安徽省皖南八校2020届高三第三次联考数学(文)试题+全解全析.doc

1、 “皖南八校皖南八校”2020 届高三第三次联考届高三第三次联考 数学（文科）数学（文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.已知集合 |1 4Axx剟， 2 |23Bx xx，则AB ( ) A. | 14xx 剟 B. |13xx剟 C. | 13xx 剟 D. |14xx剟 2.已知复数z满足262zzi（i是虚数单位） ，则复数z在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.

2、第四象限 3.已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的渐近线方程为30xy，则双曲线C的离心率为( ) A 2 3 3 B. 3 C. 2 2 D. 2 4.已知直线m，n，平面，则/m的充分条件是( ) A. n，/mn B. ，m C. /n，/mn D. / /，m 5.已知等差数列 n a的前 n项和为 n S，若 88 8Sa，则公差d 等于( ) A. 1 4 B. 1 2 C. 1 D. 2 6.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选 择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分

3、数，由高到低进行排序， 评定为 A，B，C，D，E五个等级.某试点高中 2019年参加“选择考”总人数是 2017年参加“选择考”总人 数的 2 倍， 为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况， 统计了该校 2017 年和 2019年“选择考”成绩 等级结果，得到如图表： 针对该校“选择考”情况，2019 年与 2017年比较，下列说法正确是( ) A. 获得 A 等级的人数不变 B. 获得 B 等级的人数增加了 1倍 C. 获得 C 等级的人数减少了 D. 获得 E 等级的人数不变 7.函数cos xx yeex 的部分图象大致是( ) A. B. C. D. 8.在ABC中，5ACAD

4、，E是直线BD上一点，且 2BEBD ，若AE mABnAC 则 mn( ) A. 2 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 3 5 - 9.已知等比数列 n a的前n项和为 n S，若 2 47 aa， 4 2 3 S S ，则 5 a ( ) A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2 10.已知 2 ( )2 ()3f xfxxx，则函数 ( )f x图象在点(1,(1)f 处的切线方程为( ) A. 1yx B. 1yx C. 1yx D. 1yx 11.若函数 3sincosf xx x在区间, a b上是增函数，且 2f a ， 2f b ，则函数 cos3sinxxg x 在

5、区间, a b上( ) A. 是增函数 B. 是减函数 C. 可以取得最大值 2 D. 可以取得最小值2 12.在三棱锥PABC中，已知 4 APC ， 3 BPC ，PAAC，PBBC，且平面PAC 平面 PBC，三棱锥PABC的体积为 3 6 ，若点, , ,P A B C都在球O的球面上，则球O的表面积为( ) A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.设 , x y满足约束条件 1 1 33 xy xy xy ，则2zxy的最小值为_. 14.在平面直角坐标系中，若角的始边是x

6、轴非负半轴，终边经过点 22 sin,cos 33 P ，则 cos_. 15.已知函数 f x是定义域为R 的偶函数，xR ，都有2f xfx，当01x时， 2 1 3log,0 2 1 1,1 2 xx f x xx ，则 9 11 4 ff _. 16.已知抛物线 2 :2(0)C ypx p，其焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线C于点A、B（其 中A在x轴上方） ，A，B两点在抛物线的准线上的投影分别为M，N，若| 2 3MF ，| 2NF ，则 | | AF BF _. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过

7、程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答，第个试题考生都必须作答，第 22.23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17.在ABC中，内角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c，满足2 cos coscosaAbCcB. （1）求A ； （2）若ABC面积为6 3，2 7a ，求ABC的周长. 18.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为长方形，PA 底面ABCD，4PAAB ，3BC ， E为PB的中点，F为线段BC上靠近B点的三等分点. （1）求证：AE平面PBC；

8、 （2）求点B到平面AEF的距离. 19.2019新型冠状病译（2019-nCoV）于 2020年 1月 12 日被世界卫生组织命名.冠状病毒一个大型病毒家 族，可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病.某医院对病 患及家属是否带口罩进行了调查，统计人数得到如下列联表： 戴口罩 未戴口罩 总计 未感染 30 10 40 感染 4 6 10 总计 34 16 50 （1）根据上表，判断是否有 95%的把握认为未感染与戴口罩有关； （2）在上述感染者中，用分层抽样的方法抽取 5人，再在这 5 人中随机抽取 2 人，求这 2 人都未戴口罩的 概率. 参考公

