312导数的概念.ppt

1、1.1.2导数的概念导数的概念 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用1 1、平均变化率、平均变化率 )(xf一般的，函数在区间上一般的，函数在区间上 的的平均变化率平均变化率为为,21xx xxfxxf)()(222121xxxfxf一一.复习复习 其几何意义是其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。曲线的割线）的斜率。在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为度为h（单位：（单位：m）与起跳后的时间）与起跳后的时间t(单位：单位：s)存在函数关系存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10hto求求2时的瞬时速

2、度？时的瞬时速度？2我们先考察我们先考察2附近的情况。附近的情况。任取一个时刻任取一个时刻2，是时间改变量，可以是正值，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为也可以是负值，但不为0.当当0时，在时，在2之前；之前；当当0时，在时，在2之后。之后。0时时20时时2二二.新授课学习新授课学习2,22,2,.ttv计算区间和区间内平均速度 可以得到如下表格t0时时,在在2,2+t 这段时这段时间内间内1.139.4tv1.139.4tv13.051v 当t=0.01时,13.149v 当t=0.01时,0951.13v当t=0.001时,1049.13v当t=0.001时,13.09951v

3、 当t=0.0001时,13.10049v 当t=0.0001时,099951.13vt=0.00001,100049.13vt=0.00001,13.0999951v t=0.000001,13.1000049v t=0.000001,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势势.l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105.69.4)(2ttth当当t趋近于趋近于0时时,平均平均速度有什么变化趋势速度有什么变化趋势?,0,2,22,13.1.tt 我们发现 当趋近于 时 即无论 从小于 的一边还是

4、从大于 一边趋近于 时 平均速度都趋近于一个确定的值,|,2.,213.1/.tvttm s 从物理的角度看 时间间隔无限变小时 平均速度 就无限趋近于时的瞬时速度因此 运动员在时的瞬时速度是 .,.lim,11302113220 定值趋近于确平均速度时趋势近于当表示我们用为了表述方便vttththt .时的极限时的极限趋近于趋近于当当是是我们称确定值我们称确定值022113tthth 瞬时速度0limt 在局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过在局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。思考：思考：如

5、何求瞬时速度？如何求瞬时速度？lim是什么意思？是什么意思？在其下面的条件下求右面的极限值。在其下面的条件下求右面的极限值。运动员在某一时刻运动员在某一时刻0的瞬时速度如何表示的瞬时速度如何表示?0limt(2)(2)13.1htht 示？处的瞬时变化率怎么表在、函数xxfxxflimxylimxf0 x0 x0即：、函数的平均变化率怎么表示？、函数的平均变化率怎么表示？思考：0 xlim 000 xxyxfxxxfy或记作：处的导数，在我们称它为函数定义定义:函数函数 y=f(x)在在 x=x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是xxxfxxfxx ylim )()(lim 0000称为函数称

6、为函数 y=f(x)在在 x=x0 处的处的导数导数,记作记作0000()()()lim.xf xxf xfxx )(0 xf 或或 ,即即0|xxy。其导数值一般也不相同的值有关，不同的与000)(.1xxxf 的具体取值无关。与 xxf)(.20一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同.3导数的作用：导数的作用：在例在例2中，高度中，高度h关于时间关于时间t的导数是运动员的的导数是运动员的瞬时速度；瞬时速度；在例在例1中，我们用的是平均膨胀率，那么半径中，我们用的是平均膨胀率，那么半径r关于体积关于体积v的导数是气球的的导数是气球的瞬时膨胀率瞬时膨胀率导数可以描绘任何事物的瞬时变化率导数可以

7、描绘任何事物的瞬时变化率 由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数的基本方法是的基本方法是:);()()1(00 xfxxfy 求求函函数数的的增增量量;)()()2(00 xxfxxfxy 求求平平均均变变化化率率.lim)()3(00 xyxfx 取取极极限限，得得导导数数注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负.自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x选择选择 哪种形式哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.一差、二比、三极限一差、

8、二比、三极限例例1.(1)求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均附近的平均变化率，并求出在该点处的导数变化率，并求出在该点处的导数(3)质点运动规律为质点运动规律为s=t2+3，求，求质点在质点在t=3的瞬时速度的瞬时速度.三典例分析三典例分析题型二：求函数在某处的导数题型二：求函数在某处的导数例例1.(1)求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.三典例分析三典例分析题型二：求函数在某处的导数题型二：求函数在某处的导数(1)(1)yfxf解：23(1)3x263()xx263()yxxxx63 x/00(1)li

