC=SACD.（2）解：连结BD，取AC的中点P，则P为所求点，理由如下，AB=AD，则A在BD的垂直平分线上，CB=CD，则C在BD的垂直平分线上，AC是BD的垂直平分线，PB=PD，PA=PC，SABP=SBCP（等底同高），同理SADP=SCDP，SABP+SADP=SBCP+SCDP，即S四边形A

21、BPD=SBCP+SCDP， 折线B-P-D将四边形ABCD面积二等分 ；ABCACD，BAC=DAC=45，AH=BH=22AB=222=2，CH=BC2-BH2=252-22=32,AC=AH+PH=2+32=42，CP=12AC=22PH=CH-PC=32-22=2，BP=BH2+PH2=22+22=2， 折线段B-P-D的长度=BP+DP=2BP=4.（3）解：如图，过P作PQBD交CD于点Q，过Q作QGBD，则BQ为观赏小路，理由如下：PQBD，SBPD=SQPD（同底等高），SBPD-SPOQ=SQPD-SPOQ，SPOB=SDOQ，S四边形ABPD=S四边形ABQD=12S四边形

22、ABCD， BQ为所求的线路 ；AB=AD，BAD=90，BAD为等腰直角三角形，AHBD，ABH为等腰直角三角形，AH=BH=HD=22AB=502，CH=BC2-BH2=(1005)2-(502)2=1502，AC=AH+CH=502+1502=2002，CP=12AC=1002，PH=CH-CP=1502-1002=502=QD，PQ：HD=CP：CH，即PQ：502=1002：1502，PQ=10032，BG=BH+HG=502+10032=25023，BQ=BG2+QG2=(25023)2+5022=100173.6（1）解：如图1，连接 DC,A(-8,0) ， B(2,0) ，A

23、B=2-(-8)=10，AD=BD=CD=5，OD=BD-OB=5-2=3，OC=DC2-DO2=52-32=4，D(-3,0) ， C(0,4) .设抛物线为 y=a(x+8)(x-2) ，则 -16a=4,得 a=-14 ，y=-14(x+8)(x-2)=-14x2-32x+4 .（2）解：如图1，连接 DE . AB 为直径，ACB=90=ACF, ，CE 平分 ACF ，ACE=45 ，ADE=90 ，即 DEOA ，E(-3,5) .（3）解：如备用图，情况1：点 P1 在 AE 的上方时， 过 E 作 EP1/AC 交 D 于点 P1 ，则 P1EA=CAE,过 P1 作 P1HO

24、A ，交 OA 于 H, 交 D 于 P2， 连结 P1D 、 CD ，则 AP1=CE,ADP1=CDE ，EDAB,COAB,DE/CO,EDC=DCO,P1DH=DCO,DP1=DC,P1HD=DOC=90，P1DHDCO ，DH=CO=4 ， P1H=OD=3 ，OH=3+4=7，P1(-7,3) .情况2：点 P 在 AE 的下方时，ADP1P2，HP1=HP2=3，AP1=AP2，AEP2=AEP1=CAE,P2(-7,-3) .综上： P(-7,3) 或 P(-7,-3) .7（1）证明：AOB和CBD是等边三角形 OB=AB，BC=BD，OBA=CBD= 60 ，OBA+ABC

25、=CBD+ABC，即OBC=ABD在OBC与ABD中，OB=AB，OBC=ABD，BC=BDOBCABD(SAS)OCB=ADB即ACB=ADB（2）解：OBCABD BOC=BAD= 60又OAB= 60OAE= 180-60-60 = 60 ，EAC= 120 ，OEA= 30 ，在以A，E，C为顶点的等腰三角形中AE和AC是腰. 在RtAOE中，OA=3，OEA= 30AE=6AC=AE=6OC=3+6=9以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，C点的坐标为（9，0）（3）解： OAAE 的值不变. 理由： 由（2）得OAE= 180 -OAB-BAD= 60OEA= 30 在RtAO

26、E中，EA=2OAOAAE = 128（1）解：lBC， EAC=ACB，ABCEDC，ACB=ACE，AC=EC，EAC=ACE=AEC，ACE是等边三角形，即：ACE=60，ACB=60；（2）证明：过点C作CMDG，CNBE， 由（1）可知：ACE=ACB=60，ABCEDC，BC=DC，在BCF和CGD中，BC=CDACB=ACEFC=GC，BCFDCG，EBC=GDC，在BCN和DCM中，CNB=CMDEBC=GDCBC=CD，BCNDCM，NC=MC，SCHG=12HGCM，SCBE=12BECN，SCHGSCBE=GHBE；（3）解：由（1）可知：ACB=DCE=60，延长BE交

