1、1.3.5二次函数性质的再研究【学习目标】1理解二次函数的图象特征及其解析式2探讨二次函数的性质二次函数的系数已知二次函数 yax2bxc(a0)的图象如图 1-3-5 所示图 1-3-5确定符号：a_，b_，c_，b24ac_.000练习 1：若 yx2axb 在0,1上的最大值为 1，最小值为0，且 a2，则 a_，b_.21最小值为_8x2练习 3：二次函数 yax2bxc(a0)的图象如图 1-3-6，那么|OA|OB|()图 1-3-6B练习 4：二次函数 y(k1)x22(k1)x3(k1)的图象的)顶点在 x 轴上，则 k(A1C1 或1B2D1 或2D【问题探究】1二次函数 f
2、(x)ax2bxc 在什么情况下是偶函数？可以是奇函数吗？答案：当 b0 时为偶函数；不可能是奇函数2二次函数 f(x)ax2bxc 的单调性是由哪些要素来确定的？试写出其单调区间答案：二次函数 f(x)ax2bxc 的单调性由开口方向和对称轴确定的题型 1 求二次函数的值域【例 1】根据函数单调性求出下列函数的值域：(1)f(x)x24x1，x4，3；(2)f(x)2x2x4，x3，1；(3)f(x)2x24x1，x(1,3)；解：(1)f(x)x24x1(x2)25，在4，3上单调递减，y4，1在 x3，1上单调递增，y11,3(3)f(x)2x24x12(x1)23，x(1,3)，当 x
3、1 时，取得最小值为3，又f(1)5，f(3)5，y3,5)求二次函数在某个区间的最值，最容易出现的错误是直接代两头(将两端点代入)，当然这样做，有时答案也对，那是因为在该区间函数刚好单调，这纯属巧合求二次函数在某个区间的最值时，应先配方，找到对称轴和顶点，再结合图形进行求解【变式与拓展】解：二次函数 y32xx2 的对称轴为画出函数的图象，由图 D21，可知：当 x1 时，ymax4.图D21题型 2 轴定区间动问题的分类讨论【例 2】设函数 f(x)x22x2(其中 xt，t1，tR)的最小值为 g(t)，求 g(t)的表达式解：f(x)x22x2(x1)23，当 t11，即 t0 时，由
4、图 D14 可知：截取减区间上的一段，g(t)f(t1)t23.图 D14当 1t12，即 02，即 t1 时，截取增区间上的一段，如图 D16，g(t)f(t)t22t2.图 D15图 D16这是一道与二次函数有关的含参数的问题，本例的二次函数的对称轴固定，而区间不固定，因此需要讨论该区间相对于对称轴的位置关系【变式与拓展】2二次函数 y2x2x1，定义域为t，t1(t 为可变常数)，下列命题中错误的是()A题型 3 区间定轴动问题的分类讨论【例 3】求函数 f(x)x22ax1 在区间0,2上的最大值和最小值解：f(x)x22ax1(xa)2a21.f(x)的图象是开口向上，对称轴为 xa
5、 的抛物线当 a0 时(如图 D17)，f(x)的最大值为 f(2)34a，f(x)的最小值为 f(0)1.图 D17当 0a1 时(如图D18)，f(x)的最大值为 f(2)34a，f(x)的最小值为 f(a)a21.图 D18图 D19当 1a0)，当 xR，f(x)0 恒成立时，有0.片面理解为当 ax2bxc0(a0)，x2,2恒成立时，这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误在二次函数最值问题中，“轴变区间定问题”要对对称轴进行分类讨论，“轴定区间变问题”要对区间进行分类讨论解：设 f(x)的最小值为 g(a)又 a4，故7a4.综上所述，实数 a 的取值范围为7a2.方法规律小结1二次函数的解析式有三种形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)(2)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，其中，顶点为(m，n)(3)两根式 f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2 为二次函数的图象与 x 轴的两个交点的横坐标3二次函数的单调性只与对称轴和开口方向有关，因此，其单调性的判断通常用数形结合法4与二次函数有关的不等式恒成立问题要注意二次项系数为零的特殊情形
