1、数学文化1.（2020全国卷文 3）如图，将钢琴上的 12 个键依次记为 a1，a2，a12.设 1ijk12若 kj=3 且ji=4，则称 ai，aj，ak 为原位大三和弦；若 kj=4 且 ji=3，则称 ai，aj，ak 为原位小三和弦用这 12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ） A. 5B. 8C. 10D. 152.（2020山东 4、海南 4）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球(球心记为 O)，地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角，点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA
2、 垂直的平面.在点 A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 A 处的纬度为北纬 40，则晷针与点 A 处的水平面所成角为（） A. 20B. 40C. 50D. 903.（2020全国卷理 4）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多 729 块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A. 3699 块B. 3474 块C. 3402 块D. 3339 块 4.
3、（2020北京 10）2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（ p Day）历史上，求圆周率p 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2p 的近似值按照阿尔卡西的方法， p 的近似值的表达式是（） 3030 3030 A. 3nsin n+ tannB. 6nsin n+ tann6060 6060 C. 3nsin n+ tannD. 6nsin n+ tann数学文化参考答案1. 【答案】C【解析】根据题意可知
4、，原位大三和弦满足： k - j = 3, j - i = 4 i = 1, j = 5, k = 8 ； i = 2, j = 6, k = 9 ； i = 3, j = 7, k = 10 ； i = 4, j = 8, k = 11； i = 5, j = 9, k = 12 原位小三和弦满足： k - j = 4, j - i = 3 i = 1, j = 4, k = 8 ； i = 2, j = 5, k = 9 ； i = 3, j = 6, k = 10 ； i = 4, j = 7, k = 11； i = 5, j = 8, k = 12 故个数之和为 10故选：C2. 【
5、答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点 A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ；AB 是晷针所在直线. m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知m/CD 、根据线面垂直的定义可得 AB m .由于AOC = 40, m/CD ，所以OAG = AOC = 40 ， 由于OAG + GAE = BAE + GAE = 90 ， 所以BAE = OAG = 40 ，也即晷针与点 A 处的水平面所成角为BAE = 40 .故选：B3. 【答案】C【解析】设第 n 环天石心块数为an ，第一层共有
6、n 环， 则an是以 9 为首项，9 为公差的等差数列， an = 9 + (n -1) 9 = 9n ， 设 Sn 为an的前 n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为 Sn, S2n - Sn, S3n - S2n ，因为下层比中层多 729 块， 所以 S3n - S2n = S2n - Sn + 729 ， 3n(9 + 27n)2n(9 +18n)2n(9 +18n)n(9 + 9n)即-=-+ 729 2222即9n2 = 729 ，解得n = 9 ， 27(9 + 9 27)所以 S3n = S27 =2故选：C= 3402 .4. 【答案】A【解析】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为30360 =n 660n，每条边长为2 sin30， n所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为12n sin n ， 3030单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2 tan n12n sin 30 +12n tan 30，其周长为12n tan， n2p = nn = 6n sin 30 + tan 30 ， 2nn 则p = 3n sin 30 + tan 30 .nn 故选：A.