9、式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中na b cd . 参考数据： 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3 841 5.024 6.635 7.879 10.828 20.已知点 1 F， 2 F是椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左，右焦点，椭圆上一点P满足 1 PFx轴， 21 5PFPF， 12 2 2FF . （1）求椭圆C的标准方程； （2）过 2 F的直线l交椭圆C于,A B两点，当 1 ABF的内切圆面积最大时，求直线l的方程

10、. 21.已知函数 2 ( )() x f xeaxxR. （1）若函数( )yf x有两个极值点，试求实数a的取值范围； （2）若0 2 e a剟且0x，求证：( )1f x . （二（二）选考题：共）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题如果多做，则按所做的第一题 计分计分. 选修选修 4- -4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系中，直线 l的参数方程为 4 1 5 3 1 5 xt yt （t为参数） ，以直角坐标系的原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程

11、为2cos 4 . （1）求直线l 的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程； （2）已知直线l与曲线C交于,A B两点，试求,A B两点间的距离. 选修选修 4- -5：不等式选讲：不等式选讲 23.已知0a，0b，1ab . （1）求11ab 的最大值； （2）若不等式 11 1xmx ab 对任意xR及条件中的任意, a b恒成立，求实数m 的取值范围. “皖南八校”“皖南八校”2020 届高三第三次联考届高三第三次联考 数学（文科）数学（文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的

12、四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.已知集合 |1 4Axx剟， 2 |23Bx xx，则AB ( ) A. | 14xx 剟 B. |13xx剟 C. | 13xx 剟 D. |14xx剟 【答案】B 【分析】化简集合，根据交集运算即可. 【详解】 集合 2 |23 = | 13Bx xxxx剟? ， |14Axx剟 |13ABxx剟. 故选：B 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题. 2.已知复数z满足262zzi（i是虚数单位） ，则复数z在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【分析

13、】设( ,)zabi a bR,根据复数运算求出z，即可求解. 【详解】设( ,)zabi a bR， 则2()2()362zzabiabiabii， 36 2 a b ， 2 2 a b ， 即22zi，对应点为(2,2)，在第一象限. 故选：A 【点睛】本题主要考查了复数加法运算，共轭复数的概念，复数的几何意义，属于容易题. 3.已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的渐近线方程为30xy，则双曲线C的离心率为( ) A. 2 3 3 B. 3 C. 2 2 D. 2 【答案】A 【分析】由渐近线斜率可得, a b的关系，进而得到 , a c的关系. 【详解】由题知

14、1 3 b a ， 又 222 abc， 解得 2 3 3 c e a . 故选：A 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题. 4.已知直线m，n，平面，则/m的充分条件是( ) A. n，/mn B. ，m C /n，/mn D. / /，m 【答案】D 【分析】根据线面平行判定，逐项分析即可. 【详解】n，/mn，有可能m，A错误； ,m ，有可能m，B 错误； / / ,/ /nmn，有可能m，C 错误； / /,m,能推出 /m，D正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理，考查了空间想象力，属于中档题. 5.已知等差数列 n a的前 n项和为 n S，

15、若 88 8Sa，则公差d 等于( ) A. 1 4 B. 1 2 C. 1 D. 2 【答案】D 【分析】由 88 Sa，可求出 47 07Sa，进而可知 4 0a ，结合 8 8a ，可求出公差. 【详解】解： 88 8Sa， 1288 aaaa， 17 74 7 2 07 aa aS ， 4 0a. 又由 84 4aad，得 84 80 2 44 aa d . 故选:D. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的求和公式，考查了等差中项.对于等差、等比 数列问题，一般都可用基本量法，列方程组求解，但是计算量略大.有时结合数列的性质，可简化运算，减 少运算量. 6.新高考方案

16、规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选 择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序， 评定为 A，B，C，D，E五个等级.某试点高中 2019年参加“选择考”总人数是 2017年参加“选择考”总人 数的 2 倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校 2017 年和 2019年“选择考”成绩 等级结果，得到如图表： 针对该校“选择考”情况，2019 年与 2017年比较，下列说法正确的是( ) A. 获得 A 等级的人数不变 B. 获得 B 等级的人数增加了 1倍 C. 获得 C 等级的

