1、高三数学压轴卷(文科)卷面满分:150分 考试时间:120分钟一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数则A.B.C.D.2已知函数的值域为,函数的定义域为,则 A. B. C. D. 32012年学期末,某学校对100间学生公寓进行综合评比,依考核分数分为A,B,C,D四种等级,其中分数在为D等级,有15间;分数在为C等级,有40间;分数在为B等级,有20间;分数在为D等级,有25间. 考核评估后,得其频率直方图如图所示,估计这100间学生公寓评估得分的中位数是A78.65B78.75C78.80 D78.8590807
2、0分数(x)频率/组距O601000.0150.0400.0250.020开始S=0,i=0S=S+2i-1S20i=i+2结束输出i否是4 关于直线以及平面,下面命题中正确的是 A若则B若则C若则D若,且,则5 右图的程序框图输出结果i=A6B7 C8D96 若方程的任意一组解都满足不等式,则的取值范围是A.B.C.D.7. 在四棱锥中,则这个四棱锥的高A. 1 B. 2 C. 13 D. 26 8. 已知两个等差数列5,8,11,.和3,7,11,.都有2013项,则两数列有( )相同的项A. 501 B. 502 C. 503 D. 505 9.下列命题中,正确命题的个数是命题“,使得”
3、的否定是“,都有”.双曲线中,F为右焦点,为左顶点,点且,则此双曲线的离心率为.在ABC中,若角A、B、C的对边为a、b、c ,若cos2B+cosB+cos(A-C)=1,则a、c、b成等比数列.已知是夹角为的单位向量,则向量与垂直的充要条件是. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 10. 已知三棱锥,两两垂直,且长度均为6,长为2的线段的一个端点在棱上运动,另一端点在内运动(含边界),则的中点的轨迹与三棱锥所围成的几何体的体积为A. B. C. D. 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.11.设点在以三点构成的三角形区域(包含边界)内,则的最大值为 .12
4、.已知三次函数有三个零点,且在点处的切线的斜率为.则 .13.一个棱长为8cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球,无论怎样摇动盒子,则小球在盒子中不能到达的空间体积为 .14.已知集合则集合=_.15.若满足对于时有恒成立,则称函数在上是“被k限制”,若函数在区间上是“被2限制”的,则的取值范围为 .四、 解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16(本小题满分12分)已知函数.(1) 求的最小正周期和单调增区间;(2) 设,若求的大小.17(本小题满分12分)已知正方形的边长为2,分别是边的中点(1) 在正方形内部随机取一点,求满足的概率;(2)从这
5、八个点中,随机选取两个点,记这两个点之间的距离的平方为,求18.(本小题满分12分)如图是三棱柱的三视图,正(主)视图和俯视图都是矩形,侧(左)视图为等边三角形,为的中点.侧(左)视图俯视图正(主)视图(1)求证:平面;(2)设垂直于,且,求点到平面的距离.19. (本小题满分12分)已知等比数列的首项,公比,数列前项的积记为.(1)求使得取得最大值时的值;(2)证明中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列,如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为,证明:数列为等比数列.(参考数据)20. (本小题满分13分)已知函数在处取得极小值.(1)求的值;(2)若在处的切线方程为
6、,求证:当时,曲线不可能在直线的下方.21 (本小题满分14分)已知抛物线,直线截抛物线C所得弦长为.(1) 求抛物线的方程;(2) 已知是抛物线上异于原点的两个动点,记若试求当取得最小值时的最大值.临川一中2013届高三数学压轴卷(文科)参考答案及评分标准(3) 选择题.D D B C C B B C B D9. 填空题.(2) 12. 0 13. 14.4,6 15. (3) 解答题五、 ()由得的最小正周期为.2分令得所以函数的单调增区间为.6分()由得即,整理得: ,因为,所以可得,解得,.10分由得,所以,.12分17解:(1)这是一个几何概型所有点构成的平面区域是正方形的内部,其面
7、积是1分满足的点构成的平面区域是以为圆心,2为半径的圆的内部与正方形内部的公共部分,它可以看作是由一个以为圆心、2为半径、圆心角为的扇形的内部与两个直角边分别为1和的直角三角形内部构成2分其面积是4分所以满足的概率为5分(2)从这八个点中,任意选取两个点,共可构成条不同的线段 6分其中长度为1的线段有8条,长度为的线段有4条,长度为2的线段有6条,长度为的线段有8条,长度为的线段有2条所以所有可能的取值为7分且, , 12分18.(1)由三视图画出直观图,如图,这是一个正三棱柱,连接和,交点为,则为的中点,连接,因为为中点,所以,6分(2)过作,垂足为,连接,因为侧面垂直于底面,所以,所以在内
