XX大学高数B下期末考试题.doc

1、 同济大学2009-2010学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空题()1. 曲面在点处的法线方程为.2. 函数在点处沿方向的方向导数为.3. 设为连续函数, 则三次积分的柱面坐标积分 形式为.4. 设函数具有一阶连续函数,且,若曲线积分 在整个平面上与路径无关, 则.5. 曲面积分, 其中 6. 设函数, 则.7. 若幂级数在点处收敛, 在点处发散, 则幂级数的收敛 区间为8. 设是以为周期的周期函数,它在上的表达式为 则的傅里叶级数在点处收敛到二. 解答题()9. ()证明函数在点处不连续. 10. ()计算二重积分, 其中是由直线与所围成的闭区域. 11. ()计算三重积分, 其

2、中是由平面与三坐标平面 所围成的闭区域. 12. ()计算曲线积分, 其中为椭圆(按顺时针方向绕行). 13. ()计算曲面积分 , 其中 为曲面: , 取上侧. 14. ()将函数展开成的幂级数, 并指出展开式成立的范围. 15. ()求幂级数的收敛域及和函数, 并由此求级数的和. 同济大学2010-2011学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空题()1. 直线与平面的夹角为.2. 向量函数在点处的散度为.3. 质点在变力的作用下, 沿螺旋线, 从点运动到点, 则变力所作的功为.4. 闭区域, 则积分.5. 若级数在点处条件收敛, 则该级数的收敛半径.6. 函数的麦克劳林展开式为.7

3、. 若是函数的正弦展开式, 则 8. 设是由与平面所围的有界闭区域,是位于的部分, 则下列等式中正确的是 ; ; ; .二. 解答题()9. ()求曲线在点处的切线与法平面方程. 10. ()计算曲面积分, 其中是球面被曲面. 截下的较小部分的曲面. 11. ()将函数展开成的幂级数,并指出展开式成立的范围. 12. ()计算曲面积分 , 其中为曲面 取前侧. 13. ()计算三重积分 , 其中 是由曲面与平面 所围成的有限闭区域. 14. ()是周期为的偶函数, 在上. 求该函数的傅里叶展 开式, 并由此求级数的和. 15. ()设为区间上的连续函数,且,证明 同济大学2011-2012学年

4、第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题()1. 极限 .2. 若函数 具有连续的偏导数, 且 , 则极限 .3. 由所确定的函数在点的偏导数4. 平面上曲线的方程为, 若将该曲线关于直线对称得到曲线 , 则的方程为.5. 函数在某点沿任意方向的方向导数存在是函数在该点可微分的什么条件? B 充分条件; 必要条件; 充分必要条件; 无关条件.6. 若常数项级数收敛, 则下列各项判断中正确的判断是: D 一定收敛; 一定收敛; 一定发散; 对于常数, 如果收敛就可判断收敛, 必有.7. 是球体, 是球体位于第一卦限内的部分, 则积分等于 B ; ; ; .8. 是空间光滑的有向曲面片,

5、是与正向联系的有向边界曲线, 则由斯托克斯公式 等于 D ; ; ; .二. 解答题()1. 求曲线 在点的切线方程. 2. 计算, 其中是由与所围成的有界闭区域. 三()求函数的极值, 并说明是极大还是极小值.四()已知是上的连续函数, 若将分别展开成周期为的傅里叶余弦和 正弦级数, 它们分别为余弦级数; 正弦级数. 试写出系数 与的计算公式, 并求函数周期为的傅里叶级数.略五()求曲面上的点, 使得该点处的切平面与三 个坐标平面所围四面体的体积最大. 体积六()如果曲线积分与路径无关, 其中是可导函 数, 并且满足, 求函数, 并计算积分, 其中是沿曲线从到的弧段.七()是由曲面与所围立体

6、的边界曲面, 它的法向 指向曲面的外侧, 计算曲面积分. 八()求幂级数的收敛域及其和函数. 九()判别常数项级数的收敛性, 并对自己的判断给出证明. 收敛 同济大学2012-2013学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题()1. 经过三点的平面方程为; 点到该平面的距离为.2. 平面上的直线绕着轴旋转一周所得的曲面方程为; 在二次曲面中, 该曲面的类型是 圆锥面 .3. 是上半球体 , 是 的边界曲面外侧, 是上半球面 的上侧, 则利用高斯公式计算可得 ; 积分 .4. 是空间两点, 是以为两端点的直线段, 是以为起点 为终点的有向直线段, 则.5. 是由曲线与所围的有界闭区域

7、, 则积分等于 ; ; ; .6. 积分, , , , 则有 ; ; ; .7. 平面上密度为的薄片对轴上位于点单位质点的引力为 , 是引力常数, 则 ; ; ; .8. 是抛物面的上侧, 则由两类曲面积分的联系, 等于 ; ; ; .二. ()1. 试求曲线在参数所对应点的切线与法平面方程. 2. 试求由方程所确定的函数在点的全微分. 3. 占有上半圆的薄片面密度为, 试计算该薄片的 质量. 4. 将函数展开成形式的幂级数. 5. 将函数展开成周期为的余弦级数.三. ()求幂级数的收敛区间与和函数. 四. ()是由曲面以及所围成的立体, 其体密度为. (1)计算关于轴的转动惯量; (2)试写

