2020届甘肃省兰州市高三年级一模数学（理科）试卷及答案.pdf

1、第 1页（共 21页） 20202020 年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（理科）年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，4，5，Bx|x2n，nN，则 AB（） A0，2，4B2，4C1，3，5D1，2，3，4，5 2 （5 分）已知复数 ? 鯠 ?瓐 ?扈瓐 ? ?，则|z|（） A ?B5C13D ? 3 （5 分）已知非零向量? ?，? ? ，给定

2、 p：R，使得? ? 鯠 ? ? ，?：? ? ? ? ? ? 鯠 ? ? ? ? ? ?，则 p 是 q 的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 4 （5 分）若 2sin? ? ?扈 ? ? 鯠 ?扈? ? ? ? ，则 tan（） A4B3C4D3 5 （5 分）已知双曲线? ? ? 扈 ? ? 鯠 ?，?的一条渐近线过点（2，1） ，则它的离心 率是（） A ? ? B ?C ?D? ? 6 （5 分）已知集合 ? 鯠 ? ? ， ? ? ， ? ? ， ? ? ， ? ? ?，从 A 中任选两个角，其正弦值相等的 概率是（） A ? ? B? ?

3、C? ? D ? ? 7 （5 分）已知函数 ? 鯠 ? ?，且 af（0.20.2） ，bf（log34） ，? 鯠 ?扈? ? ?，则 a、b、c 的大小关系为（） AabcBcabCcbaDbca 8 （5 分）近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的 散点图，如图所示： 年份12345 第 2页（共 21页） 羊只数量（万 只） 1.40.90.750.60.3 草地植被指数1.14.315.631.349.7 根据表及图得到以下判断： 羊只数量与草场植被指数成减函数关系； 若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系 数

4、为 r2，则|r1|r2|；可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为 2 万只时的草 场植被指数； 以上判断中正确的个数是（） A0B1C2D3 9 （5 分）已知圆锥的顶点为 A，高和底面的半径相等，BE 是底面圆的一条直径，点 D 为 底面圆周上的一点，且ABD60，则异面直线 AB 与 DE 所成角的正弦值为（） A ? ? B ? ? C ? ? D? ? 10 （5 分）已知函数 f（x）sinx（sinx+cosx） （0） ，若函数 f（x）的图象与直线 y 1 在（0，）上有 3 个不同的交点，则的范围是 A （? ?， ? ? B （? ?， ? ? C （? ?， ?

5、? D （? ?， ? ? 11 （5 分）已知点 M（4，2） ，抛物线 x24y，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线， P 为抛物线上一点，过 P 做 PQl，点 Q 为垂足，过 P 作抛物线的切线 l1，l1与 l 交于点 R，则|QR|+|MR|的最小值为（） A? ? ? ?B? ?C ?D5 12 （5 分）对于定义域为 D 的函数 yf（x） ，如果存在区间a，bD（ab）满足 f（x） 是a，b上的单调函数，且 f（x）在区间a，b上的值域也为a，b，小则称函数 f（x） 为区间a，b上的“保值函数”，a，b为“保值区间”根据此定义给出下列命题： 第 3页（共 21页） 函

6、数 f（x）x22x 是0，1上的“保值函数”； 若函数 g（x）|2x1|是a，b上的“保值函数”，则 a+b1； 对于函数 h（x）x2ex存在区间0，m，且 m（? ?，1） ，使函数 h（x）为0，m上的 “保值函数” 其中所有真命题的序号为（） ABCD 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知函数 ? 鯠 ?，? ? ?，? ? ?，则 ?扈? ? ? ? ? 鯠 14 （5 分） 已知向量? ?， ? ? 满足|? ? |鯠?， 向量? ?， ? ? 夹角为 120， 且 （? ? ? ? ? ）

7、? ? ， 则向量|? ? ? ? ? | 15 （5 分）大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房蜂房的结构如图所示，开口为正 六边形 ABCDEF，侧棱 AA、BB、CC、DD、EE、FF相互平行且与平面 ABCDEF 垂直， 蜂房底部由三个全等的菱形构成瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这 种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方 法设计自己的家园英国数学家麦克劳林通过计算得到BCD1092816已知一个 房中 BB5 ?，AB2 ?，tan544408鯠?，则此蠊房的表面积是 16 （5 分）在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所