9、mlim(63)6xxyfxx例例1.(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均变附近的平均变化率，并求出在该点处的导数化率，并求出在该点处的导数 三典例分析三典例分析题型二：求函数在某处的导数题型二：求函数在某处的导数(1)(1)yfxf 解：22(1)(1)(1)(1)xx 2()3xx 2()3yxxxx平均变化率3x/00(1)limlim(3)3xxyfxx例例1.(3)质点运动规律为质点运动规律为s=t2+3，求质点在，求质点在t=3的瞬时速度的瞬时速度.三典例分析三典例分析题型二：求函数在某处的导数题型二：求函数在某处的导数(3)(3)sftf解：22(3)3(

10、33)t 2()6tt2()6stttt6t/00(3)limlim(6)6ttsftt例例1:(1)求函数求函数y=x2在在x=1处的导数处的导数;(2)求函数求函数y=x+1/x在在x=2处的导数处的导数.,)(21)1()1(222xxxy 解解：,2)(22xxxxxy .2|,2)2(limlim100 xxxyxxy,)2(2)212(21)2()2(xxxxxy ,)2(211)2(2xxxxxxy .43|,43411)2(211 limlim200 xxxyxxy.,21|,:2000的的值值求求且且处处附附近近有有定定义义在在已已知知函函数数例例xyxxxyxx ,:00

11、xxxy 解解.1)()(0000000000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxy ,211limlim00000 xxxxxyxx .1,2121,21|000 xxyxx得得由由.yxy已知，求1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 练习练习:xyxxxxxxDD=+D-=+D+解：.)0(|2的的导导数数数数：利利用用导导数数的的定定义义求求函函例例 xxy|,yx解：0,xyx 当时.0101 xxy0,xyx当时()1,yxxxxx则0lim1;xyx()()1,yxxxxx 0lim1;xyx .,62).80(157:,.,220并说明它们的意义的瞬时变化率

12、原油温度时和第计算第为单位的温度原油时如果在和加热行冷却油进对原需要品产柴油、塑胶等各种不同将原油精炼为汽油、例hhxxxxfCxh,根据导数的定义 xfxfxy22 .6f和 262,fhh就是原油温度的瞬时变化率时和第在第解 xxx152721527222 ,3742 xxxxx,33limlim2,00 xxyfxx所以 .56 f同理可得.运运算算过过程程请请同同学学们们自自己己完完成成具具体体0026,35.2,3/;6,5/.hhhC hhC h在第与第时 原油温度的瞬时变化率分别为与它说明：在第附近 原油温度大约以的速率下降在附近 原油温度大约以的速率上升00,.fxx一般地反映

13、了原油温度在时刻 附近的变化情况计算第计算第3（h）和第）和第5（h）时，原油温度的瞬时）时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。变化率，并说明它们的意义。35f 13f）（，解：这说明这说明:在第在第3小时附近，原油温度大约以小时附近，原油温度大约以1的速率下降，的速率下降，在第在第5小时附近，小时附近，原油温度大约以原油温度大约以3的速率上升。的速率上升。练习：练习：小结：小结：1 1求物体运动的瞬时速度：求物体运动的瞬时速度：（1 1）求位移增量）求位移增量s=s(t+t)-s(t)s=s(t+t)-s(t)(2)(2)求平均速度求平均速度（3 3）求极限）求极限;svt00()()

14、.limlimxxss tts ttt 2由导数的定义可得求导数的一般步骤：由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量）求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0)(2)求平均变化率求平均变化率（3）求极限）求极限yx00()limxyfxx 思考：思考：物体作自由落体运动物体作自由落体运动,运动方程为：运动方程为：其中位移单位是其中位移单位是m,时间单位是时间单位是s,g=10m/s2.求：求：(1)物体在时间区间物体在时间区间2,2.1上的平均速度；上的平均速度；(2)物体在时间区间物体在时间区间2,2.01上的平均速度；上的平均速度；(3)物体在物体在t=2(s)时的瞬时速度时的瞬时速度.221gts 分析分析:_00()()12()2s tts tsvggttt 2001()()2()2ss tts tg tgt 解解:)(212_tggtsv s ss(2+t)Os(2)(1)将将 t=0.1代入上式，得代入上式，得:./5.2005.2_smgv (2)将将 t=0.01代入上式，代入上式，得得:./05.20005.2_smgv 的的极极限限为为：从从而而平平均均速速度度当当_,22,0)3(vtt ./202limlim0_0smgtsvvtt