(word完整版)高中数学小结论.doc

1、1. 常见的数值：e2.72，1.41，1.73ln20.69，ln31.102. 类似“-1”的式子都可以写成n项和的形式，在一些证明题中会有应用：-1=(-)+(-)+.+(-)=)3. 几何平均不等式：n4. 组合数的性质：=组合数性质的推论：=5. 正四面体中，外接球半径：内接球半径=3:16. 圆台的侧面积：S侧=(r+r1)l (r、r1为上下底圆的半径，l为母线长。特殊的，当r1=0时，即为圆锥时，有S侧=rl)7. 圆台的体积公式：V=(S+)h8. 矩形ABCD的对角线AC与BC、CD所成的角分别为、，则有sin2+sin2=1类比推理有长方体ABCD-A1B1C1D1中，体

2、对角线BD1与AB、BB1、BC所成角分别为、 则有cos2+cos2+cos2=1 sin2+sin2+sin2=29. an+1=，一般为周期数列10. 重要不等式的推论：exx+1，ex-1x，exex11. 发生的概率等于1的事件不一定为必然事件12. =(x1，y1)，=(x2，y2)，则SABC=13. 泰勒展开：14. f(x)关于直线x=a对称，则f(x+a)为偶函数15. f(a+x)=-f(b-x)，则f(x)关于(,0)中心对称16. n等分点公式：x2=x1+(1-)x3x1、x2、x3均为坐标，当=时，即为中点公式17. A1(x1，y1)与A关于直线l：y=x+a的

3、对称点A2(x2，y2)的关系：18. 在上方时是sin-cos0在下方时是sin-cos019. 在上方时sin+cos0在下方时sin+cos020. 对于阴影区域有：sin2+cos2=1，tan2+1=，cot2+1=对角线相乘等于1，如：sin=1相邻两边构成的三角形，底角相等等于顶角，比如cos=cot21. 若f(x)是上的凸函数，则对不相等的x1，x2，x3，x4则有:f()22. (x-a)2+(lnx-2a)2具有几何意义：表示(x,lnx)与(a,2a)两点间的距离平方23. 在证明题中，1+.+通常进行裂项处理24. g(x)=为奇函数25. sin2=，cos2=，t

4、an2=， (t=tan)26. tan=27. 1sin2=(sincos)28. 若+=45，则有(1+tan)(1+tan)=229. 类似cos20cos40cos60cos80这样cos连乘的式子，且角度为公比为2的等比数列，可采用同时乘除sin的形式，连续用倍角公式30. 在ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3),则ABC的重心O为(，)31. 在ABC中，+=0,则G为ABC的重心32. 在ABC中,.,则O为ABC的垂心33. 在ABC中，a、b、c分别为三角形的三条边，若有a+c=0,则O为ABC的内心34. 若G是三角形的重心，有=(+)35. 若P

5、、G、Q三点共线，则有=+(1-)(即后面系数和要为1),其中=，1-=36. P、A、B、C四点满足，=+y+，x+y+z=1，则P、A、B、C四点共面37. 角平分线定理：DC为BCA的角平分线,则有38. 在OAB中，OC是AOB的内角平分线，ON是AOB的外角平分线。 若O为动点，则O的轨迹是以CN为直径的圆，因为CON=90内外角平分线定理：39. 若1+23=,O为ABC中任意一点，则有S1:S2:S3=1:2:340. x(0,),则有sinxxtanx，同时三个函数在x=0相切，k=141. 表示所在方向的单位向量42. 数列1,11,111.的通项公式为an=43. 若数列前

6、n项和为二次函数，则数列为等差数列。不过要尤其注意的是！若二次函数带有常数项，则从第二项开始为等差数列，a1要分开来写，即数列要分段44. 广义的对勾函数，f(x)=ax+,勾点为二者相等时，即ax=，解得x=45. 要证明数列前n项和小于某个常数，要不就是某个等比数列的前n项和，要不就是裂项46. 若ax+bx+c=0的两根为、，则 cx+bx+a=0的两根为、 cx-bx+a=0的两根为、-47. 对于分子为二次项，分子为一次项，即y=，通过长除法可以化成y=(dx+e)+k的形式48. Sn=1+.+为发散数列，故前n项和趋近无穷大49. S直观图=S原图50. 正四面体可以补形成正方体

7、，三对对棱长相等可补形成长方体51. 两条异面直线有唯一一条公垂线52. 在三棱锥中有：三条侧棱互相垂直，顶点P到底面的射影为三角形垂心若三对侧棱两两垂直(两对也可以),则P在底面的投影为垂心若三条侧棱相等，则P到底面的射影为外心若三个侧面与底面的夹角相等时，若P在底面的射影O在形内，则O为内心；若射影在形外，则O为旁心53. 若M为ABC的重心，则有54. 若二面角为，则DB2=m2+n2+l2-2mncos(形式类似余弦定理)55. 已知PC面ABC，有三余弦定理：cosPAB=cosPAC.cosBAC(BAC和CAP只能为锐角)56. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C交面BD