8、对的边，已知 a7，b5，c3， 点 I 是ABC 的内心，则 IB 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）在等差数列an中，a18，a23a4 第 4页（共 21页） （）求数列an的通项公式； （）设?鯠 ? ?（nN *） ，Tn为数列bn的前 n 项和，若? 鯠 ? ?，求 n 的值 18 （12 分）如图，在四棱锥 P 一 ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，点 P 在面 ABCD 内的射影为 A，PAAB1，点 A 到平面 PBC 的距离为 ? ? ，且直线 AC 与 PB 垂直 （）在棱 P

9、D 上找一点 E，使直线 PB 与平面 ACE 平行，并说明理由； （）在（I）的条件下，求二面角 BACE 的大小 19 （12 分）甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生 态环境， 不断地进行研究与实践， 实现了沙退人进 2019 年， 古浪县八步沙林场“六老汉” 三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号在治沙过程中为检测某 种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了 50 个风蚀插钎，以测 量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层 厚度越小，说明固沙效果越好，数值为 0 表示该插针处没有被风

10、蚀）通过一段时间的观 测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数） ，并绘制了 相应的频率分布直方图 （I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于 30”的概率； （） 若一个插钎的风蚀值小于 30， 则该数据要标记“*”， 否则不标记 根据以上直方图， 完成列联表： 第 5页（共 21页） 标记不标记合计 坡腰 坡顶 合计 并判断是否有 95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？ （）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为?和?，若|?扈 ?|20cm，则可认为此固沙方法 在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算?和?（同一组中的数据用该组 区间的中

11、点值为代表） ，并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异 附：K2鯠 ?扈? ? P（K2k）0.0500.0100.001 k3.8416.63510.828 20 （12 分）已知点 F 为椭圆? ? ? ? ? ? 鯠 ?（ab0）的一个焦点，点 A 为椭圆的右顶点， 点 B 为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点 F 距离的最大值为 3，最小值为 1 （）求椭圆的标准方程； （）若 M、N 在椭圆上但不在坐标轴上，且直线 AM直线 BN，直线 AN、BM 的斜率 分别为 k1和 k2，求证：k1k2e21（e 为椭圆的离心率） 21 （12 分）已知函数 ? 鯠 ? ? 扈 ?

12、扈 ? ? ? ? ? ?（aR 且 a0） （）当 a鯠 ? ?时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （）讨论函数 f（x）的单调性与单调区间； （）若 yf（x）有两个极值点 x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）9lna 请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ? 鯠扈 ? 扈 ? ? ? ? 鯠 ? ? ? ? ? （t 为参数） ， 以坐标原点

13、O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为? 鯠 ? ?扈? ? ? ? ?，曲线 C2的直角坐标方程为 ? 鯠? 扈 ? （）若直线 l 与曲线 C1交于 M、N 两点，求线段 MN 的长度； 第 6页（共 21页） （）若直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A、B 两点，点 P 在曲线 C2上，求? ? ? ? ? 的取值 范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x1|+|2x+2|，g（x）|x+2|+|x2a|+a （）求不等式 f（x）4 的解集； （）对x1R，x2R，使得 f（x1）g（x2）成立，求 a 的取值范围

14、第 7页（共 21页） 2020 年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（理科）年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，4，5，Bx|x2n，nN，则 AB（） A0，2，4B2，4C1，3，5D1，2，3，4，5 【解答】解：集合 A1，2，3，4，5， Bx|x2n，nN， AB2，4 故选：B 2 （5 分）已知复数 ? 鯠 ?瓐 ?扈瓐 ? ?，则|z|

