2020年广东省广州市高考数学模拟试卷（理科）（3月份）.pdf

1、第 1页（共 21页） 2020 年广东省广州市高考数学模拟试卷（理科年广东省广州市高考数学模拟试卷（理科） （3 月份）月份） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知复数z满足(1)2i zi，则| (z ) A2B1C 2 2 D 1 2 2 （5 分）已知集合0A ，1，2，3， 2 |1Bx xn，nA，PAB ，则P的子 集共有() A2 个B4 个C6 个D8 个 3 （5 分）sin80 cos50c

2、os140 sin10( ) A 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2 4 （5 分）已知命题:pxR ， 2 10xx ；命题:qxR ， 23 xx，则下列命题中为真 命题的是() ApqBpq CpqDpq 5 （ 5 分 ） 已 知 函 数( )f x满 足(1)(1)fxfx， 当1x 时 ， 2 ( )f xx x ， 则 |(2)1(x f x ) A |3x x 或0x B |0x x 或2x C |2x x 或 0x D |2x x 或4x 6 （5 分）如图，圆O的半径为 1，A，B是圆上的定点，OBOA，P是圆上的动点，点 P关于直线OB的对称点为 P ，角x的始边

3、为射线OA，终边为射线OP，将|OPOP 表 示为x的函数( )f x，则( )yf x在0，上的图象大致为() 第 2页（共 21页） AB CD 7 （5 分）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为() A(72 2)B(102 2)C(104 2)D(114 2) 8 （5 分）某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e， 设地球半径为R， 该卫星近地点离地面的距离为r， 则该卫星远地点离地面的距离为() A 12 11 ee rR ee B 1 11 ee rR ee C 12

4、 11 ee rR ee D 1 11 ee rR ee 9 （5 分） 羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成 某班级从 3 名男生 1 A， 2 A， 3 A和 3 名女生 1 B， 2 B， 3 B中各随机选出两名，把选出的 4 人随机分成两队进行羽毛球混合 双打比赛，则 1 A和 1 B两人组成一队参加比赛的概率为() A 1 9 B 2 9 C 1 3 D 4 9 10 （5 分）已知 1 F， 2 F是双曲线 2 2 2 :1(0) x Cya a 的两个焦点，过点 1 F且垂直于x轴的 第 3页（共 21页） 直线与C相交于A，B两点，若|2AB ，则 2 ABF的内切圆

5、的半径为() A 2 3 B 3 3 C 2 2 3 D 2 3 3 11 （5 分）已知函数( )f x的导函数为( )fx，记 1( ) ( )f xfx， 21 ( )( )fxfx， 1( ) ( )(*) nn fxfx nN 若( )sinf xxx，则 20192021 ( )( )(fxfx) A2cosxB2sin xC2cosxD2sin x 12 （5 分）已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，E，F，G分别是棱AD， 1 CC， 11 C D 的中点，给出下列四个命题： 1 EFBC； 直线FG与直线 1 AD所成角为60； 过E，F，G三点的平面截该正

6、方体所得的截面为六边形； 三棱锥BEFG的体积为 5 6 其中，正确命题的个数为() A1B2C3D4 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）设向量( ,1)am ，(2,1)b ，且 22 1 () 2 a bab ，则m 14 （ 5 分 ） 某 种 产 品 的 质 量 指 标 值Z服 从 正 态 分 布 2 ( ,)N ， 且 (33 )0.9974PZ某用户购买了 10000 件这种产品，则这 10000 件产品中质 量指标值位于区间(3 ,3 ) 之外的产品件数为 15 （5 分） 25 (321)xx的展开

7、式中， 2 x的系数是 （用数字填写答案） 16 （5 分）已知ABC的三个内角为A，B，C，且sin A，sinB，sinC成等差数列，则 sin22cosBB的最小值为，最大值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）记 n S为数列 n a的前n项和， 1 1 2(*) 2 nn n

8、SanN 第 4页（共 21页） （1）求 1nn aa ； （2）令 2nnn baa ，证明数列 n b是等比数列，并求其前n项和 n T 18 （12 分）如图，三棱锥PABC中，PAPC，ABBC，120APC，90ABC， 3ACPB （1）求证：ACPB； （2）求直线AC与平面PAB所成角的正弦值 19 （12 分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了 80 个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：)mm，得到如图的频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图，求这 80 个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01)； （2）若从这 80 个零件中尺