8、出关于平行于轴的直线转动惯量的计算公式(无需计算) 五. ()任意取定球面上一点并且任意给定一个方向, 都可以求出函数 在给定点沿给定方向的方向导数, 试求出所有这些方向导数中的最大 与最小值. 六. ()已知是某个二元函数的全微分. (1)试求出常数; (2)计算积分, 其中是逆时针方向的曲线. 七. ()是斐波那契数列: , 即, , 试分析级数的收敛性, 其中是实常数. 时,级数显然发散; 时,级数收敛 同济大学2013-2014学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题()1. 以空间三点为顶点的三角形面积.2. 两平面与的夹角余弦.3. 曲面在的法线方程为.4. 是以以及为

9、顶点的三角形闭区域, 则积分5. 函数具有连续的偏导数, 已知, 如果, ,四个数中最大的数是, 最小的数是, 则有 【】 ; ; ; .6. 将化成极坐标的二次积分式时, 下列正确的是 【】 ; ; .7. 是由圆锥面与半球面所围的空间立体, 则将积分 化成柱面坐标计算时, 下面正确的三次积分式是 【】 ; ; ; .8. 已知, 则发散的充分必要条件是 【】 ; ; 是无界数列; .二. 计算下列各题()1. 在经过点的平面与球面相交的所有圆弧中, 求出圆 弧长度的最小值. 2. 求函数的全微分. 3. 计算, 其中是由确定的扇形区域. 4. 为平面内光滑的简单闭曲线, 并取正向, 求曲线

10、积分 的最大值. 5. 判断级数的收敛性, 并给出判断理由. 发散三. ()求由方程所确定函数的偏导数以及 二阶偏导. 四. ()是曲面与柱面的交线, 从轴正向看向轴的负向, 曲线 是顺时针方向的, 计算曲线积分. 五. ()求幂级数的收敛域, 以及该幂级数在收敛域内的和函数. 六. ()计算, 其中是曲面 位于的部分, 曲面法向与轴正向的夹角为钝角. 七. (), 已知, 求常数, 使得积分 取得最小值, 并说明在上的 函数表达式. 同济大学2014-2015学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题()1. 已知三向量:共面, 则常数.2. 设, 则极限.3. 已知可微函数的偏导

11、数, 则函数 在点对变量的偏导数.4. 已知连续函数, 其中是上半圆周, 则.5. 设是由所确定的平面闭域, 是的正向边界, 则积分 .6. 设是平面闭域: . 则将二重积分化为极坐 标下的二次积分时, 等于 【】 ; ; ; .7. 已知常数项级数收敛, 则下列收敛的级数是 【】 ; ; ; .8. 设的收敛半径为, 则的收敛半径为 【】 ; ; ; .二. 计算下列各题()1. 求曲面在点的切平面与法线方程. 2. , 当充分小时, 求的一阶近似值 , 即是的高阶无穷小. 3. 计算曲面位于部分的面积. 4. 设是上的连续函数, 记, , . 求出三角级数的和函数 在上的表达式. 三. (

12、)在平行六面体中, 已知 求(1)点的坐标; (2)该平行六面体的体积. 四. ()已知曲线积分在不包含轴负半轴的区域内与路径无关. (1)求常数;(2)计算上述积分,其中是上半平面从到的光滑曲线段. 五. ()计算曲面积分, 其中有向曲面 的法向与轴的夹角是钝角. 六. ()求幂级数的收敛域与和函数.七. ()(1)如果直线与直线的夹角为, 相距为. 判别直线绕直线 旋转所得曲面的类型并给出判别的理由; (2)若直线的方程为:, 直线的方程为, 试求由直线绕直线旋转所得曲面以及相距 为且垂直于直线的两平面所围立体体积的最小值. (1)单叶双曲面; (2);取 同济大学2015-2016学年第

13、二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空题()1. 设, 则.2. 设曲面在点处的法向量为, 其与轴正方向的夹角为 锐角, 则函数在点处沿方向的方向导数为.3. 交换二次积分的次序 .4. 设空间立体由平面以及曲面所围成, 则三重积分 .5. 设曲线, 则曲线积分.6. 设在平面上, 曲线积分与路径无关, 则常数 .7. 设无穷级数绝对收敛, 则的最大取值范围是.8. 设, 将展开为正弦级数, 若该级数的和函 数为, 则.二.()设是方程确定的隐函数, 且 , 求. 【】三.()在椭圆锥面与面所围成的空间闭区域中放置一个长方体, 它 的各个侧面均平行于坐标面, 求该长方体的最大体积. 【】四.

14、()计算三重积分, 其中是由所围成的闭区域. 【】五.()求曲线积分, 其中为从沿曲线 到的有向弧段. 【】六.()计算曲面积分, 其中为曲面 位于与之间的部分的下侧. 【】七.()求幂级数的收敛半径与和函数. 【】八.()设级数收敛, 求常数. 【】 同济大学2016-2017学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题()1. 已知直线过点, 与轴相交, 且与直线垂直, 则直线的方程为.2. 函数在点处的梯度为.3. 设, 则.4. 设连续, 化二次积分为极坐标形式的二次积分: .5. 设空间立体由平面围成, 则三重积分 .6. 无穷级数.7. 设级数收敛, 则下列必收敛的级数是 ; ; ; .8. 若幂级数在处条件收敛, 则的收敛区间为 ; ; ; .二.()9. 设函数, 求. 10. 求曲面上平行于平面的切平面方程. 三.()计算二次积分. 四.()计算曲线积分, 其中是正向圆周. 五.()求曲面夹在圆柱面及之间的曲面面积, 并求相 应的形心坐标(其中曲面的密度). 六.()计算曲面积分, 其中为曲 面的下侧. 七.()将函数展开成的幂级数, 并指出相应的收敛范围. 八.()设函数是上周期为的连续函数, 且, 函数在 区间上有连续的导数, 记, 证明: 级数收敛. ,