8、的射影为,由,用等体积法12分19.解:(1),则当时,;当时,又的最大值是中的较大者.,因此当n=12时,最大.6分(2)对进行调整,随n增大而减小,奇数项均正,偶数项均负.当n是奇数时,调整为.则,成等差数列;当n是偶数时,调整为;则,成等差数列;综上可知,中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列.n是奇数时,公差;n是偶数时,公差.无论n是奇数还是偶数,都有,则,因此,数列是首项为,公比为的等比数列,.12分20解:(1),由已知得.3分当时,此时在单调递减,在单调递增.5分B. ,在的切线方程为,即.8分当时,曲线不可能在直线的下方在恒成立,令,当,即在恒成立,所以当时,曲
9、线不可能在直线的下方.13分(21)解:(1)联立.6(分)二、 .7(分)设则令.9(分)当时,此时.10(分)不妨设则(其中为直线的倾斜角)当且仅当,即时等号成立.故当时,的最大值为.14(分)高三强化训练(二)数学(文)试题一.选择题(每小题5分,共60分)1.复数满足,则复数的实部与虚部之差为 ( )A.0 B.1 C.3 D.32. 观察下列各式:51=5,52=25,53=125,54=625,=3125,=15625,=78125,则的末四位数字为 ( )A3125 B5625 C0625 D81253.数列an是等差数列,其前n项和为Sn,若平面上的三个不共线的向量满足且A、B
10、、C三点共线,则S2012=( )A1006B1010C2006D20104.不等式且对任意都成立,则的取值范围为 ( )A B C D 5.已知向量,若,则等于( )A. B. C. D. 6. 在区间上任取两个实数,则函数在区间上有且只有一个零点的概率是 ( )A. B. C. D.7. 等比数列中,=4,函数,则 ( )A B. C. D. 8.下图a是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图,从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、Am 如A2表示身高(单位:cm)在150,155内的学生人数。图b是统计图a中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在1601
11、80cm(含160cm,不含180cm)的学生人数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 ( )A9 B8 C7 D69.定义:数列,满足d为常数,我们称为等差比数列,已知在等差比数列中,则的个位数 ( ) A,3 B,4 C,6 D,810. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,且AF轴,则双曲线的离心率为 ( )A B C D11. 的图像关于对称,且当时,(其中是的导函数),若,则的大小关系是 ( )A. B. C. D. 12.在直角坐标平面上的点集,那么的面积是 ( )A B C D二.填空题(每小题5分,共20分)13. 在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a
12、、b、c。若a、b、c成等差数列,则 。14.已知某个几何体的三视图如右图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是_cm3。15.已知抛物线上有一条长为2的动弦AB,则AB中点M到x轴的最短距离为 _。16. 已知函数的对称中心为M,记函数的导函数为, 的导函数为,则有。若函数,则可求得: .三、解答题,本大题共5小题,满分60分. 解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 设的内角所对的边长分别为,且(1)求的值;(2)求的最大值。PABCDE18. (本小题满分12分)如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形,DABABC90o,PA
13、底面ABCD,PAABAD2,BC1,E为PD的中点(1) 求证:CE平面PAB;(2) 求PA与平面ACE所成角的正弦值;19.(本小题满分12分)由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动,已发展成为最有影响力的环保活动之一,今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此,某新闻媒体进行了网上调查,所有参与调查的人中,持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示:支持保留不支持20岁以下80045020020岁以上(含20岁)100150300()在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取个人,已知从“支持”态度的人中抽取了45人,求的值;()在