9、寸位于62.5，64.5)之外的零件中随机抽取 4 个，设X表示尺寸 在64.5，65上的零件个数，求X的分布列及数学期望EX； （3）已知尺寸在63.0，64.5)上的零件为一等品，否则为二等品，将这 80 个零件尺寸的样 本频率视为概率现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱 100 个企业在交付买 家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为 99 元若检 验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向 买家对每个二等品支付 500 元的赔偿费用现对一箱零件随机抽检了 11 个，结果有 1 个二 第 5页（共 21页） 等品，

10、 以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据， 该企业是否对该箱余下的所 有零件进行检验？请说明理由 20 （12 分）已知函数( ) x be f xalnx x ，曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程为 220xye （1）求a，b的值； （2）证明函数( )f x存在唯一的极大值点 0 x，且 0 ()222f xln 21 （12 分）已知点P是抛物线 2 1 :3 4 C yx的顶点，A，B是C上的两个动点，且 4PA PB （1）判断点(0,1)D是否在直线AB上？说明理由； （2）设点M是PAB的外接圆的圆心，点M到x轴的距离为d，点(1,0)N，求|MNd的

11、 最大值 （二（二）选考题选考题：共共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做如果多做，则按所做的第一则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知曲线 1 C的参数方程为 cos ( 1sin xt t yt 为参数） ，曲线 2 C的参数方程为 sin ( 1cos2 x y 为参数） （1）求 1 C与 2 C的普通方程； （2）若 1 C与 2 C相交于A，B两点，且|2AB ，求sin的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知0a ，0b ，且1

12、ab （1）求 12 ab 的最小值； （2）证明： 22 25 12 abb ab 第 6页（共 21页） 2020 年广东省广州市高考数学模拟试卷（理科年广东省广州市高考数学模拟试卷（理科） （3 月份）月份） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知复数z满足(1)2i zi，则| (z ) A2B1C 2 2 D 1 2 【解答】解：(1)2i zi， 22 (1)22 1 1(1)(1)2 iiii zi

13、iii ， |2z 故选：A 2 （5 分）已知集合0A ，1，2，3， 2 |1Bx xn，nA，PAB ，则P的子 集共有() A2 个B4 个C6 个D8 个 【解答】解：集合0A ，1，2，3， 2 |1Bx xn， 1nA ，0，3，8， 0PAB ，3， P的子集共有 2 24个 故选：B 3 （5 分）sin80 cos50cos140 sin10( ) A 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2 【解答】解： 1 sin80 cos50cos140 sin10cos10 cos50sin50 sin10cos(5010 )cos60 2 故选：D 4 （5 分）已知命题:p

14、xR ， 2 10xx ；命题:qxR ， 23 xx，则下列命题中为真 命题的是() ApqBpq CpqDpq 【解答】解： 22 13 1()0 24 xxx 恒成立，故命题:pxR ， 2 10xx 为假命题， 当1x 时， 23 xx，成立，即命题:qxR ， 23 xx，为真命题， 第 7页（共 21页） 则pq 为真，其余为假命题， 故选：B 5 （ 5 分 ） 已 知 函 数( )f x满 足(1)(1)fxfx， 当1x 时 ， 2 ( )f xx x ， 则 |(2)1(x f x ) A |3x x 或0x B |0x x 或2x C |2x x 或 0x D |2x x

15、 或4x 【解答】解：由(1)(1)fxfx，得函数关于1x 对称， 当1x 时， 2 ( )f xx x ，则( )f x为增函数，且f（2）211 ， 由( )1f x 得2x ， 由对称性知当1x 时，由( )1f x 得0x ， 综上( )1f x 得2x 或0x ， 由(2)1f x 得22x 或20x ，得0x 或2x ， 即不等式的解集为 |2x x 或0x ， 故选：C 6 （5 分）如图，圆O的半径为 1，A，B是圆上的定点，OBOA，P是圆上的动点，点 P关于直线OB的对称点为 P ，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，将|OPOP 表 示为x的函数( )f x，则( )

