2020届湖北省武汉市高三下学期3月质量检测数学(理)试题.pdf

1、武武汉汉市市 2020 届届高高中中毕毕业业生生学学习习质质量量检检测测 理理科科数数学学 武武汉汉市市教教育育科科学学研研究究院院命命制制 本本试试卷卷共共 5 页页，23 题题（含含选选考考题题） ，全全卷卷满满分分 150 分分考考试试用用时时 120 分分钟钟 祝祝考考试试顺顺利利 注注意意事事项项： 1答答题题前前，先先将将自自己己的的姓姓名名、准准考考证证号号填填写写在在答答题题卡卡上上 2选选择择题题的的作作答答：每每小小题题选选出出答答案案后后，请请用用黑黑色色签签字字笔笔填填写写在在答答题题卡卡上上对对应应的的表表格格中中 3非非选选择择题题的的作作答答：用用黑黑色色签签字字

2、笔笔直直接接答答在在答答题题卡卡上上对对应应的的答答题题区区域域内内 4选选考考题题的的作作答答：先先把把所所选选题题目目的的题题号号用用黑黑色色签签字字笔笔填填写写在在答答题题卡卡上上指指定定的的位位置置，答答案案写写在在 答答题题卡卡上上对对应应的的答答题题区区域域内内 5请请学学生生自自行行打打印印答答题题卡卡不不能能打打印印的的，可可在在 A4 白白纸纸上上答答题题，选选择择题题请请标标明明题题号号，写写清清答答 案案；非非选选择择题题请请标标明明题题号号，自自行行画画定定答答题题区区域域，并并在在相相应应区区域域内内答答题题，需需要要制制图图的的请请自自行行制制 图图 6答答题题完完

3、毕毕，请请将将答答案案用用手手机机拍拍照照并并上上传传给给学学校校，原原则则上上一一张张 A4 拍拍成成一一张张照照片片，要要注注意意照照 片片的的清清晰晰，不不要要多多拍拍、漏漏拍拍 一一、选选择择题题：本本题题共共 12 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 60 分分在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只有有一一 项项是是符符合合题题目目要要求求的的 1.已知复数 z（1+2i） （1+ai） （aR） ，若 zR，则实数 a（） A. 1 2 B. 1 2 C. 2D. 2 【答案】D 【解析】因为 z（1+2i） （1+ai）= 1 22aai， 又因为 zR， 所

4、以20a， 解得 a-2. 故选：D 2.已知集合 Mx|1x2，Nx|x（x+3）0，则 MN（） A. 3，2）B. （3，2）C. （1，0D. （1，0） 【答案】C 【解析】因为 Nx|x（x+3）0=x|-3x0，又因为 Mx|1x2， 所以 MNx|1x0. 故选：C 3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于 5 的概率为（） A. 1 6 B. 5 18 C. 1 9 D. 5 12 【答案】A 【解析】共有6 6=36种情况，满足条件的有 1,11,21,32,1 , 2,2 , 3,1，6种情况， 故 61 366 p . 故选：A. 4.在正项等比数列an中，a

5、5-a1=15，a4-a2=6，则 a3=（） A. 2B. 4C. 1 2 D. 8 【答案】B 【解析】 4 5111 15aaa qa， 3 4211 6aaa qa q，解得 1 1 2 a q 或 1 16 1 2 a q （舍去）. 故 2 31 4aa q. 故选：B. 5.执行如图所示的程序框图，输出的 s 的值为（） A. 5 3 B. 8 5 C. 13 8 D. 21 13 【答案】C 【解析】第一次循环，2,1si，第二次循环， 3 ,2 2 si， 第三次循环， 5 ,3 3 si，第四次循环， 8 ,4 5 si，第四次循环， 13 ,5 8 si， 此时不满足4i

