人教版九年级数学一元二次方程知识点讲解及习题训练(一).doc

1、一元二次方程（1）知识点一 一元二次方程的定义 判定：方程是整式方程；它只含有一个未知数；未知数的最高次数是2注意：在判断时，需将方程化成一般形式。例1、下列关于的方程，哪些是一元二次方程？(1)；(2)；(3)；(4)；(5)知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为（a，b，c是已知数，）。其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。 （2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。 （3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。例2、

2、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。（1）； （2）； （3）例3、 已知关于的方程是一元二次方程时，则 知识点三 直接开平方法解一元二次方程若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。（1） 的解是；（2） 的解是；（3） 的解是。例4、用直接开平方法解下列一元二次方程（1）； （2）； （3）练习：（1）； （2）知识点四 配方法解一元二次方程注意：用配方法解一元二次方程，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。例5、用配方法解下列方程：（1）； （2）1、用配方法解二次项系数

3、为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：（1） 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；（2） 把原方程变为的形式。（3） 若，用直接开平方法求出的值，若n0，原方程无解。例6、解下列方程：2、用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；(2) 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为的形式；（3）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。例7、用配方法解下列方程：（1）； （2）知识点五 公式法解一元二

4、次方程一元二次方程的求根公式一元二次方程的求根公式是：用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1） 把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；（2） 求出的值；（3） 若，则把及的值代人求根公式，求出。例8、用公式法解下列方程（1）； （2）； （3）知识点六 因式分解法解一元二次方程如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1） 将方程的右边化为0；（2） 将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3） 令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。关键点：（1）要

5、将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。例10、用因式分解法解下列方程：(1)x212x0； （2） x27x； (3)x24x210； 知识点七 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 =运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：（1） =0方程有两个不相等的实数根；（2） =0方程有两个相等的实数根；（3） =0方程没有实数根；利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：把所有一元二次方程化为一般形式；确定的值；计算的值；根据的符号判定方程根的情况。例11、不解方程，判断下列一元二次方程根的

6、情况：（1）；（2）；（3）知识点八 根的判别式的逆用在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根0（2）方程有两个相等的实数根=0（3）方程没有实数根0注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。例12、为何值时，方程的根满足下列情况：（1）有两个不相等的实数； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根；综合训练题一、 填空：1一元二次方程化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。2关于的方程,当 时为一元一次方程；当 时为一元二次方程。3若是方程-2=0的一个根，则代数式-= 4. ； 。5已知方程2+k+3=0

7、的一个根是 - 1，则k= , 另一根为 6若代数式与的值互为相 反数，则的值是 。7方程与的解相同，则= 。8当 时，关于的方程可用公式法求解。9若实数满足，则= 。10若，则= 。11已知的值是10，则代数式的值是 。12关于的一元二次方程有实数根，则 k的取值范围为 二、 选择：1要使分式的值为0，则应该等于（ ）（A）4或1 （B）4 （C）1 （D）或2关于的一元二次方程的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是（ ）（A） （B） （C） （D）3下列方程中，无论取何值，总是关于的一元二次方程的是（ ）（A） （B）（C） （D）4若方程中，满足和，则方程的根是（ ）（A）1，0 （B）-1，0 （C）1，-1 （D）无法确定三、 解方程1. 解下列方程（1）2-49=0 （2）3270（3） （4）（公式法）（5） （6）x24x2 （配方法） 2. 选用合适的方法解下列方程（1） （2）（3） （4）(5)(x1)(x3)12； (6)3x22x10；四、 解答1. 已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程的一个根，求这个三角形的面积。2. 已知一元二次方程有一个根为零，求的值。3. 已知一元二次方程.（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围.（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根