17、人数减少了 D. 获得 E 等级的人数不变 【答案】D 【分析】设 2017年参加“选择考”总人数为a，分别求出 2017,2019 年获得 A，B，C，E等级的人数，进 而可选出正确选项. 【详解】解：设 2017年参加“选择考”总人数为a，则 2019年参加“选择考”总人数为2a； 则 2017年获得 A 等级有0.25a人，2019 年获得 A 等级有0.25 20.50.25aaa，排除 A； 2017年获得 B等级有0.35a人，2019年获得 B等级有0.4 20.82 0.35aaa，排除 B； 2017年获得 C等级有0.28a人，2019年获得 C等级有0.23 20.460

18、.28aaa，排除 C； 2017年获得 E等级有0.04a人，2019年获得 E等级有0.02 20.04aa，人数不变， 故选:D. 【点睛】本题考查了扇形统计图，考查了由统计图分析数据. 7.函数cos xx yeex 的部分图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由函数的奇偶性可排除 A,C.代入特殊值，如1x ，通过判断函数值的符号，可选出正确答案. 【详解】 解： 由cos xx xeey ， 可知函数cos xx yx ee为奇函数， 由此排除 A， C， 又 1x 时， 11 cos1yee，因为1,01 2 e ，则 11 0,cos10ee， 即此时c

19、os0 xx yeex ，排除 D. 故选:B. 【点睛】本题考查了函数图像的选择.选择函数的图像时，常结合函数的奇偶性、单调性、对称性、定义域 排除选项，再代入特殊值，判断函数值的符号进行选择. 8.在ABC中，5ACAD ，E是直线BD上一点， 且 2BEBD ， 若A E m A B n A C 则mn( ) A. 2 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 3 5 - 【答案】D 【分析】通过向量的线性运算，以,AB AC为基底，表示出 2 5 AEABAC ，进而求出mn的值. 【详解】解： 2 22 5 AEABBEABBDABADABABAC ， 3 5 mn . 故选:D. 【点

20、睛】 本题考查了向量的加法运算， 考查了向量的减法运算.本题的难点是由题目条件求出 ,m n 的具体值. 9.已知等比数列 n a的前n项和为 n S，若 2 47 aa， 4 2 3 S S ，则 5 a ( ) A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项和求和公式列出方程组求解即可. 【详解】 2 47 aaQ， 177 a aa, 1 1a, 又 4 2 4 2 2 1 31 1 Sq q Sq ， 2 2q， 4 51 4aa q， 故选：C 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，等比中项，等比数列求和公式，属于中档题. 10.已知 2

21、( )2 ()3f xfxxx，则函数 ( )f x图象在点(1,(1)f 处的切线方程为( ) A. 1yx B. 1yx C. 1yx D. 1yx 【答案】A 【分析】构造方程解方程组可得 2 ( )f xxx，利用导数求出切线斜率，写出切线方程即可. 【详解】 2 ( )2 ()3f xfxxx， 2 ()2 ( )3fxf xxx. 2 ( )f xxx. (1)0f，( )12fxx . (1)1 f ， 过(1,(1)f切线方程：1yx . 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，切线方程的求法，函数解析式的求法，属于中档题. 11.若函数 3sincosf xx x

22、在区间, a b上是增函数，且 2f a ， 2f b ，则函数 cos3sinxxg x 在区间, a b上( ) A. 是增函数 B. 是减函数 C. 可以取得最大值 2 D. 可以取得最小值2 【答案】C 【分析】由辅助角公式可求得 2sin 6 f xx ， 2sin 3 g xx ，由题意可知，不妨取 2 , 33 ab ，令 3 tx ，结合 2sin ,0g tt t 的图像，可选出正确选项. 【详解】解： 31 3sincos2sincos2sin 226 f xxxxxx ， 31 3cossin2cossin2sin 223 g xxxxxx ， 因为 f x在区间, a

23、b上是增函数，且 2f a ， 2f b ， 则2,2, 6262 akbkkZ ，即 2 2,2, 33 akbkkZ ，不妨取 2 , 33 ab ，设 3 tx ，则 2sin ,0g tt t ，则图像为 所以， cos3sinxxg x 在, a b先增后减，可取到最大值为 2. 故选:C. 【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了三角函数的单调性，考查了三角函数的最值，考查了数形结合.本 题的关键是由单调性和最值，确定, a b的值. 12.在三棱锥PABC中，已知 4 APC ， 3 BPC ，PAAC，PBBC，且平面PAC 平面 PBC，三棱锥PABC的体积为 3 6 ，若点,