8、C1于G点，有CG=A1C57. 面上存在不共线的三点到的距离相等，则，这是一个假命题。58. 圆内接三角形面积最大时，为等边三角形证明：S=运用了均值不等式与琴生不等式，且这两个不等式取等条件相同，即当A=B=C时取等59. 过两直线交点的直线系方程：已知l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，l1与l2相交，则 (A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0，(R)，表示经过l1与l2交点的所有直线(但不包括l2)60. 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆，方程为:(x-x1)(x-x2)+ (y-y1)(y-y2)=061. 相交弦定理：有AO

9、.BO=CO.OD(由相似三角形证明)62. 射影定理：BD=AD.DC AB=AD.AC BC=DC.CA63. 椭圆+=1(ab0)中，P(x0,y0)为椭圆上的一点，左右焦点为F1，F2，焦半径r1=, r2=,则有：r1=a+ex0，r2=a-ex0证明：r1=a+ex0(最后一步直接硬说)64. 双曲线的焦半径为r=ea，根据象限判断绝对值要不要开，a看长短，长的+a，短的-a65. 椭圆的焦点三角形面积：S=b2tan(=F1PF2)66. 双曲线的焦点三角形面积：S=b2cot(=F1PF2)67. 垂直于长轴的焦点弦为通径，通径是最短的弦l=，而所有有心二次曲线的通径均为68.

10、 两点间距离公式： (tan=k)(可通过三角函数证明)69. 对双曲线使用点差法时，得到结果要带回去检验，因为对双曲线点差，是针对b2x2-a2y2=a2b2的点差，当=0时，双曲线退化为渐近线，此时求得的点在渐近线上。70. 等轴双曲线重要特点：可化为平方差形式71. 过抛物线y=2px的线段有：= +=72. 恒过抛物线对称轴上的一点，则与对称轴垂直的弦为恒过该点的最短弦73. 判断两个二次曲线有无交点，不能将二者联立，然后用判断，因为二次曲线的x、y均有限制条件74. 直线与圆锥曲线联立，令，能判断直线与圆锥曲线相切，但是不能判断是否只有一个交点。例如，直线与双曲线的渐近线平行，与双曲

11、线只有一个交点，但是；抛物线中，与对称轴平行的直线，与抛物线只有一个交点，但75. 不能联立两个极坐标方程求交点，因为极坐标的点有多样性，一个点有很多表示，不唯一。要求交点必须先化成直角坐标系，联立直角坐标方程来求交点，最后再化回极坐标。76. 可以联立两个极坐标方程，求交点与原点所成直线的角度。77. 抛物线中，以过焦点的弦为直径作圆，圆会与准线相切。78. 对于二次曲线的切线方程，切点为(x0,y0),x改写成xx0 y改写成yy0 x改成写 y改写成79. TA与圆相切，AC、AE与圆相交切割线定理：=.割线定理：.=.80. 抛物线中，过焦点的直线AB，准线与x轴交于M，则x轴为AMB

12、的角平分线81. 等差数列前n项和Sn，Sn=an+bn，其中a=82. 等比数列前n项和Sn，Sn=cqn-c83. 若圆与直线相切，将二者写成圆系方程，则可以表示所有过相切点且与直线相切的圆。当圆无限小，小成一个点，也会符合圆系方程。故如果知道圆的切线以及切点，可以把切点当成半径为0的圆，一样可以写圆系方程，表示所有过相切点且与直线相切的圆。84. 若圆x+y=r，过圆外一点P(x0,y0)做两条圆的切点，分别交于C、D，则直线CD的方程为xx0+ yy0=r，该性质适用于其他二次曲线85. 等差数列和等比数列可以互相转化。86. 若an为等比数列，则lnan为等差数列(取对数)87. 若

13、an为等差数列，则(a0，a0)为等比数列88. 等比数列与等差数列类比推理时，等差的“+”，对应于等比的“”；等差的“”，对应等比的次方；等差的“”，对应等比的开方(开几次方看分母，分母是多少就开多少次方，不需要对分母中的符号做任何变化)89. 棣莫弗定理：两个复数z1，z2，复数用三角函数形式表示z1=r1(cos1，isin1)，z2=r2(cos2，isin2)z1.z2=r1r2(cos(1+2)，isin(1+2)推广：z=a+bi，z=r(cos，isin)，其中r=，tan=，与(a,b)所在象限一致则有zn=rn()90. 正多面体是底面是正多边形，顶点的射影在正多边形中心的