15、（） A ?B5C13D ? 【解答】解：因为复数 ? 鯠 ?瓐 ?扈瓐 ? ? 鯠 ?瓐?瓐? ?扈瓐?瓐? ?2i（2+i）+21+2i； |z|鯠? ?鯠?； 故选：A 3 （5 分）已知非零向量? ?，? ? ，给定 p：R，使得? ? 鯠 ? ? ，?：? ? ? ? ? ? 鯠 ? ? ? ? ? ?，则 p 是 q 的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【解答】解：由 q 可得向量? ?，? ? 同向共线， qp，反之不成立 p 是 q 的必要不充分条件 故选：B 4 （5 分）若 2sin? ? ?扈 ? ? 鯠 ?扈? ? ? ? ，则

16、tan（） A4B3C4D3 【解答】解：若 2sin? ? ?扈 ? ? 鯠 ?扈? ? ? ? ，即 2cos ? ?（sin ? ?）2 ? ?，即sin ? ? 鯠 第 8页（共 21页） ?扈? 瓐? 鯠扈 ? ?， ?扈? 瓐? 鯠扈 ? ?，故 tan4， 故选：C 5 （5 分）已知双曲线? ? ? 扈 ? ? 鯠 ?，?的一条渐近线过点（2，1） ，则它的离心 率是（） A ? ? B ?C ?D? ? 【解答】解：由题可知（2，1）在双曲线的渐近线 y鯠扈 ? ?x 上，则 a2b，即 a 24b2， 所以 e鯠 ? ? 鯠 ? ? 鯠 ? ? ， 故选：A 6 （5 分）

17、已知集合 ? 鯠 ? ? ， ? ? ， ? ? ， ? ? ， ? ? ?，从 A 中任选两个角，其正弦值相等的 概率是（） A ? ? B? ? C? ? D ? ? 【解答】解：集合 ? 鯠 ? ? ， ? ? ， ? ? ， ? ? ， ? ? ?，从 A 中任选两个角， 基本事件总数 n鯠 ? ? 鯠10， sin? ? 鯠sin? ? ，sin? ? 鯠 瓐 ? ? ，sin? ? 鯠 瓐 ? ? ，sin? ? 鯠 瓐 ? ? ， 其正弦值相等包含的基本事件有 4 个， 其正弦值相等的概率为 p鯠 ? ? 鯠 ? ? 故选：B 7 （5 分）已知函数 ? 鯠 ? ?，且 af（0

18、.20.2） ，bf（log34） ，? 鯠 ?扈? ? ?，则 a、b、c 的大小关系为（） AabcBcabCcbaDbca 【解答】解：函数 ? 鯠 ? ?的减区间为（，0） ，增区间为（0，+） ， 00.20.20.201，log341，扈? ? ? 鯠扈1， af（0.20.2） ，bf（log34） ，? 鯠 ?扈? ? ?， bca 第 9页（共 21页） 故选：D 8 （5 分）近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的 散点图，如图所示： 年份12345 羊只数量（万 只） 1.40.90.750.60.3 草地植被指数1.14.315.631.

19、349.7 根据表及图得到以下判断： 羊只数量与草场植被指数成减函数关系； 若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系 数为 r2，则|r1|r2|；可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为 2 万只时的草 场植被指数； 以上判断中正确的个数是（） A0B1C2D3 【解答】解：对于，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，所以 错误； 对于，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1， 因为第一组数据（1.4，1.1）是离群值，去掉后得到的相关系数为 r2，其相关性更强， 所以|r1|r2|，正确； 对于，利用回归直线方程，不能准确地得到

20、当羊只数量为 2 万只时的草场植被指数， 只是预测值，所以错误； 综上知，正确的判断序号是，共 1 个 故选：B 9 （5 分）已知圆锥的顶点为 A，高和底面的半径相等，BE 是底面圆的一条直径，点 D 为 第 10页（共 21页） 底面圆周上的一点，且ABD60，则异面直线 AB 与 DE 所成角的正弦值为（） A ? ? B ? ? C ? ? D? ? 【解答】解：如图所示，建立直角坐标系不妨设 OB1 因为高和底面的半径相等，OEOBOA，OA底面 DEB 点 D 为底面圆周上的一点，且ABD60， ABADDB； D 为? ?的中点 则 O（0，0，0） ，B（0，1，0） ，D（1