24、, ,P A B C都在球O的球面上，则球O的表面积为( ) A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】A 【 分 析 】 取PC中 点O， 连 接,AO BO， 设 球 半 径 为R， 由 题 意 可 知 ，AOBOR， 由 13 36 PABCPBC VSAO ，可列出关于R的方程，进而可求出球的半径，则可求球的表面积. 【详解】解：取PC中点O，连接,AO BO，设球半径为R，因为 3 BPC ，PAAC，PBBC， 所以AOBOR，2PCR，PBR， 3BCR ， 因为 4 APC ，PAAC，所以PAAC，则AOPC, 因为平面PAC 平面PBC，所以AO 平面PBC，即

25、13 36 PABCPBC VSAO ， 所以 3 33 66 R ，1R，球的表面积为 2 44R . 故选:A. 【点睛】本题考查了椎体的体积，考查了面面垂直的性质，考查了球的表面积的求解.求球的体积或表面积 时，关键是求出球的半径，通常设半径，结合勾股定理列方程求解.本题的关键是面面垂直这一条件的应用. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.设 , x y满足约束条件 1 1 33 xy xy xy ，则2zxy的最小值为_. 【答案】1 【分析】作出可行域，根据直线截距的几何意义求解即可. 【详解】由约束条件 1, 1

26、, 33, xy xy xy 作出可行域如图， 由2zxy得：2yxz 由图可知，当直线过点A时，z有最小值， 联立 1 33 xy xy ，解得(2,3)A. 2zxy的最小值为2231. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了简单线性规划，属于中档题. 14.在平面直角坐标系中，若角的始边是x 轴非负半轴，终边经过点 22 sin,cos 33 P ，则 cos_. 【答案】 3 2 【分析】化简出P的坐标，从而可求出 3 cos 2 ，根据诱导公式可求出 cos的值. 【详解】解：由题意知， 2231 sin,cos, 3322 PP ，则P到原点的距离为 1， 3 cos 2 ， 3 c

27、oscos 2 . 故答案为: 3 2 . 【点睛】本题考查了诱导公式，考查了三角函数值的求解.由P点坐标求出角的余弦值是本题的关键. 15.已知函数 f x是定义域为R 的偶函数，xR ，都有2f xfx，当01x时， 2 1 3log,0 2 1 1,1 2 xx f x xx ，则 9 11 4 ff _. 【答案】5 【分析】由题意可知 f x周期为 2，从而可求出 91 5 44 ff ， 1110ff，进而可求出 9 11 4 ff 的值. 【详解】解：由2f xfx可知， f x关于1x 对称，又因为 f x是偶函数， 所以 f x周期为 2，则 991 5 444 fff ，

28、1110ff 91 111505 44 ffff . 故答案为:5. 【点睛】本题考查了分段函数，考查了函数的周期性的应用.由奇偶性和对称性求出函数的周期是求解本题 的关键. 16.已知抛物线 2 :2(0)C ypx p，其焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线C于点A、B（其 中A在x轴上方） ，A，B两点在抛物线的准线上的投影分别为M，N，若| 2 3MF ，| 2NF ，则 | | AF BF _. 【答案】3 【分析】 根据抛物线的定义可得 2 MFN ，利用直角三角形可求出| 4MN ，由面积等积法求出3p ，求 出直线AB的倾斜角 3 ，利用公式| 1cos p AF ，|

29、1cos p BF 计算. 【详解】由抛物线的定义得：| | |AFAM ，| |BFBN，易证 2 MFN ， 222 |16MNNFMF， | 4MN 11 | | 2 3 22 MNF Sp MNMFNF， 3p ， . 3 MFO ， | | |AFAM ， AMF为等边三角形. 直线AB的倾斜角 3 . | 1cos p AF ，| 1cos p BF . | 3 | AF BF .故答案为：3 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、简单几何性质，过焦点直线与抛物线相交的性质，属于难题. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明

30、、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答，第个试题考生都必须作答，第 22.23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17.在ABC中，内角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c，满足2 cos coscosaAbCcB. （1）求A ； （2）若ABC的面积为6 3，2 7a ，求ABC的周长. 【答案】 （1） 3 ； （2）102 7. 【分析】 （1）由正弦定理对已知式子进行边角互化，结合三角形的内角和定理，化简后可得 1 cos 2 A，进而可求 出A； （

