(三十四)数学分析试题(二年级第一学期).doc

1、（三十四）数学分析试题（二年级第一学期）一 叙述题（每小题10分，共30分）1 叙述第二类曲线积分的定义。2 叙述Parseval等式的内容。3 叙述以为周期且在上可积函数的Fourier系数Fourier级数及其收敛定理。二 计算题（每小题10分，共50分）1求 ，此处为联结三点的直线段。2计算二重积分。其中 是以和为边的平行四边形。3一页长方形白纸，要求印刷面积占，并使所留叶边空白为：上部与下部宽度之和为，左部与右部之和为，试确定该页纸的长和宽，使得它的总面积为最小。4计算三重积分。其中是椭球体。 5计算含参变量积分的值。三 讨论题（每小题10分，共20分）1 已 知，试确定二阶偏导数与的

2、关系。2 讨论积分的敛散性。数学分析试题（二年级第一学期）答案一 叙述题（每小题10分，共30分）1 设为定向的可求长连续曲线，起点为，终点为。在曲线上每一点取单位切向量，使它与的定向相一致。设=+是定义在上的向量值函数，则称为定义在上的第二类曲线积分（如果右面的第一类曲线积分存在）。2函数在可积且平方可积，则成立等式 。3 若是以为周期且在上可积的函数，则 称为函数的Fourier系数，以的Fourier系数为系数的三角级数 称为函数的Fourier级数，记为 。收敛定理：设函数在上可积且绝对可积，且满足下列两个条件之一，则的Fourier级数在收敛于。（1）在某个区间上是分段单调函数或若干

3、个分段单调函数之和。（2）在处满足指数为的Holder条件。二 计算题（每小题10分，共50分）1。解 。在直线段上得在直线段上得在直线段上得所以 。2解 .3解 由题意，目标函数与约束条件分别为与作Lagrange函数则有由此解得于是有并且易知它是极小值点.4解 由于 ，其中，这里表示椭球面 或 。它的面积为 。于是 。同理可得 ， 。所以 。 5计算含参变量积分的值。解 因为，所以。注意到在域：上连续。又积分对是一致收敛的。事实上，当时，但积分收敛。故积分是一致收敛的。于是，利用对参数的积分公式，即得 。从而得 。三 讨论题（每小题10分，共20分）1 当时， 。，于是，当时，。当时， 。

4、2首先注意到 。若，则当充分大时，从而当充分大时函数是递减的，且这时。又因（对任何），故收敛。若，则恒有，故函数在上是递增的。于是，正整数，有 常数，故不满足Cauchy收敛准则，因此发散。（三十五）数学系二年级数学分析期末考试题一 （ 满分 1 2 分，每小题 6 分）解答题：叙述以下概念的定义:1 二元函数在区域上一致连续 .2 二重积分.二 （ 满分 1 6 分，每小题 8 分）验证或讨论题：1 求和. 极限是否存在 ? 为什么 ?2 验证函数在点处连续 ,偏导数存在 , 但不可微 .三 （ 满分 4 8 分，每小题 6 分）计算题：1 设函数可微 , . 求 和 .2 为从点到点的方向

5、. 求.3 设计一个容积为的长方体形无盖水箱 , 使用料最省 .4 , .5 求积分.6 ，其中是以点、和为顶点的三角形域.7 计算积分 . 其中为沿曲线从点到点的路径 .8 V :为V的表面外侧.计算积分 .四 （ 满分 2 4 分，每小题 8 分）证明题：1 . 证明极限不存在 .2 设函数和可微 . 证明 .3 设函数在有界闭区域上连续 . 试证明: 若在内任一子区域上都有 , 则在上.（三十六）二年级 数学分析考试题 一 计算题 :1 求极限 .2 求和.3. 设函数有连续的二阶偏导数 , . 求、和.4 , 点, 方向. 求和沿的方向导数.5 曲线L由方程组 确定 . 求曲线L上点处

6、的切线和法平面方程 .6 求函数在约束条件之下的条件极值 . ( 无须验证驻点满足极值充分条件 )二. 证明题 :1 . 试证明在点处的两个累次极限均存在 , 但二重极限却不存在 . 2 证明函数在点处连续,偏导数存在 , 但却不可微 .3 设 验证该函数满足Laplace方程 .4 设函数在点的某邻域有定义 , 且满足条件.试证明 在点可微 . （三十七）数学系二年级数学分析考试题一 （ 满分 1 2 分，每小题 6 分）解答题：叙述以下概念的定义:1 二元函数在区域上一致连续 .2 二重积分.二 （ 满分 1 6 分，每小题 8 分）验证或讨论题：1 求和. 极限是否存在 ? 为什么 ?2