14、多面体91. 根据=,可类比推理得，=92. y=f(x)关于y=x对称的函数为x=f(y);关于y=-x对称的函数为-x=f(-y)93. 有关复数的模的运算：= = 94. 立体几何中，面方程的求法：面ABC与x轴交于(a,0,0),y轴交于(0,b,0),z轴交于(0,0，c)，则类比直线方程，面ABC的方程为：面ABC中，A(a,b,c),设面中任意一点P为(x,y,z),面ABC的法向量为(n,m,k),则根据.=0，可得面方程为：n(x-a)+m(y-b)+k(z-c)=095. 立体几何中，直线方程的求法：直线中A(a,b,c),设T为(x,y,z),与共线，为(n,m,k)，则

15、有=，故直线AT的参数方程为： (t为参数)，故类似平面直线的参数方程，前面的常数为直线上的一点，而t前的系数为方向量。96. 函数渐近线分为三种：水平渐近线垂直渐近线斜渐近线，其中斜渐近线的求法：若函数y=f(x)存在斜渐近线y=kx+b，则：k=, b=97. 积化和差： 若积为异名，则用sin；若为同名，则用cos同名时，cos用“+”，sin用“-”98. 和差化积： 和只能是同名的“sin+”时，对应sin在前，cos在后“sin-”时，对应cos在前，sin在后“cos+”时，对应+cos“cos-”时，对应-sin99. 对于复杂的三角函数，若给的是和的形式，则周期为各项周期的最

16、小公倍数；若给的是积的形式，则要用积化和差，化为和的形式，再用上述结论。100. 立体几何中，三个面相交，三条交线有两种情况：平行交于一点101. 是(.).=.)的充要条件102. 经过正方体体心的面，其面积为定值103. 直角梯形中，DC=AE=EB，则O为BD靠D的三等分点，可通过DOCA0B证明104. 105. 二次曲线极坐标方程：=，若e1，则为双曲线；e=1，则为抛物线；0e1，则为椭圆。p为焦准距，椭圆与双曲线的p=(焦点与准线的距离，准线为，对于椭圆：-c=；对于双曲线：c-)106. 若POA=POB，在直线OP上任意一点做面的垂线，垂足P1一定在AOB的角平分线上。107

17、. 四棱柱的特点是是个侧面都是平行四边形108. 防止洛必达被扣分的写法(实际上就是推导了一遍)：例如f(x)= 设f1(x)=f2(x)= f1(1)= f2(1)=0=109. 抛物线y=2px中，若OAOB，则C为(2p,0)110. 抛物线中，AO交准线于D，AB过焦点，则BD平行x轴(逆过程也成立，即AD会过原点)111. f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为,则“任意x1、x2R，且x1x2，2017”是“”的充分不必要条件。可从f(x)=x去理解，0，而0112. 托密勒不等式：对于凸四边形有AD.BC+DC.ABAC.BD113. tanx的中心对称点还包括了不存在的点，

18、即x=，所以tanx 的中心对称点为x=114. 若a+=90，则tan(+)tan=1115. 椭圆中，kPA.kPB为定值116. 若过准线的直线AB和CD关于x轴对称，则直线AC和BD交于焦点117. 正方体中，类似墙角的三条边，AB、AD、AA1会与类似AB1D1这样的等边三角形所成角相等118. 圆柱被平面截开得到的几何体，其展开图形大致为正弦曲线119. SAOE= SEOF= SAOF=,证明：即证：下面证 根据射影定理有PH=HO.HF,即 PH.AE= HO.HF.AE (AE.PH)=(AE.HO).(AE.HF)=120. 奇函数的导数为偶函数121. 残差图中反映回归模

19、型拟合精度教高的体现是残差的点都是在水平线附近。如果残差的点呈y=kx+b(k0)趋势变化，则表明残差随x的增大而增大，但是这种误差是可以修正的，只需要在回归方程中减去一个(kx+b)即可。122. 抛物线y=2px的参数方程为 (t为参数)，其中t表示除顶点外任意一点与原点连线的斜率的倒数123. 双曲线-=1的参数方程为(为参数)124. 过抛物线准线与x轴的交点的直线，交抛物线与AB，B的关于x轴的对称点为C，则直线AC过焦点。125. 抛物线y=2px，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若=n，则该直线的斜率k=抛物线x=2py，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若=n，则该直线的

20、斜率k=126. 三角锥中，比较四条高的大小，如果不好算，可以转化为比较四个面的面积。127. 椭圆+=1(ab0)中,内接矩形的最大面积为2ab(均值不等式可证)128. 椭圆+=1(ab0)中，P、Q为椭圆上任意两点，且OPOQ，则有+=+129. 椭圆+=1(ab0)中,P为椭圆上一点，M是PF1F2的内心，延长PM交x轴于N，则有=130. 所有的求轨迹的问题都要根据题意，求其中x、y的取值范围。131. 等差数列an中项数为2n时，有=项数为2n-1时，有=132. 1+2+3+.+n=n(n+1)(2n+1)133. 1+2+3+.+n=134. =135. 随机变量N(,),其概率密度为f(x)=E(=，D(=136. 经过点(,且倾斜角为的直线的极坐标方程为：= 证明：可通过先化为直角坐标方程，再写成极坐标。137.