27、l于点S，延长BC交NH 于点T， 当GMN是等腰三角形，GN=GM时， 设EBC=，BEC=，ECT=+，lBC，MSE=EBC=，GMN=MNG=+=NTB，在BCF和CGD中，BC=CDACB=DCEFC=GC，BCFDCG，CDG=EBC=，BOC=DOH，DCB=DHO，DHO=EBC+HTB=+=2+，DCB=2+，又DCB=180-DCT=180-（+）-60=120-，2+=120-，化简得：=60-32，DCB=DHO=2+=2+60-32=60+12，即：BCD=60+12EBC；当NG=NM时，同理可得：GCT=+，DCB=180-DCT=180-（+）-60=120-，

28、又BCFDCG，DGC=BFC=180-60-=120-，又DGM=60+，NG=NM，lBC，GCT=NMG=DGM，+=60+，解得：=60，BCD=180-DCT=180-60-（60+）=60-，BCD=60-EBC（不合题意舍去）；当MN=MG时，同理可得：MNG=MGN= CGT=CTG=12（180-）BCD=CDT+DTC=+12（180-），又BCD=180-DCT=180-60-=120-，+12（180-）=120-，=60-3，BCD=180-DCT =180-60-= 180-60-60+3=60+2，即：BCD=60+2EBC，综上所述：BCD=60+12EBC或B

29、CD=60+2EBC.9（1）证明：过点P作PTBC于点T，如图所示：A=90，BP平分ABC，AP=PT，BP=BP，RtABPRtTBP（HL），AB=BT，AB=AC，A=90，ABC=ACB=45，PTC=90，TPC=TCP=45，AP=PT=TC，BC=BT+TC，BC=AB+AP；（2）证明：过点C作CRAF交AF延长线于点R，如图所示：AEBP，AEB=CRA=90，ABE+BAE=BAE+CAR=90，ABE=CAR，AB=AC，ABECAR（AAS），AE=CR，AGAD，DAG=BAC=90，DAG-GAC=BAC-GAC，即DAC=GAB，BDC=BAC=90，ABP=

30、DPC，ABG=ACD，AB=AC，ABGACD（ASA），AG=AD，AGD为等腰直角三角形，AEDG，AE=GE=DE，CR=GE，HEG=HRC=90，EHG=RHC，EHGRHC（AAS），GH=CH；（3）解：过点A作AOBC于点O，连接OM、BK，如图所示：AB=AC，BAC=90，AO=BO=CO，点M是AB的中点，OM=BM=AM，OMAB，OAM=OBM=45，线段MQ绕点M逆时针旋转90得到线段MK，MQ=MK，QMK=90，OMB=QMK=90，OMB-OMQ=QMK-OMQ，即BMQ=OMK，MBQMOK（SAS），MBQ=MOK=45，点K在OA所在的直线上移动，OA

31、垂直平分BC，CK=BK，PK+CK=PK+BKBP，当且仅当B、K、P三点共线时PK+CK取得最小值，ABC=45，DBC=15，ABP=30，在RtBAP中，BAP=90，AP=4，BP=2AP=8，PK+CK的最小值为8.10（1）解：在RtABC中，BC2AB2AC21026264， BC8（cm）（2）解：由题意知BP2tcm， 当APB为直角时，点P与点C重合，BPBC8cm，即t4；当BAP为直角时，BP2tcm，CP（2t8）cm，AC6cm，在RtACP中，AP262（2t8）2，在RtBAP中，AB2AP2BP2，即：10262（2t8）2（2t）2，解得：t 254 ，故

32、当ABP为直角三角形时，t4或t 254 ；（3）解：当ABBP时，t5； 当ABAP时，BP2BC16cm，t8；当BPAP时，APBP2tcm，CP|2t8|cm，AC6cm，在RtACP中，AP2AC2CP2，所以（2t）262（2t8）2，解得：t 258 ，综上所述：当ABP为等腰三角形时，t5或t8或t 258 .11（1）解：ACD是等腰三角形，理由如下： 过点A作AECD于点E，则AEC=AED=90.又ABC90，BCE=90，四边形ABCE是矩形，AE=BC=2，AB=CE=1，CD=1，AE垂直平分CD，AC=AD，ACD是等腰三角形，SACD=12CDAE=1222=2

33、 ；（2）解：A: DE=BF，DEBF.理由如下：由旋转可知，BC=CD=2,BCD=90，等腰直角CEF顶点E在CB边上，顶点F在DC的延长线上，CE=CF，BCF=DCE=90.在BCF和DCE中，BC=DC，BCF=DCE，CF=CE，BCFDCE(SAS)，DE=BF，CBF=CDE，延长DE交BF于点H，DEC+CDE=90，DEC=BEH，BEH+CBF=90，BHE=90，DEBF；DE=BF，DEBF.证明方法同；B:CM= 12 DF，CMDF.理由如下：延长MC交DF于点N，延长CM至点G，使CM=MG，连接EG，M是BE的中点，ME=MB.在MEG和MBC中，ME=MB