16、yf x在0，上的图象大致为() AB 第 8页（共 21页） CD 【解答】解：设 PP 的中点为M，则| | 2|OPOPP PPM ， 当0x， 2 时，在Rt OMP中，| 1OP ，OPMPOAx ，所以 | cos | PM x OP ， 所以| cosPMx，| 2cosOPOPx ，即( )2cosf xx，0x， 2 从四个选项可知，只有选项A正确， 故选：A 7 （5 分）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为() A(72 2)B(102 2)C(104 2)D(114 2) 【解答】解：

17、由题意可知几何体的直观图如图：上部是圆柱，下部是圆锥， 几何体的表面积为： 1 442 223(104 2) 2 故选：C 8 （5 分）某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e， 设地球半径为R， 该卫星近地点离地面的距离为r， 则该卫星远地点离地面的距离为() 第 9页（共 21页） A 12 11 ee rR ee B 1 11 ee rR ee C 12 11 ee rR ee D 1 11 ee rR ee 【解答】解：椭圆的离心率：(0,1) c e a ，(c为半焦距；a为长半轴） ， 只要求出椭圆的c和a，即可确定卫星远地点离地面的距离， 设卫星近地

18、点，远地点离地面距离分别为m，n， 由题意， 结合图形可知，acrR， 远地点离地面的距离为：nacR，macR， 1 rR a e ， () 1 rR e c e ， 所以远地点离地面的距离为： ()12 1111 rRe rRee nacRRrR eeee 故选：A 9 （5 分） 羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成 某班级从 3 名男生 1 A， 2 A， 3 A和 3 名女生 1 B， 2 B， 3 B中各随机选出两名，把选出的 4 人随机分成两队进行羽毛球混合 双打比赛，则 1 A和 1 B两人组成一队参加比赛的概率为() A 1 9 B 2 9 C 1 3 D 4 9

19、【解答】 解： 从 3 名男生 1 A， 2 A， 3 A和 3 名女生 1 B， 2 B， 3 B中各随机选出两名， 共有 22 33 9C C ， 选出的 4 人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛有 1 2 2C ， 故总的事件个数为9218种， 其中 1 A和 1 B两人组成一队有 11 22 4C C 种， 故则 1 A和 1 B两人组成一队参加比赛的概率为 42 189 ， 故选：B 第 10页（共 21页） 10 （5 分）已知 1 F， 2 F是双曲线 2 2 2 :1(0) x Cya a 的两个焦点，过点 1 F且垂直于x轴的 直线与C相交于A，B两点，若|2AB ，则 2

20、ABF的内切圆的半径为() A 2 3 B 3 3 C 2 2 3 D 2 3 3 【解答】解：由双曲线的方程可设左焦点 1( ,0)Fc，由题意可得 2 2 2 b AB a ，再由1b ， 可得2a ，所以双曲线的方程为： 2 2 1 2 x y， 所以 1( 3F ，0)， 2( 3 F，0)，所以 2 12 11 2 2 36 22 ABF SAB F F ， 三角形 2 ABF的周长为 2211 (2)(2)424 22 26 2CABAFBFABaAFaBFaAB， 设内切圆的半径为r，所以三角形的面积 11 6 23 2 22 SC rrr ， 所以3 26r ，解得： 3 3

21、r ， 故选：B 11 （5 分）已知函数( )f x的导函数为( )fx，记 1( ) ( )f xfx， 21 ( )( )fxfx， 1( ) ( )(*) nn fxfx nN 若( )sinf xxx，则 20192021 ( )( )(fxfx) A2cosxB2sin xC2cosxD2sin x 【解答】解：( )sinf xxx， 则 1( ) ( )sincosf xfxxxx， 21 ( )( )coscossin2cossinfxfxxxxxxxx， 32 ( )( )2sinsincos3sincosfxfxxxxxxxx 43 ( )( )3coscossin4co

22、ssinfxfxxxxxxxx 54 ( )( )4sinsincos5sincosfxfxxxxxxxx 65 ( )( )5cos cossin6cossinfxfxxxxxxx， 76 ( )( )6sinsincos7sincosfxfxxxxxxxx ， 第 11页（共 21页） 则 13 ( )( )sincos3sincos2sinf xfxxxxxxxx ， 35 ( )( )3sincos5sincos2sinfxfxxxxxxxx ， 57 ( )( )5sincos7sincos2sinfxfxxxxxxxx ， 即 4143 ( )( )2sin nn fxfxx ，