6、 ，输出 13 8 s . 故选：C 6.已知等边ABC 内接于圆：x2+ y2=1，且 P 是圆上一点，则()PAPBPC 的最大值是（） A. 2 B. 1C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】如图所示建立直角坐标系，则()1,0A， 13 , 22 B， 13 , 22 C ，设cos ,sinP， 则(1 cos , sin ) ( 12cos , 2si(n )PAPBPC 222 (1 cos )( 1 2cos )2sin2coscos12sin1 cos2 . 当 ，即1,0P 时等号成立. 故选：D. 7.已知函数 f（x）sin2x+sin2（x 3 ） ，则 f（x）的

7、最小值为（） A. 1 2 B. 1 4 C. 3 4 D. 2 2 【答案】A 【解析】已知函数 f（x）sin2x+sin2（x 3 ） ， = 2 1 cos 2 1 cos23 22 x x ， = 1 cos23sin21 11cos 2 22223 xx x ， 因为cos 21,1 3 x ， 所以 f（x）的最小值为 1 2 . 故选：A 8.已知数列an满足 a1=1，(an+an+1-1)2=4anan+1，且 an+1an(nN*)，则数列an的通项公式 an=（） A. 2nB. n2C. n+2D. 3n -2 【答案】B 【解析】 2 11 14 nnnn aaa

8、a ，故 11 12 nnnn aaa a ，即 2 1 1 nn aa ， 即 1 1 nn aa ， 1 1a ，故 n a为首项是1，公差为1的等差数列. 故 n an， 2 n an. 故选：B. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，化简得到 1 1 nn aa 是解题的关键. 9.已知 a=0.80.4，b=0. 40. 8，c= log84，则（） A. a0)上，点 P 在第一象限，点 P 关于原点 O 的对称点为 A，点 P 关于 x 轴的对称点为 Q，设 3 4 PDPQ ，直线 AD 与椭圆的另一个交点为 B，若 PAPB，则椭圆的离心率 e= （） A. 1 2 B. 2

9、2 C. 3 2 D. 3 3 【答案】C 【解析】设 11 ,P x y，则 11 ,Axy， 11 ,Q xy， 3 4 PDPQ ，则 1 1, 2 y D x ，设 22 ,B xy， 则 22 11 22 22 22 22 1 1 xy ab xy ab ，两式相减得到： 12121212 22 xxxxyyyy ab ， 2 1212 2 1212 PB yyxxb k xxayy ， ADAB kk，即 112 112 4 yyy xxx ， 12 1 112 4 PA yyy k xxx ， PAPB，故 1 PAPB kk ，即 2 2 41 b a ，故 22 34ac ，

10、故 3 2 e . 故选：C. 12.已知关于 x 的不等式 3 x e x -x- alnx1 对于任意 x(l，+)恒成立，则实数 a 的取值范围为（） A. （-，1-eB. （-，-3C. （-，-2D. （-，2- e2 【答案】B 【解析】根据题意： 33ln3ln 3 1 111 lnlnlnln x xxxxx e x x exeexex x a xxxx . 设 1 x f xex，则 1 x fxe， 则函数在,0上单调递减，在0,上单调递增，故 min 00f xf，故 1 x ex. 根据1 x ex， 3ln 13ln11 3 lnln xx exxxx xx ，故3

11、a . 故选：B. 二二、填填空空题题：本本题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 20 分分 13.已知以 x2y =0 为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为_. 【答案】 2 2 1 123 y x 【解析】双曲线渐近线为20xy，则设双曲线方程为： 22 4xy，代入点(4,1)，则12. 故双曲线方程为： 2 2 1 123 y x . 故答案为： 2 2 1 123 y x . 14.若函数 f（x） cosxa sinx 在（0， 2 ）上单调递减，则实数 a的取值范围为_ 【答案】a1 【解析】因为函数 f（x） cosxa sinx 在（0，