34、，EMG=BMC，MG=MC，MEGMBC(SAS)，CM=MG= 12 CG，BC=GE， BCGE，BC=CD，EG=CD.由旋转得BCE=，BCGE，CEG=180-，DCF=360-ECF-BCE-BCD=180-，CEG=DCF，在ECG和CFD中，CE=CF，CEG=DCF，CEG=DCF，ECGCFD(SAS)，CG=DF，ECG=CFD，MG=MC，MC= 12 DF ，ECF=90，ECG+FCN=FCD+FCN=90，CNF=90，DEBF；作FHDC，交DC的延长线与点H，设FH=x，CH=y.CM= 72 ，DF=CG= 7 ，x2+y2=1x2+(y+2)2=7 ，解

35、之得 x=32y=12 .FH= 12 CF,FCH =30，FCD=120，BCE=60，=60或300.12（1）解：当点P与点C重合时，点P到 AB 的距离最大， 过点C作CFAB于FAC=3,BC=4,ACB=90根据勾股定理，得 AB=5,SABC=12ACBC=12ABCF5CF=34,CF=125 当点P与点C重合时，点P到AB的距离最大，最大值为RtABC斜边AB上的高CF，即点P到 AB 的最大距离是 125 （2）解：当点P在 AC 上运动时，设运动时间为 ts ，则有 AP=3t,CE=t ， 直线 l/AC,PDE=APD ，如图，过点D作 DGAC 于点G，则四边形

36、CEDG 是矩形，DG=CE=t,PG=AP-AG=3t-AG ，tanA=DGAG=BCAC ，即 tAG=43,AG=34t,PG=3t-34t=94t ，tanAPD=DGPG=t94t=49 ，即 tanPDE=49 EDAB,4+B=90 ，A+B=90,4=A 直线 l/AC, 直线 lBC ，1+2=90，3+4=90 ，由旋转的性质，得 2=3,1=4 ，1=A ，RtCEPRtCAB ，CEAC=PCBC 即 t3=3-3t4 ，t=913 （3）能， t1=47,t2=762913（1）解：证明：四边形ABCD是矩形， DC AB即MCQ=CQB，BQC沿CQ所在的直线对折

37、得到CQNCQN=CQB，即MCQ=MQC，MC=MQ（2）解：四边形ABCD是矩形，BQC沿CQ所在的直线对折得到CQN， CNM=B=90，设DM=x，则MQ=MC=6+x，MN=5+x，在RtCNM中，MB2=BN2+MN2，即（x+6）2=42+（x+5）2，解得：x= 52 ，DM= 52 ，DM的长2.5（3）解：解：分两种情况： 当点M在CD延长线上时，如图所示：由（1）得MCQ=MQC，DECQ，CDE=F，又CDE=FDM，FDM=F，MD=MF过M点作MHDF于H，则DF=2DH，又 DFDE13 ，DHDE16 ，DECQ MHDF，MHD=DEC=90，MHDDECMD

38、DCDHDE16 ，DM=1，MC=MQ=7，MN MC2-NC2=72-42=33BQNQ 7-33当点M在CD边上时，如图所示，类似可求得BQ=2综上所述，BQ的长为 7-33 或214（1）SAS；1AD9（2） 证明：如图，延长AD至F，使AD=DF，ADB=FDC，BD=DC，ABDFDC（SAS），AD=DF，CF=AB，B=DCF，AB=CE，CF=CE，AB=BC，BAC=BCA，ACE=BAC+B，ACF=ACB+DCF，ACE=ACF，在ACF和ACE中，CE=CFACE=ACFAC=ACACFACE（SAS），AE=AF=2AD. 15（1）110（2）解： ABD+CD

39、E=90 理由如下： AD 、 BD 、 CD 为 ABC 的角平分线，ABD=12ABC ， CAD=12BAC ， ACD=12ACB ABD+CAD+ACD=12ABC+12BAC+12ACB=12(ABC+BAC+ACB)=12180=90 CDE 是 ADC 的外角，CDE=CAD+ACD ABD+CDE=90 （3）证明：AFBC ， AFE=90 ，EAF=90-AEF AEF 是 AEB 的外角，AEF=ABE+BAE=2ABD+12BAC=2ABD+12(180-ABC-ACB)=2ABD+90-12ABC-12ACB=2ABD+90-ABD-ACD=90+ABD-ACD EAF=90-(90+ABD-ACD)=ACD-ABD ACD=EAF+ABD 16（1）90+a2；120+a3（2）解：OBC=13DBC ， OCB=13ECB ， A= ， DBC=A+ACB ， ECB=A+ABC ， BOC=180-13(A+ACB+ABC+A)=180-13(180+A)=120-332