21、，0，0） ，A（0，0，1） ，E（0，1，0） ， ? ? 鯠（0，1，1） ，? ? 鯠（1，1，0） ， cos? ? ，? ? 鯠 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 鯠 ? ?， 异面直线 AM 与 PB 所成角的大小为? ? 异面直线 AB 与 DE 所成角的正弦值为 ? ? 故选：A 10 （5 分）已知函数 f（x）sinx（sinx+cosx） （0） ，若函数 f（x）的图象与直线 y 1 在（0，）上有 3 个不同的交点，则的范围是 A （? ?， ? ? B （? ?， ? ? C （? ?， ? ? D （? ?， ? ? 【解答】解：因为函数 f（x）si

22、nx（sinx+cosx）鯠 ? ?（1cos2x）? ? ?sin2x鯠 ? ? sin （2? 扈 ? ?）? ? ?（0） ， 函数 f（x）的图象与直线 y1 在（0，）上有 3 个不同的交点； 即 ? ? sin（2? 扈 ? ?）? ? ? 鯠1 有 3 个根； 第 11页（共 21页） sin（2? 扈 ? ?）鯠 ? ? 有三个根； x（0，） ； 2? 扈 ? ?（扈 ? ?，2扈 ? ?） ； 2? ? ? 2扈 ? ? ?2? ? ? ? ? ? ? ? 故选：C 11 （5 分）已知点 M（4，2） ，抛物线 x24y，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线， P 为抛

23、物线上一点，过 P 做 PQl，点 Q 为垂足，过 P 作抛物线的切线 l1，l1与 l 交于点 R，则|QR|+|MR|的最小值为（） A? ? ? ?B? ?C ?D5 【解答】解：设 P（m，? ? ? ） ，则过 P 的切线的斜率为：k鯠 ? ?，Q（m，1） ，kPQ鯠扈 ? ?， kPQk1， 根据抛物线的定义，|PF|PQ| l1为 FQ 的垂直平分线，|RF|RQ|， |QR|+|MR|的最小值为|MF|鯠 扈 ? 扈 ? 扈 ? 扈 ?鯠5， 故选：D 12 （5 分）对于定义域为 D 的函数 yf（x） ，如果存在区间a，bD（ab）满足 f（x） 是a，b上的单调函数，且

24、 f（x）在区间a，b上的值域也为a，b，小则称函数 f（x） 为区间a，b上的“保值函数”，a，b为“保值区间”根据此定义给出下列命题： 函数 f（x）x22x 是0，1上的“保值函数”； 若函数 g（x）|2x1|是a，b上的“保值函数”，则 a+b1； 对于函数 h（x）x2ex存在区间0，m，且 m（? ?，1） ，使函数 h（x）为0，m上的 “保值函数” 第 12页（共 21页） 其中所有真命题的序号为（） ABCD 【解答】解：由“保值函数”定义可知 f（x）为区间a，b上的“保值函数“， 则 f（x）在a，b上是单调函数且在区间a，b时其值于也为a，b， 那么当函数 f（x）为

25、增函数时满足条件 xf（x）在a，b上有两个不同的实数解 a，b 的 函数 f（x）就是“保值函数“， 命题中 f（x）x22x，虽满足在0，1上单调但值域为1，0，不是0，1，故为 假命题 中由 g（x）|2x1|的图象可知其为区间0，1上的“保值函数“故为真命题， 中 h（x）x2ex则由 h（x）ex（x2+2x）0 在0，m成立，所以 h（x）为0，m上的 增函数，再由 x2exx 解得有两个根 x10， ? ? 鯠e ?， 构造函数 k（x）鯠 ? ? 扈ex，易知 k（? ?）0，k（1）0，由零点存在定理知存在 x2m （? ?，1） ，使 x 2exx 成立，故为真命题， 综上

26、所有真命题的序号为， 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知函数 ? 鯠 ?，? ? ?，? ? ?，则 ?扈? ? ? ? ? 鯠4 【解答】解：函数 ? 鯠 ?，? ? ?，? ? ?， f（log2? ?）鯠 ? 扈? ?鯠 ? ?， ?扈? ? ? ? 鯠f（? ?）2? ? ? ? ? 鯠 ? 故答案为：4 14 （5 分） 已知向量? ?， ? ? 满足|? ? |鯠?， 向量? ?， ? ? 夹角为 120， 且 （? ? ? ? ? ） ? ? ， 则向量|? ? ? ? ? | ?

