1、微积分初步辅导4-导数与微分的计算一、学习重难点解析关于导数的计算掌握导数的计算首先要熟记导数基本公式和求导法则.在我们这门课程中所学习的求导法则和方法有：(1)导数的四则运算法则；(2)复合函数求导法则；对于上述法则和方法在实用中要注意其成立的条件.在导数的四则运算法则中，应该注意乘法法则和除法法则，注意它们的构成形式并注意解题的技巧.例如，求.这是一个分式求二阶导数的问题，形式上应该用导数的除法法则求解，但是，如果将函数变形为再求导数就应该用导数的加法法则了.假如我们掌握了一些解题的技巧，会使我们的运算变得简单还会减少错误.复合函数求导数是学习的重点也是难点，它的困难之处在于对函数的复合过
2、程的分解.由复合函数求导法则知，复合函数的导数为在求导时将分解为(其中为中间变量)，然后分别对中间变量和自变量求导再相乘.那么如何进行分解就是解题的关键，一般的说，所设的中间变量应是基本初等函数或基本初等函数的四则运算，这样就会对于分别都要有导数公式或法则可求导.如果分解后找不到求导公式，则说明分解有误.例如函数，其分解为.于是分别求导为，.相乘得到.有一种错误的分解是，这样在求导时会发现没有导数公式可以来求.总之，导数公式和求导法则是要靠练习来熟悉和理解的，我们应该通过练习掌握方法并从中获得技巧.二、典 型 例 题例1 求下列函数的导数或微分：(1) 设，求.(2) 设，求.(3) 设，求.
3、分析 采用复合函数求导法则，所设的中间变量应是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.求导时，依照函数的复合层次由最外层起，向内一层层地对中间变量求导，直至对自变量求导为止.解 (1)设，利用复合函数求导法则，有代回还原得在基本掌握复合函数求导法则后，也可以不写出中间变量，如下解法： (2)设，利用复合函数求导法则，有代回还原得 或着 (3)设，利用复合函数求导法则和导数的四则运算法则有，代回还原得或着 例2 求由曲线在点的切线方程.分析 如果函数可导，函数曲线在点处的切线方程为因此求曲线在某点处的切线方程，必须知道两点：曲线在点处的导数；切点. 此题中，切点已知，只需对隐函数方程求导数，求出.解 方程两边对求导，得解出，得于是，在点的切线方程为即 请注意：求曲线的切线方程是导数概念的一个重要应用，一般地，在题目中只给出切线方程的两个要点中的一个，另一个是要根据已知条件求出来的.再则，如果已知条件中只给了切点的横坐标，那么纵坐标可以通过得到.例3 求函数的二阶导数.分析 函数的二阶导数为函数一阶导数的导数.(如果仍然可导).解 因为 所以 .3 / 4