31、2）由 1 sin6 3 2 ABC SbcA V ，可知24bc ，结合余弦定理可求出10bc ，从而可求周长. 【详解】解： （1）由2 coscoscosaAbCcB知，2sincossincossincosAABCCB， 2sincossinsinAABCA.0A， 1 cos 2 A，则 3 A . （2） 1 6 3 2 sin ABC bcSA，24bc.由余弦定理知， 222 2cos28abcbcA，即 2 22 283bcbcbcbc， 2 283100bcbc，解得10bc ，ABC的周长为102 7. 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式.

32、一般地，若题目已知式子中既 有边又有角，常结合正弦定理和余弦定理进行边角互化；若式子中三个角都存在，则常结合三角形的内角 和定理进行消角化简. 18.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为长方形，PA 底面ABCD，4PAAB ，3BC ， E为PB的中点，F为线段BC上靠近B点的三等分点. （1）求证：AE平面PBC； （2）求点B到平面AEF的距离. 【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 2 3 . 【分析】 （1）证明AEPB，AEBC，即可证明AE平面PBC； （2）由 B AEFE ABF VV ，利用等体积法求出点B到平而AEF的距离. 【详解】 （1）证明：PAAB，E为

33、线段PB中点， AEPB. PA 平面ABCD，BC 平面ABCD， BCPA. 又底面ABCD是长方形， BCAB.又PAABA， BC平面PAB. AE 平面PAB， AEBC. 又PBBCB， AE平面PBC. （2）由（1）知，AE平面PBC，又EF 平面PBC， AEEF， 22 3EFAFAE . 由题知PA 平面ABCD，E为PB中点， 点E到平面ABCD的距离为 1 2 2 PA， 设点B平面AEF的距离为h，则 B AEFE ABF VV ， 即 1111 2 234 1 2 3232 h ， 解得 2 2 3 h ， 点B到平面AEF的距离为 2 2 3 . 【点睛】本题主

34、要考查了线面垂直的判定与性质，等体积法求距离，属于中档题. 19.2019新型冠状病译（2019-nCoV）于 2020年 1月 12 日被世界卫生组织命名.冠状病毒是一个大型病毒家 族，可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病.某医院对病 患及家属是否带口罩进行了调查，统计人数得到如下列联表： 戴口罩 未戴口罩 总计 未感染 30 10 40 感染 4 6 10 总计 34 16 50 （1）根据上表，判断是否有 95%的把握认为未感染与戴口罩有关； （2）在上述感染者中，用分层抽样的方法抽取 5人，再在这 5 人中随机抽取 2 人，求这 2 人都

35、未戴口罩的 概率. 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中na b cd . 参考数据： 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】 （1）有把握； （2） 3 10 . 【分析】 （1）计算 2 K ，与临界值比较得出结论； （2）列出抽取 2人的所有可能，根据古典概型计算概率即可. 【详解】 （1） 2 2 50 (30 64 10) 4.5043.841 34 1640 10 K

36、. 所以有 95%的把握认为未感染与戴口罩有关. （2）由（1）知，感染者中有 4 人戴口罩，6 人未戴口罩，用分层抽样的方法抽取 5 人，则 2 人戴口罩记为 ,A B，3人未戴口罩记为 1，2，3，从中随机抽取 2人，共有AB， 1A，2A，3A，1B，2B，3B，12， 13，23共 10 种可能，其中 2人都未戴口罩的有 12，13，23共 3 种， 这 2 人都未戴口罩的概率 3 10 P . 【点睛】本题主要考查了独立性检验，古典概型，分层抽样，属于中档题. 20.已知点 1 F， 2 F是椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左，右焦点，椭圆上一点P满足 1 PFx轴，

37、 21 5PFPF， 12 2 2FF . （1）求椭圆C的标准方程； （2）过 2 F的直线l交椭圆C于,A B两点，当 1 ABF的内切圆面积最大时，求直线l的方程. 【答案】 （1） 2 2 1 3 x y； （2）2yx或2yx . 【分析】 （1）由 1 PFx轴，结合勾股定理可得 222 1122 PFFFPF，从而可求出 2 5 3 3 PF ， 1 3 3 PF ， 则可知3a ，结合 12 2 2 FF c ，可求出 2 1b ，即可求出椭圆的标准方程. （2）设 11 ,A x y， 22 ,B x y，:2l xty，与椭圆方程联立，可得 12 2 2 2 3 t yy