27、【解答】解：因为（? ? ? ? ? ）? ? ，所以（? ? ? ? ? ）? ? 鯠0，即? ? ? ? ? ? ? ?2 0， 因为|? ? |鯠?，向量? ?，? ? 夹角为 120，整理可得扈 ? ?2 |? ?|? ? |cos? ?，? ? 鯠扈2， 第 13页（共 21页） 即2|? ?|? ?（扈 ? ?） ，所以|? ?|2 ?， 所以|? ? ? ? ? |鯠? ? ? ? ? ?鯠? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 鯠? ? ? ? ? ? 扈 ? 鯠? 故答案为： ? 15 （5 分）大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房蜂房的结构如图所示，开口为正 六边形

28、ABCDEF，侧棱 AA、BB、CC、DD、EE、FF相互平行且与平面 ABCDEF 垂直， 蜂房底部由三个全等的菱形构成瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这 种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方 法设计自己的家园英国数学家麦克劳林通过计算得到BCD1092816已知一个 房中 BB5 ?，AB2 ?，tan544408鯠?，则此蠊房的表面积是216 ? 【解答】解：连接 BD，BD，则由题意 BDBD，BDBD6 ?， OBCD为菱形，BCD1092816，tan544408鯠?， OC2 ? ? ? 鯠2? ? ? ? 鯠6，BC3 ?，

29、CCBB扈?扈 ?鯠4 ?， S梯形BBCC鯠 ? ? ? ? ? 鯠27 ?， S表面积6? ? ? ?3? ? ? ? ? ? ? ? 鯠216 ? 故答案为：216 ? 第 14页（共 21页） 16 （5 分）在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，已知 a7，b5，c3， 点 I 是ABC 的内心，则 IB? 【解答】解：因为在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边， 已知 a7，b5，c3， cosA鯠 ?扈? ? 鯠扈 ? ?A120； 同理可得：cosC鯠 ? ? 鯠12sin2? ?sin ? ? 鯠 ? ?； （负值舍） ； ? ? ? ?

30、 ? 鯠 ?扈? ? 鯠30； BIC150； 在BIC 中， ? 瓐? ? 鯠 ? 瓐?IB鯠 ? ? ? ? ? 鯠? 故答案为： ? 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）在等差数列an中，a18，a23a4 （）求数列an的通项公式； （）设?鯠 ? ?（nN *） ，Tn为数列bn的前 n 项和，若? 鯠 ? ?，求 n 的值 【解答】解： （）等差数列an的公差设为 d，a18，a23a4 ，可得8+d3（ 8+3d） ，解得 d2， 则 an8+2（n1）2n10； 第 15页（共 21页） （）?

31、鯠 ? ? 鯠 ? ? 鯠 ? ? 鯠 ? 扈 ? ?， Tn1扈 ? ? ? ? ? 扈 ? ? ? ? ? 扈 ? ? ? ? ? ? 扈? 扈 ? ? ? ? 扈 ? ? 鯠1? ? ? 扈 ? ? 扈 ? ? 鯠 ? ?， 化为 11n227n680， 解得 n4（扈 ? ?舍去） 18 （12 分）如图，在四棱锥 P 一 ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，点 P 在面 ABCD 内的射影为 A，PAAB1，点 A 到平面 PBC 的距离为 ? ? ，且直线 AC 与 PB 垂直 （）在棱 PD 上找一点 E，使直线 PB 与平面 ACE 平行，并说明理由； （）在（I）的条

32、件下，求二面角 BACE 的大小 【解答】解： （）点 E 为 PD 中点时，直线 PB 与平面 ACE 平行 证明：连结 BD，交 AC 于点 O，则点 O 为 BD 的中点， 点 E 为 PD 中点，OE 是PDB 的中位线，则 OEPB， OE平面 ACE，PB 平面 ACE， PB 与平面 ACE 平行 （）根据题意PB，PA底面 ABCD，AC底面 ABCD， 则有 ACPA，PAPBP，AC平面 PAB，设 ACx， VPACBVAPBC鯠 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 鯠 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 解得 AC1， 由（）知 OEPB，ACP