23、4345 ( )( )2sin nn fxfxx 则 20192021 ( )( )2sinfxfxx， 故选：D 12 （5 分）已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，E，F，G分别是棱AD， 1 CC， 11 C D 的中点，给出下列四个命题： 1 EFBC； 直线FG与直线 1 AD所成角为60； 过E，F，G三点的平面截该正方体所得的截面为六边形； 三棱锥BEFG的体积为 5 6 其中，正确命题的个数为() A1B2C3D4 【解答】解：如图；连接相关点的线段，O为BC的中点，连接EFO，因为F是中点，可 知 1 BCOF， 1 EOBC，可知 1 BC 平面EFO，即

24、可证明 1 BCEF，所以正确； 直线FG与直线 1 AD所成角就是直线 1 A B与直线 1 AD所成角为60；正确； 过E，F，G三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：是五边形EHFGI所以 不正确； 第 12页（共 21页） 三棱锥BEFG的体积为： 123115 (22 13 1)2 32223 G EBM V 123115 (22 13 1) 1 32226 FEBM V 所以三棱锥BEFG的体积为 5 6 正确； 故选：C 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）设向量( ,1)am ，(2,1)b

25、，且 22 1 () 2 a bab ，则m 2 【解答】解：因为向量( ,1)am ，(2,1)b ，且 22 1 () 2 a bab ， 222 20()0aa bbab ； ab ； 2m； 故答案为：2 14 （ 5 分 ） 某 种 产 品 的 质 量 指 标 值Z服 从 正 态 分 布 2 ( ,)N ， 且 (33 )0.9974PZ某用户购买了 10000 件这种产品，则这 10000 件产品中质 量指标值位于区间(3 ,3 ) 之外的产品件数为26 【 解 答 】 解 ： 因 为 某 种 产 品 的 质 量 指 标 值Z服 从 正 态 分 布 2 ( ,)N ， 且 (33

26、)0.9974PZ 第 13页（共 21页） 所 以 10000 件 产 品 中 质 量 指 标 值 位 于 区 间(3 ,3 ) 之 外 的 产 品 件 数 为 ： 10000(10.9974)26； 故答案为：26 15 （5 分） 25 (321)xx的展开式中， 2 x的系数是25 （用数字填写答案） 【解答】解：因为： 2525 (321)3(21)xxxx； 其展开式的通项公式为： 2 5 15(3 ) (21) rrr r Txx ； 要求 2 x的系数； 所以：当50r，即5r 时，需求 55 (21)(21)xx 的展开式的 2 x项，故此时 2 x的 系数是： 5223 5

27、5 2140 ； 当51r， 即4r 时， 需求 55 (21)(21)xx 的展开式的常数项， 故此时 2 x的系数是： 455 55 3115 ； 综上可得： 2 x的系数是：40( 15)25 故答案为：25 16 （5 分）已知ABC的三个内角为A，B，C，且sin A，sinB，sinC成等差数列，则 sin22cosBB的最小值为 3 1 2 ，最大值为 【解答】解：sin A，sinB，sinC成等差数列， 2sinsinsinBAC， 由正弦定理可得，2bac， 由余弦定理有， 222222 ()2331 cos11 22222 acbacbacbac B acacacac （

28、当且仅当 abc时取等号） ， 又B为三角形ABC内角，故(0, 3 B ， 设( )sin22cos ,(0, 3 f BBB B ，则f（B） 2 2cos22sin4sin2sin2BBBB ， 令f（B）0，解得0 6 B ，令f（B）0，解得 63 B ， 故函数f（B）在(0,) 6 单调递增，在(,) 6 3 单调递减， 第 14页（共 21页） 23 ( )()sin2cos1 3332 min f Bf ， 3 3 ( )()sin2cos 6362 max f Bf 故答案为： 33 3 1, 22 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步

29、骤第分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）记 n S为数列 n a的前n项和， 1 1 2(*) 2 nn n SanN （1）求 1nn aa ； （2）令 2nnn baa ，证明数列 n b是等比数列，并求其前n项和 n T 【解答】解： （1）由 1 1 2 2 nn n Sa ，可得1n 时， 11 aS，又 11 21Sa，即 1 1a ； 2n 时， 1