7、 验证函数在点处连续 ,偏导数存在 , 但不可微 .三 （ 满分 4 8 分，每小题 6 分）计算题：1 设函数可微 , . 求 和 .2 为从点到点的方向. 求.3 设计一个容积为的长方体形无盖水箱 , 使用料最省 .4 , .5 求积分.6 ，其中是以点、和为顶点的三角形域.7 计算积分 . 其中为沿曲线从点到点的路径 .8 V :为V的表面外侧.计算积分.四 （ 满分 2 4 分，每小题 8 分）证明题：1 . 证明极限不存在 .2 设函数和可微 . 证明.3 设函数在有界闭区域上连续 . 试证明: 若在内任一子区域上都有 , 则在上.（三十八） 二年级数学分析考试题一 计算下列偏导数或

8、全微分（共18分，每题6分）： 1 设，求，；2 设，求全微分；3 求由方程所确定的隐函数的偏导数，。 二 求函数在点处从到方向的方向导数。（12分）三 （14分）设1 求，；2 证明：在点（0，0）处可微。四 求曲面在点处的切平面和法线方程。（16分）五 证明：半径为R的圆的内接三角形面积最大者为正三角形。（14分）六 （14分）计算下列重积分 ：1、其中D为直线及曲线围成的区域。2、其中为由曲面，三个坐标平面及平面围成的区域。七 （12分）求函数 在约束条件及下的最大值和最小值。 （三十九）二年级数学分析考试题一（15分）设为欧氏空间中的任意两个向量，证明“平行四边形定理”：二 计算下列极

9、限：（10分）1 ； 2 ；二 （10分）设隐函数 由方程定义，求 及 。三 计算下列偏导数：（10分）（1）；（2）；四 计算下列积分（20分）：（1） （2） （3） D由旋轮线 与围成；（4）。五 计算下列曲线积分（10分）：（1） （2） 六 （10分）设为单位球面，证明：七 （15分）利用Gaus公式计算曲面积分：为球面的外侧。（四十） 二年级数学分析考试题一 （16分）： 1 设；2 设向量场，求 。二 （15分）： 1 ；2 。三 求下列二元函数的极限（16分）： 1 ；2 。四 判断下列级数的敛散性（15分）： 1 ；2 ；3 。五 试求幂级数的收敛半径、收敛域以及和函数（14

10、分）。六 证明：函数项级数在0，1上一致收敛（14分）。七 设收敛，数列收敛，证明：收敛（10分）。 （四十一）二年级数学分析考试题一 （10分）设为欧氏空间中的任意两个向量，证明“平行四边形定理”：二 证明：欧氏空间的收敛点列必是有界的。（10分）三 证明： 中任意有界的点列中必有收敛的子点列。（10分）四 计算下列极限：（9分）1 ； 2 ；3 ；五 计算下列偏导数：（10分）（1）；（2）；六 （10分）计算下列函数 的Jacobian ：（1）；（2）；七 （10分）设隐函数 由方程 定义，求 及 。八（11分）在椭球内嵌入有最大体积的长方体，问长方体的尺寸如何？九、（10分）求椭球面

11、过其上的点 处的切平面的方程。十、（10分）设函数是定义在平面开区域内的两个函数，在内均有连续的一阶偏导数，且在内任意点处，均有又设有界闭，试证：在 中满足方程组 的点至多有有限个。（四十二） 二年级数学分析考试题一（10分）设为欧氏空间中的任意两个向量，是这两个向量之间是夹角，证明“余弦定理”： 二 计算下列偏导数：（10分）（1）；（2）；三（10分）求用平面与圆柱相交所成椭圆的面积。四 计算下列积分（16分）：（1） （2） （3） D由旋轮线 与围成；（4）。五 计算下列曲线积分（14分）：（1） （2） 六 （10分）设常数a,b,c满足 计算积分： 其中为反时针方向的单位圆周。七 （10分）设为单位球面，证明：八 （10分）利用Gaus公式计算曲面积分： 为球面的外侧。九 （10分）设曲面有法向量是一个常向量，求证：