12、2 ）上单调递减， 所以 2 1cos 0 sin ax fx x 在（0， 2 ）上恒成立 ，即 1 cos a x 在（0， 2 ）上恒成立 ， 因为0, 2 x ，所以cos0,1x，所以 1 (, 1 cosx ，所以1a . 故答案为：1a 15.根据气象部门预报， 在距离某个码头 A 南偏东 45方向的 600km 处的热带风暴中心 B 正以 30km/h 的速度 向正北方向移动，距离风暴中心 450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过_小时后该码头 A 将受到 热带风暴的影响（精确到 0.01） 【答案】9.14h. 【解析】建立如图所示直角坐标系： 设风暴中心最初在 B

13、处，经 th 后到达 C 处自 B 向 x 轴作垂线，垂足为 D 若在点 C 处受到热带风暴的影响，则 OC450， 即 22 ADDC450， 即 22 (60045 )(6004530 )cossint450； 两边平方并化简、整理得 t220 2t+1750 t 10 25 或10 2 5 ， 10 24159. 所以9.14时后码头将受到热带风暴的影响 16.在三棱锥 S- ABC 中，底面ABC 是边长为 3 的等边三角形，SA= 3，SB=23，若此三棱锥外接球的 表面积为 21，则二面角 S-AB-C 的余弦值为_ 【答案】 1 2 【解析】球的表面积为 2 421R ，故 21

14、 2 R ， 222 SASBAB ，故 2 SAB . SAB的外接圆圆心为SB中点 2 O， 2 3r ； ABC的外接圆圆心为三角形中心 1 O， 1 3 3 3 2 2 r . 设球心为O，则 2 OO 平面SAB， 1 OO 平面ABC， 1 CO与AB交于点D， 易知D为AB中点，连接DO， 2 DO，易知CDAB， 2 O DAB， 故 2 CDO为二面角SABC的平面角. 故 22 11 3 2 OORr， 22 22 3 2 OORr， 1 13 32 DOCD ， 2 13 22 DOSA . 1 tan3ODO，故 1 3 ODO ， 2 tan3ODO，故 2 3 OD

15、O . 故 12 2 3 O DO ， 12 1 cos 2 O DO . 故答案为： 1 2 . 三三、解解答答题题：共共 70 分分解解答答应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤第第 17 - 21 题题为为必必考考题题， 每每个个试试题题考考生生都都必必须须作作答答第第 22、23 题题为为选选考考题题，考考生生根根据据要要求求作作答答 （一一）必必考考题题：共共 60 分分 17.在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a=4， tantan tantan ABcb ABc . （1）求 A 的余弦值； （2）求ABC 面积的最大值 【

16、答案】 （1） 1 2 ； （2）4 3 【解析】 （1） tantan tantan ABcb ABc ，则 sincoscossinsinsin sincoscossinsin ABABCB ABABC ， 即sinsinsinABABB，故sin2sincosBBA，sin0B ，故 1 cos 2 A. （2） 222 2cosabcbcA ，故 22 162bcbcbcbc ，故16bc . 当4bc时等号成立. 1 cos 2 A，故 3 sin 2 A ， 1 sin4 3 2 SbcA，故ABC 面积的最大值为4 3. 18.如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1

17、D1中，P，Q，L 分别为棱 A1D1，C1D1，BC 的中点 （1）求证：ACQL； （2）求点 A 到平面 PQL 的距离 【答案】 （1）证明见解析； （2） 3 6 a 【解析】 （1）如图所示：作QMCD于M，易知M为CD中点，L为BC中点，故ACML. QMCD，故QM 平面ABCD，AC 平面ABCD，故QMAC. QMMLM，故AC 平面QML，QL 平面QML，故ACQL. （2）取AB中点N，连接,PN LN，易知 /PQ LN，ACQL ，故PQLN为矩形. 故A到平面PQL的距离等于A到平面PNL的距离. 故 3 111 332 2 224 P ANL a aa VSh