30、nnn aSS ， 11 2 1 2 2 nn n Sa ，又 1 1 2 2 nn n Sa ， 两式相减可得 1 1 1 2 nn n aa ， 即有 1 1 2 nn n aa ； （2）证明：由（1）可得 1 1 2 nn n aa ， 即有 12 1 1 2 nn n aa ， 两式相减可得 2 1 1 2 nnn n baa ， 则 1 1 2 21 22 n n n n b b ，可得数列 n b是首项为 1 4 ，公比为 1 2 的等比数列， 前n项和 1 11 (1) 11 42 1 22 1 2 n n n T 18 （12 分）如图，三棱锥PABC中，PAPC，ABBC，

31、120APC，90ABC， 3ACPB （1）求证：ACPB； （2）求直线AC与平面PAB所成角的正弦值 第 15页（共 21页） 【解答】解： （1）证明：取AC中点O，连结PO，BO， PAPC，ABBC，POAC，BOAC， POBOO ，AC平面PBO， PB 平面PBO，ACPB （2）解：设2 3AC ，则1PO ，2PAPCPB，3BO ， 222 POBOPB，POBO， 以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系， 则(0A，3，0)，(0C，3，0)，(0P，0，1)，( 3B，0，0)， (0AC ，2 3，0)，(0PA ，3，1)，( 3PB

32、 ，0，1)， 设平面PAB的法向量(nx ，y，) z， 则 30 30 n PAyz n PBxz ，取1x ，得(1n ，1，3)， 设直线AC与平面PAB所成角为， 则直线AC与平面PAB所成角的正弦值为： |2 35 sin 5| |2 35 AC n ACn 19 （12 分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了 第 16页（共 21页） 80 个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：)mm，得到如图的频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图，求这 80 个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01)； （2）若从这 80 个零件中尺寸位于62.5，

33、64.5)之外的零件中随机抽取 4 个，设X表示尺寸 在64.5，65上的零件个数，求X的分布列及数学期望EX； （3）已知尺寸在63.0，64.5)上的零件为一等品，否则为二等品，将这 80 个零件尺寸的样 本频率视为概率现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱 100 个企业在交付买 家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为 99 元若检 验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向 买家对每个二等品支付 500 元的赔偿费用现对一箱零件随机抽检了 11 个，结果有 1 个二 等品， 以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作

34、为决策依据， 该企业是否对该箱余下的所 有零件进行检验？请说明理由 【解答】解： （1）由于62.0，63.0)内的频率为(0.0750.225)0.50.15， 63.0，63.5)内的频率为0.750.50.375， 设中位数为63.0x，63.5)， 由0.15(63)0.750.5x，得63.47x ， 故中位数为 63.47； （2） 这 80 个零件中尺寸位于62.5，64.5)之外的零件共有 7 个， 其中尺寸位于62.0，62.5) 内的有 3 个， 位于64.5，65)共有 4 个，随机抽取 4 个， 则1X ，2，3，4， 第 17页（共 21页） 31 34 4 7 4

35、(1) 35 C C P X C ， 22 34 4 7 18 (2) 35 C C P X C ， 13 34 4 7 12 (3) 35 C C P X C ， 4 4 4 7 1 (4) 35 C P X C ， X1234 P 4 35 18 35 12 35 1 35 41812116 1234 353535357 EX ； （3）根据图象，每个零件是二等品的概率为(0.0750.2250.100)0.50.2P ， 设余下的 89 个零件中二等品的个数为(89,0.2)YB， 由二项分布公式，890.217.8EY ， 若不对余下的零件作检验，设检验费用与赔偿费用的和为S， 11

36、995001089500SYY， 若对余下的零件作检验，则这一箱检验费用为 9900 元， 以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据， 则11 995009989ESEY， 因为9900ES ，所以应该对余下的零件作检验 （或者9989ES 与 9900 相差不大，可以不做检验都行) 20 （12 分）已知函数( ) x be f xalnx x ，曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程为 220xye （1）求a，b的值； （2）证明函数( )f x存在唯一的极大值点 0 x，且 0 ()222f xln 【解答】解： （1）函数的定义域为(0,)， 2 () ( ) x

