2020届北京市东城区高三下学期综合练习(二)(二模)数学试题.doc

1、北京市东城区2019-2020学年度第二学期高三综合练习（二） 数学 2020.6本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1) 已知全集，集合，那么 (A) (B) (C) (D) (2) 已知三个函数，则(A) 定义域都为 (B) 值域都为 (C)在其定义域上都是增函数 (D) 都是奇函数(3) 平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，且四边形为平行四边形，那么点的坐标为(A) (B) (C

2、) (D) (4) 双曲线的渐近线与直线交于两点，且，那么双曲线的离心率为(A) (B) (C) (D) (5) 已知函数的图象如图所示，那么函数的图象可能为(A) （B） （C） （D）(6) 已知向量，那么下列结论正确的是 (A) 与为共线向量 (B) 与垂直 (C) 与的夹角为钝角 (D) 与的夹角为锐角 (7) 九章算术成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为(A) 平方米 (B) 平方米 (C) 平方米 (D) 平方

3、米(8) 已知函数，那么“”是“在上为增函数”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件(9) 已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是 （A） （B） （C） （D） (10) 函数是定义域为的奇函数，且它的最小正周期是，已知. 给出下列四个判断： 对于给定的正整数，存在，使得成立; 当时，对于给定的正整数，存在，使得成立; 当 ()时，函数既有对称轴又有对称中心; 当 ()时， 的值只有0或.其中正确判断的有

4、 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分。(11) 复数的共轭复数为_.(12) 已知，则的值为 .(13) 设是三个不同的平面，是两条不同的直线，给出下列三个结论：若，则；若，则；若，则.其中，正确结论的序号为 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。(14) 从下列四个条件；中选出三个条件，能使满足所选条件的存在且唯一，你选择的三个条件是_（填写相应的序号）,所选三个条件下的的值为 _.(15) 配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是件.

5、由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续天的需求，称为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大). 配件的存储费为每件每天元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）. 在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期为_. 三、解答题共6题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）如图，四边形中，为中点.将沿折起到的位置，如图.（）求证：平面平面；（）若，求与平面所成角的正弦值. 图 图（17）（本小题14分）已

6、知为等比数列，其前项和为，且满足，. 为等差数列，其前项和为，如图_，的图象经过,两个点（）求；（）若存在正整数，使得，求的最小值.从图，图，图中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。图 图 图（18）（本小题14分）某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，下表记录了四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为.项目计划招募人数报名人数A50100B60C80D160200甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记为甲同学最终被招募的项目个数，已知,. （）求甲同学至多获得三个项目招募

7、的概率；（）求，的值；（）假设有十名报了项目A的志愿者(不包含甲)调整到项目D，试判断如何变化(结论不要求证明). (19) （本小题14分）已知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为 （）求椭圆的方程；（）若直线与椭圆交于不同的两点，线段的中点为，点，求证：点不在以为直径的圆上（20）（本小题15分）已知.（）当时，求证：在上单调递减；（）若对任意，恒成立，求实数的取值范围；（）若有最小值，请直接给出实数的取值范围.（21）（本小题14分）设数列：，. 已知（），定义数表，其中 （）若，写出;（）若是不同的数列，求证：数表满足“（）”的充分必要条件为“”;（）若数列与中的1共有个, 求证：数表中1的

8、个数不大于.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市东城区2019-2020学年度第二学期高三综合练习（二） 数学参考答案及评分标准 2020.6一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B （2）C （3）A （4）D （5）B （6）B （7）B （8） A （9）C （10）C 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11） （12）（13） （14），或者，（15） 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）（）证明：因为四边形中，为中点，所以 .故 图中，. 又 因为，平面， 所以 平面. 又 因为平面

9、，所以 平面平面. 6分（）解： 由 得，又 ，, 因此，建立如图所示的空间直角坐标系由， 得， ， ， 设平面的法向量为，则 即令得， 所以 是平面的一个法向量. 又 , 设直线与平面所成角为，所以 14分（17）（本小题14分）解：（）由，得，即， 因为，所以，. 所以. 6分 （）由图知：，可判断，数列是递减数列；而递增，由于， 所以选择不满足“存在，使得” 由图知：，可判断，数列是递增数列；由图知：，可判断，数列是递增数列.所以选择均可能满足“存在，使得” 第一种情况：如果选择条件即，可得：，. 当时，不成立，当时， 所以 使得成立的 的最小值为8. 14分第二种情况：如果选择条件即，

10、可得：，. 当时，不成立，当时，成立，所以 使得 成立的的最小值为5. 14分（18）（本小题14分）解：因为， 所以，且. 设事件A表示“甲同学被项目A招募”，由题意可知，；设事件B表示“甲同学被项目B招募”，由题意可知，；设事件C表示“甲同学被项目C招募”，由题意可知，；设事件D表示“甲同学被项目D招募”，由题意可知，；（）由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“”是对立的，所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是 . 4分（）由题意可知，；解得，. 12分（）变大. 14分(19) （本小题14分）（）解：由题意可知 解得 所以 椭圆的方程为 4分（）证明：设， 由得 ， 所以 .所

11、以 当为任何实数时，都有所以 ，因为 线段的中点为,所以 ，,因为 ,所以 ，所以 .又因为 ，所以 ，所以 点不在以为直径的圆上 14分（20）（本小题15分）（）解：,对于， 当 时， ，所以 . 所以在上单调递减. 4分（）解：当时，对于，命题成立，当 时，设 ，则.因为 ，所以 ， 在 上单调递增.又，所以.所以在上单调递增，且. 当时，所以 在 上单调递增.因为 ，所以恒成立. 当 时，因为 在上单调递增，又当 时， 所以 存在 ，对于，恒成立. 所以 在上单调递减，所以 当时，不合题意.综上，当时，对于， 恒成立. 13分（）解：. 15分（21）（本小题14分）（）解：. 3分（

12、）证明：若，由于 令 ，由此数列 . 由于 . 从而有 ().若 (). 由于是不同的数列，(1)设，对任意的正整数，若，可得 ，所以 .若，可得 ，所以 .同理可证 ，时，有成立.(2)设，对任意的正整数， 若，可得，所以有，则是相同的数列，不符合要求. 若，可得，所以有,则是相同的数列，不符合要求.同理可证 ，时，是相同的数列，不符合要求.综上，有数表满足“”的充分必要条件为“”. 11分（）证明：由于数列中的1共有个，设中1的个数为p，由此有，中0的个数为，中1的个数为，中0的个数为p. 若 ，则数表的第i行为数列，若 ，则数表的第i行为数列，所以 数表中1的个数为 .所以 数表中1的个数不大于. 14分