38、t ， 12 2 1 3 y y t ， 从而可用t 表示出 11 21 2 2 2 2 61 3 AF BF F AF F B t SSS t ，用内切圆半径表示出 1 11 1 2 3 2 AF B SAFFBABrr，即可知 2 2 21 3 t r t ，结合基本不等式，可求出当半径取最 大时，t 的值，从而可求出直线的方程. 【详解】解： （1）因为 1 PFx轴，所以 12 2 PFF ，则 222 1122 PFFFPF， 由 21 5PFPF， 12 2 2FF ，解得 2 5 3 3 PF ， 1 3 3 PF ， 12 2 2 FF c ， 由椭圆的定义知 5 33 22

39、3 33 a ， 3a ，即 222 1bac， 椭圆C的标准方程为 2 2 1 3 x y. （2）要使 1 AFB的内切圆的面积最大，需且仅需其 1 AFB的内切圆的半径r最大. 因为 1 2,0F ， 2 2,0F，设 11 ,A x y， 22 ,B x y，易知，直线 l的斜率不为 0， 设直线:2l xty，联立 2 2 2 1 3 xty x y ，整理得 22 32 210tyty ， 故 12 2 2 2 3 t yy t ， 12 2 1 3 y y t ； 所以 11 21 2 2 12121212 1 24 2 AF BF F AF F B SSSFFyyyyy y 2

40、 2 222 2 242 61 2 333 tt ttt ， 又 1 11 111 44 32 3 222 AF B SAFFBABra rrr， 故 2 2 2 61 2 3 3 t r t ，即， 2 2 2 2 2121 2 32 1 1 t r t t t ； 当且仅当 2 2 2 1 1 t t ，即1t 时等号成立，此时内切圆半径取最大值为 1 2 ， 直线 l的方程为 2yx或2yx . 【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆内三角形周长的求解，考查了三角形的面积公式，考查了直 线与椭圆的位置关系.本题的关键是用内切圆半径表示出三角形的面积.本题的难点是计算化简. 21.已知函

41、数 2 ( )() x f xeaxxR. （1）若函数( )yf x有两个极值点，试求实数a的取值范围； （2）若0 2 e a剟且0x，求证：( )1f x . 【答案】 （1） 2 e a ； （2）证明见解析. 【分析】 （1）求函数导数，有 2个极值点转化为方程2 x a e x 有两解，利用导数分析( )(0) x e g xx x ，得函数大 致形状，即可求解； （2）不妨令 2 ( )(0) x G aeaxa e剟，利用单调性知 2 min ( ) 22 x ee G aGex ，构造函数 2 ( ) 2 x e g xex，利用导数求其最小值即可得证. 【详解】 （1） 2

42、 ( ) x f xeax， ( )2 x fxeax. 令( )20 x fxeax， 函数( )yf x有两个极值点，即方程 20 x eax 有两个不相等的根， 显然0x时，方程不成立，即0x不是方程的根， 所以原方程有两个不相等根转化为2 x a e x 有两个不相等的根， 不妨令( )(0) x e g xx x . 2 (1) ( ) x ex g x x ， ( )g x在(,0)，(0,1递减，在1,)递增，(1)ge，且0x时，( )0g x. 方程2 x a e x 有两个不等根， ( )(0) x e g xx x 图象与 2ya图象有两个不同交点， 只需满足2,ae 即

43、 2 e a . （2）不妨令 2 ( )(0) x G aeaxa e剟， 2 ( ) x G ax ae 在 0, 2 e a 递减. 2 min ( ) 22 x ee G aGex ，不妨令： 2 ( ) 2 x e g xex， ( ) x g xeex. 令( )( ) x xg xeex， 则( ) x xee， 由( )0x得1x ， 由( )0x得1x， ( )( )xg x 在(,1递减，在1,)递增. min ( )(1)0g xg， ( ) 0g x ， ( )g x在0,)递增. min ( )(0)1g xg， 当0 2 e a剟且0x时，( )1f x . 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调区间，极值，最值，证明不等式，属于难题. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分