37、x ab xee fx xx ， 则f（1）a，f（1）be ， 故曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程为0axyabe， 第 18页（共 21页） 又曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程为220xye， 2a，1b ； （2）证明：由（1）知，( )2 x e f xlnx x ，则 2 2 ( ) xx xxee fx x ， 令( )2 xx g xxxee，则( )2 x g xxe，易知( )g x在(0,)单调递减， 又(0)20g，g（1）20e， 故存在 1 (0,1)x ，使得 1 ()0g x， 且当 1 (0,)xx时，( )0g x，( )g

38、 x单调递增，当 1 (xx，)时，( )0g x，( )g x单调递 减， 由于(0)10g ，g（1）20，g（2） 2 40e， 故存在 0 (1,2)x ，使得 0 ()0g x， 且当 0 (0,)xx时，( )0g x ，( )0fx，( )f x单调递增， 当 0 (xx，)时，( )0g x ，( )0fx， ( )f x单调递减， 故函数存在唯一的极大值点 0 x，且 00 000 ()20 xx g xxx ee，即 0 0 0 0 2 ,(1,2) 1 x x ex x ， 则 0 000 00 2 ()22 1 x e f xlnxlnx xx ， 令 2 ( )2,1

39、2 1 h xlnxx x ，则 2 22 ( )0 (1) h x xx ， 故( )h x在(1,2)上单调递增， 由于 0 (1,2)x ，故 0 ()h xh（2）222ln，即 0 0 2 2222 1 lnxln x ， 0 ()222f xln 21 （12 分）已知点P是抛物线 2 1 :3 4 C yx的顶点，A，B是C上的两个动点，且 4PA PB （1）判断点(0,1)D是否在直线AB上？说明理由； （2）设点M是PAB的外接圆的圆心，点M到x轴的距离为d，点(1,0)N，求|MNd的 最大值 【解答】解： （1）由抛物线的方程可得顶点(0, 3)P，由题意可得直线AB的

40、斜率存在，设 第 19页（共 21页） 直线AB的方程为：ykxb，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y 联 立 直 线 与 抛 物 线 的 方 程 ： 2 1 3 4 ykxb yx 整 理 可 得 ： 2 44(3)0xkxb， 2 1616(3)0kb，即 2 30kb， 12 4xxk， 12 4(3)x xb ， 2222222 121212 ()4(3)412y yk x xkb xxbkbk bbbk ， 2 1212 ()242yyk xxbkb， 因为 1 (PA PBx ， 12 3)(yx， 2222 2121212 3)3()94(3)123(42

41、)923yx xy yyybbkkbbb ， 而4PA PB ，所以 2 234bb ，解得1b ，m满足判别式大于 0， 即直线方程为1ykx，所以恒过(0, 1) 可得点(0,1)D不在直线AB上 （2）因为点M是PAB的外接圆的圆心，所以点M是三角形PAB三条边的中垂线的交点， 设线段PA的中点为F，线段PB的中点为为E， 因为(0, 3)P，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y 所以 1 ( 2 x F， 1 3) 2 y ， 2 ( 2 x E， 2 3) 2 y ， 1 1 3 PA y k x ， 2 2 3 PB y k x ， 所以线段PA的中垂线的方程为

42、： 111 1 3 () 232 yxx yx y ， 而A在抛物线上，所以 2 11 1 3 4 yx， 所以线段PA的中垂线的方程为： 2 1 1 4 1 8 x yx x ， 同理可得线段PB的中垂线的方程为： 2 2 2 4 1 8 x yx x ， 联立方程 2 1 1 2 2 2 4 1 8 4 1 8 x yx x x yx x 解得 1212 () 32 x xxx x ， 22 1212 8 8 xxx x y ， 第 20页（共 21页） 由（1）得 12 4xxk， 12 4(3)8x xb ， 所以 84 32 M k xk ， 222 2121212 2() 2 88 M xxx xxx yk ， 即点M的轨迹方程为： 2 1 2 xy； 可得焦点 1 (0, ) 8 F，准线方程为： 1 8 y 连接NF交抛物线于 0 M，由抛物线的性质，到焦点 的距离等于到准线的距离， 00 1111165 | (|) |1 886488 MNdNFNMM FNF ， 所以|MNd的最大值为 165 8 （二（二）选考题选考题：共共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做如果多做，则按所做的第一则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程