18、a . 2 22 1123 22224 PNL a SNL NPaaa ， P ANLA PNL VV ，即 3 2 13 3424 a ad ，故 3 6 da . 【点睛】本题考查了线线垂直，点面距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 19.已知抛物线：y22px（p0）的焦点为 F，P 是抛物线上一点，且在第一象限，满足FP （2，2 3） （1）求抛物线的方程； （2）已知经过点 A（3，2）的直线交抛物线于 M，N 两点，经过定点 B（3，6）和 M 的直线与抛物 线交于另一点 L，问直线 NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由 【答案】 （1）y24x； ；

19、 （2）直线 NL 恒过定点（3，0） ，理由见解析. 【解析】 （1）由抛物线的方程可得焦点 F（ 2 p ，0） ，满足FP （2，2 3）的 P 的坐标为（2 2 p ，2 3） ， P 在抛物线上， 所以（2 3）22p（2 2 p ） ，即 p2+4p120，p0，解得 p2，所以抛物线的方程为：y24x； （2）设 M（x0，y0） ，N（x1，y1） ，L（x2，y2） ，则 y124x1，y224x2， 直线 MN 的斜率 kMN 1010 22 101010 4 4 yyyy yyxxyy ， 则直线 MN 的方程为：yy0 10 4 yy （x 2 0 4 y ） ， 即

20、y 01 01 4xy y yy ， 同理可得直线 ML 的方程整理可得 y 02 02 4xy y yy ， 将 A（3，2） ，B（3，6）分别代入，的方程 可得 01 01 02 02 12 2 12 6 y y yy y y yy ，消 y0可得 y1y212， 易知直线 kNL 12 4 yy ，则直线 NL 的方程为：yy1 12 4 yy （x 2 1 4 y ） ， 即 y 12 4 yy x 12 12 y y yy ，故 y 12 4 yy x 12 12 yy ， 所以 y 12 4 yy （x+3） ， 因此直线 NL 恒过定点（3，0） 20.有人收集了某 10 年中

21、某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额 的相关数据： 且已知 10 1 i i x = 380.0 （1）求第 10 年的年收入 x10； （2）收入 x 与该种商品的销售额 y 之间满足线性回归方程y 363 254 x a . （i）10 年的销售额 y10； （ii）居民收入达到 40.0 亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到 0.01） 附加： （1）回归方程 ybxa中， 1 1 2 2 1 n i i n i i x ynxy b xnx ， a ybx. （2） 10 2 2 1 10254.0 i i xx ， 9 1 12875.0 i

22、i i x y ， 9 2 1 340.0 i i y 【答案】 （1）46； （2） 10 51y， 41.96y 【解析】 （1） 10 10 1 3231 33363738394345380 i i xx ，故 10 46x. （2） 10 1 10 22 1 10 363 254 10 ii i i i x yx y b xx ，即 10 10 340 128754610 38 363 10 254254 y y ， 解得 10 51y，故 38x ， 2530343739+41+42+44+4851 39.1 10 y . 将点38,39.1代入回归方程 363 254 yxa得到：

23、 15.21a . 故 363 15.21 254 yx，当40x 时， 41.96y . 21.（1）证明函数2sin2 cos x yexxx在区间(,) 2 上单调递增； （2）证明函数( )2sin x e f xx x 在(-，0)上有且仅有一个极大值点 0, x且 0 0()2.f x 【答案】 （1）见解析 （2）见解析 【解析】 （1）对函数求导，得 2cos2cos2 sin4cos2 sin , xx yexxxxexxx 因为任意的xR,有0 x e ，且在区间(,) 2 上， 1sin0, 1cos0,xx 所以(,),2 sin0, 4cos0, 2 xxxx 即4c

