? 年全国高中数学联赛模拟 ? 加试试题 一、?本题满分 40 分? 已知 2020 个正整数 a1,a2, ,a2020满足 a1+ a2+ + a2020= a1a2a2020, 求 a1+ a2+ + a2020的最大可能值? 二、?本题满分 40 分? 设 P p 1 q , p2 q 为直角坐标平面内的一点? 其中 p1,p2,q 为互素的 整数且 q 0? 证明? 存在一条通过点 P 的直线 l : ax + by = c? 满足 a,b,c 均为整数? 且 |a| q, |b| q, a2+ b2#= 0. 三、?本题满分 50 分? 如图? 在锐角 $ABC 中? O 为外心? AD 为底边 BC 上的高? 以 AD 上一点 K 为圆心? AK 为半径的圆 与边 AB? AC 分别交于点 P? Q? 证明? 若 BP CQ = AP AQ, 则 与 $BOC 的外接圆相切? ?答题时请将图画在答卷纸上? 四、?本题满分 50 分? 在正方形的边界和内部给出若干个点? 以这些点和原正方形的顶点 将正方形划分为若干个小三角形 ?不允许出现一个小三角形的顶点在另一个小三角形的边上? 在全体上述小三角形的内角中? 求最大者的最小可能值? ?