14、持“不支持”态度的人中,用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体,从这5人中任意选取2人,求至少有人20岁以下的概率20.(本小题满分12分)设、分别是椭圆的左、右焦点.(1)若是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且为锐角(其中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围。21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex-1-x(1)求y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)当x时,f(x)恒成立,求的取值范围。请从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多
15、答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考题的首题进行评分。22、(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,是内接于O,直线切O于点,弦,与相交于点(1) 求证:;(2)若,求。23(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,已知点的直角坐标,点的极坐标为,若直线过点,且倾斜角为,圆以为 圆心、为半径。(1) 写出直线的参数方程和圆的极坐标方程;(2)试判定直线和圆的位置关系。24. (本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数。(1)若不等式的解集为,求实数的值;(2)在(1)的条件下,若存在实数使成立,求实数m的取值范围。参考答案
16、一.选择题1.A 2.D 3.A 4. B 5. B 6. D 7. C 8 .B 9.C 10. B 11.C 12.C二.填空题13. ,14. , 15. ,16.-8046 三、解答题17.解析:(1)在中,由正弦定理及可得即,则(2)由得18题图当且仅当时,等号成立,故当时,的最大值为.18.解(1). 证明:取PA的中点F,连结FE、FB,则FEBC,且FEADBC,BCEF是平行四边形,CEBF,而BF平面PAB,CE平面PAB(2) 解:取 AD的中点G,连结EG,则EGAP,问题转为求EG与平面ACE所成角的大小.又设点G到平面ACE的距离为GH,H为垂足,连结EH,则GEH
17、为直线EG与平面ACE所成的角现用等体积法来求GH VEAGCSAGCEG,又AE,ACCE,易求得SAEC,VGAEC GHVEAGC,GH在RtEHG中,sinGEH,即PA与平面ACE所成的角正弦值为 19.解:(2)设所选取的人中,有人20岁以下,则,解得.6分也就是20岁以下抽取了2人,另一部分抽取了3人,分别记作A1,A2;B1,B2,B3,则从中任取2人的所有基本事件为 (A1,B1),(A1, B2),(A1, B3),(A2 ,B1),(A2 ,B2),(A2 ,B3),(A1, A2),(B1 ,B2),(B2 ,B3),(B1 ,B3)共10个. 8分其中至少有1人20岁
18、以下的基本事件有7个:(A1, B1),(A1, B2),(A1, B3),(A2 ,B1),(A2 ,B2),(A2 ,B3),(A1, A2), 10分所以从中任意抽取2人,至少有1人20岁以下的概率为. 12分20. 解:(1)解法一:易知所以,设,则因为,故当,即点为椭圆短轴端点时,有最小值当,即点为椭圆长轴端点时,有最大值解法二:易知,所以,设,则(以下同解法一)(2)显然直线不满足题设条件,可设直线,联立,消去,整理得:由得:或又,又,即 故由、得或21.解(1)在处的切线方程为即 2分 (2)由已知得时,恒成立,设 由先证知当且仅当时等号成立,故,从而当即时,为增函数,又于是当时
19、,即,时符合题意. 由可得从而当时,故当时,为减函数,又于是当时,即故不符合题意.综上可得的取值范围为 。12分选做题答案:22解:(1)在ABE和ACD中, ABE=ACD 2分又BAE=EDC BD/MN EDC=DCN直线是圆的切线,DCN=CAD BAE=CAD(角、边、角) 5分(2)EBC=BCM BCM=BDCEBC=BDC=BAC BC=CD=4又BEC=BAC+ABE=EBC+ABE=ABC=ACB BC=BE=4 8分设AE=,易证 ABEDEC 又 .10分23.解:(1)直线的参数方程是,(为参数)圆的极坐标方程是。 .5分(2)圆心的直角坐标是,直线的普通方程是,圆心到直线的距离,所以直线和圆相离。10分24.解:(1)由(2)由(1)知 - 17 -
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