33、B，OEAC， AC平面 PAB，AB平面 PAB，ABAC， 如图，二面角为钝角，则 OE，AB 所成角为二面角 BACE 的补角， PBA鯠 ? ?，OEPB，OE，AB 所成角为 ? ?， 二面角 BACE 的大小为? ? 第 16页（共 21页） 19 （12 分）甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生 态环境， 不断地进行研究与实践， 实现了沙退人进 2019 年， 古浪县八步沙林场“六老汉” 三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号在治沙过程中为检测某 种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了 50 个风蚀插钎，以测

34、量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层 厚度越小，说明固沙效果越好，数值为 0 表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观 测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数） ，并绘制了 相应的频率分布直方图 （I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于 30”的概率； （） 若一个插钎的风蚀值小于 30， 则该数据要标记“*”， 否则不标记 根据以上直方图， 完成列联表： 标记不标记合计 坡腰 坡顶 合计 并判断是否有 95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？ （）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为?和?，若|?扈 ?|2

35、0cm，则可认为此固沙方法 第 17页（共 21页） 在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算?和?（同一组中的数据用该组 区间的中点值为代表） ，并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异 附：K2鯠 ?扈? ? P（K2k）0.0500.0100.001 k3.8416.63510.828 【解答】解： （I）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于 30”的事件为 C， 则 P（C）0.08+0.16+0.360.6； （）由频率分布表，填写列联表如下： 标记不标记合计 坡腰302050 坡顶203050 合计5050100 由表中数据，计算 K2鯠 ?扈? ? 鯠43.841， 所

36、以有 95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关； （）计算?鯠0.085+0.1615+0.3625+0.2435+0.1245+0.045525.8（cm） ， ?鯠0.045+0.1215+0.2425+0.3235+0.2045+0.085532.6（cm） ， 且|?扈 ?|4.820， 所以判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异 20 （12 分）已知点 F 为椭圆? ? ? ? ? ? 鯠 ?（ab0）的一个焦点，点 A 为椭圆的右顶点， 点 B 为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点 F 距离的最大值为 3，最小值为 1 （）求椭圆的标准方程； （）若 M、N

37、 在椭圆上但不在坐标轴上，且直线 AM直线 BN，直线 AN、BM 的斜率 分别为 k1和 k2，求证：k1k2e21（e 为椭圆的离心率） 【解答】解： （）由题意可知， ? ? ? 鯠 ? ? 扈 ? 鯠 ?，解得 ? 鯠 ? ? 鯠 ?， b2a2c23， 椭圆的标准方程为：? ? ? ? ? ? 鯠 ?； （）由（）可知，A（2，0） ，B（0，扈?） ， 第 18页（共 21页） 设直线 AM 的斜率为 k，则直线 BN 的斜率也为 k， 故直线 AM 的方程为 yk（x2） ，直线 BN 的方程为 ykx扈?， 由 ? ?鯠 ? ? 鯠 ? 扈 ? 得： （3+4k2）x216k2

38、x+16k2120， ?鯠 ?扈? ? ，?鯠 ?扈? ?，? 鯠 扈? ?， ? ?扈? ? ， 扈? ? ?， 由 ? ?鯠 ? ? 鯠 ?扈? 得：? ?扈 ? ? 鯠 ?， ?鯠 ? ? ?，? 鯠 ? ?扈? ? ? ， ? ? ? ? ， ? ?扈? ? ? ?， ?鯠 ? ?扈? ? ? ? ? ?扈? 鯠 ?扈? 扈?扈? ?， ?鯠 扈? ? ? ?扈? ? 鯠 ?扈? ? ?扈? ， k1k2鯠 ?扈? 扈?扈? ? ?扈? ? ?扈? 鯠扈 ? ?， 又? 鯠 ? ? 鯠 ? ?， k1k2e21 21 （12 分）已知函数 ? 鯠 ? ? 扈 ? 扈 ? ? ? ? ?