24、os2 sin0 x yexxx， 即函数2sin2 cos x yexxx在区间(,) 2 上单调递增. （2）对函数求导，得 2 2 12cos x xexx fx x ， 令 2 12cos x g xexxx，则 2 sin4cos x gxx exxx 当, 2 x 时，由（1）知， 4cos2 sin0 x exxx ，则 0gx 故 g x在, 2 上单调递减 而 2 2 10,120 22 gege 由零点存在定理知：存在唯一的 0 , 2 x ，使得 0 0g x， 即 0 2 0000 12cos x g xexxx 当 0 ,xx 时， 0 0g x，即 0fx ， fx

25、为增函数； 当 0, 2 xx 时， 0 0g x，即 0fx ， fx为减函数. 又当 ,0 2 x 时， 2 2 12cos 0 x xexx fx x 所以 fx在 0,0 x上恒为减函数， 因此 fx有唯一的极大值点 0 x 由 fx在 0, 2 x 上单调递减， 故 2 0 2 1 2sin20 22 2 2 e fxf e 即 0 0fx 又 0 00 0 2sin, x e f xx x 当 0 , 2 x 时， 0 0 0 10,02sin2 x e x x 故 0 2f x 综上，函数( )2sin x e f xx x 在(-，0)上有且仅有一个极大值点 0, x且 0 0

26、()2.f x （二二）选选考考题题：共共 10 分分，请请考考生生在在第第 22、23 题题中中任任选选一一题题作作答答，如如果果多多做做，则则按按所所做做的的第第 一一题题 计计分分 选选修修 4-4:坐坐标标系系与与参参数数方方程程 22.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 5 4 xcos ysin （为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2：24cos+30 （1）求曲线 C1的一般方程和曲线 C2的直角坐标方程； （2）若点 P 在曲线 C1上，点 Q 曲线 C2上，求|PQ|的最小值 【答案】 （1） 22 1 2516 xy

27、 ， （x2）2+y21； （2）2. 【解析】 （1）曲线 C1的参数方程为 5 ( 4 xcos ysin 为参数） ，两式平方相加整理得 22 1 2516 xy 将cos ,sinxy代入24cos+30得 x2+y24x+30，整理得（x2）2+y21 （2）设点 P（5cos，4sin）在曲线 C1上，圆心 O（2，0） ， 所以： 2 222 1080 (52)(4)920209 99 POcossincoscoscos ， 当 cos1 时，|PO|min3，所以|PQ|的最小值 312 选选修修 4-5:不不等等式式选选讲讲 23.已知函数 f（x）|2xa|+|xa+1|

28、（1）当 a4 时，求解不等式 f（x）8； （2）已知关于 x 的不等式 f（x） 2 2 a 在 R 上恒成立，求参数 a 的取值范围 【答案】 （1）5，+）（， 1 3 ； （2）2，1. 【解析】 （1）当 a4 时，f（x）|2x4|+|x3|， （i）当 x3 时，原不等式可化为 3x78，解可得 x5， 此时不等式的解集5，+） ； （ii）当 2x3 时，原不等式可化为 2x4+3x8，解可得 x9 此时不等式的解集 ； （iii）当 x2 时，原不等式可化为3x+78，解可得 x 1 3 ， 此时不等式的解集（， 1 3 ， 综上可得，不等式的解集5，+）（， 1 3 ，

29、（2） （i）当 a1 1 2 a即 a2 时，f（x）3|x1| 2 2 a 2 显然不恒成立， （ii）当 a1 1 2 a即 a2 时， 1 321 2 1 11 2 3211 xaxa f xxaxa xaxa ， ， ， ， 结合函数的单调性可知，当 x 1 2 a时，函数取得最小值 f（ 1 2 a） 1 1 2 a， 若 f（x） 2 2 a 在 R 上恒成立，则 2 11 1 22 aa ，此时 a 不存在， （iii）当 a1 1 2 a即 a2 时，f（x） 3211 1 11 2 1 321 2 xaxa xaxa xaxa ， ， ， 若 f（x） 2 2 a 在 R 上恒成立，则 1 2 11 22 aa，解得2a1， 此时 a 的范围2，1， 综上可得，a 的范围2，1