39、 ?（aR 且 a0） （）当 a鯠 ? ?时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （）讨论函数 f（x）的单调性与单调区间； （）若 yf（x）有两个极值点 x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）9lna 【解答】 解： （） 因为 a鯠 ? ?时， ? 鯠 ? ? 扈 ? ?扈 ? ? ? ? ? ?， 所以 f （x） 2 ? 扈 ? ? ? 扈x，那么 f（1）1，f（1）2 ?， 所以曲线 yf （x） 在点 （1， f （1） ） 处的切线方程为： y2 ? 鯠扈 （x1） ， 即 x+y2 ? 扈1 0， （）由题意可知 f（x）的定义域为（0，+） ， 因

40、为 f（x）2 ? 扈 ? ? 扈x鯠 扈? ?扈? ? ，由x2+2 ?xa0 可得：124a0，即 a3 时，有 x1鯠? ? 扈 ?，x2鯠? 扈? 扈 ?，x1x2，又当 x（0，3）时，满足 x1 第 19页（共 21页） x20， 所以有 x（0，x2）和（x1，+）时，f（x）0， 即 f（x）在区间（0，x2）和（x1，+）上为减函数 又 x（x2，x1）时，f（x）0，即 f（x）在区间（x2，x1）上为增函数 当 a0 时，有 x10，x20，则 x（0，x1）时，f（x）0，f（x）为增函数；x（x1， +）时，f（x）0，f（x）为减函数； 当 a3 时，0，f（x）0

41、 恒成立，所以 f（x）在（0，+）为减函数， 综上所述，当 a0 时，在（0，3? 扈 ?） ，f（x）为增函数；在（3? 扈 ?，+） ，f （x）为减函数； 当 0a3 时， f （x） 在区间 （0， 3扈? 扈 ?） 和 （3? 扈 ?， +） 上为减函数， 在 （3扈? 扈 ?， 3? 扈 ?） ，f（x）为增函数； 当 a3 时，在（0，+）上，f（x）为减函数 （）因为 yf（x）有两个极值点 x1，x2，则 f（x）鯠 扈? ?扈? ? 鯠0 有两个正根 x1， x2，则124a0，x1+x22 ?，x1x2a0， 即 a（0，3） ，所以 f（x1）+f（x2）2 ?（x1

42、+x2）aln（x1x2）扈 ? ?（? ? ?）+1 alna+a+7， 若要 f（x1）+f（x2）9lna，即要 alnalnaa+20， 构造函数 g（x）xlnxlnxx+2，则 g（x）1+lnx扈 ? ? 扈1lnx扈 ? ?，且在（0，3）上 为增函数， 又 g（1）10，g（2）ln2扈 ? ? 0， 所以存在 x0（1，2） ，使得 g（x0）0，即 lnx0鯠 ? ?，且 x（1，x0）时，g（x）0， g（x）单调递减，x（x0，2）时，g（x）0，g（x）单调递增， 所以 g（x）在（1，2）上有最小值 g（x0）x0lnx0x0lnx0+23（x0? ? ?） ，

43、又因为 x0（1，2） ，则 x0? ? ?（2， ? ?） ，所以 g（x0）0 在 x0（1，2）上恒成立， 即 f（x1）+f（x2）9lna 成立 请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 第 20页（共 21页） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ? 鯠扈 ? 扈 ? ? ? ? 鯠 ? ? ? ? ? （t 为参数） ， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为

44、? 鯠 ? ?扈? ? ? ? ?，曲线 C2的直角坐标方程为 ? 鯠? 扈 ? （）若直线 l 与曲线 C1交于 M、N 两点，求线段 MN 的长度； （）若直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A、B 两点，点 P 在曲线 C2上，求? ? ? ? ? 的取值 范围 【解答】解： （）直线 l 的参数方程为 ? 鯠扈 ? 扈 ? ? ? ? 鯠 ? ? ? ? ? （t 为参数） ，转换为直角坐标方 程为 x+y10， 曲线 C1的极坐标方程为? 鯠 ? ?扈? ? ? ? ?，转换为直角坐标方程为 x2+y22x+2y0， 转换为标准式为（x1）2+（y+1）22， 所以圆心（1，1）到直线 x+