2020届全国各地高考试题分类汇编13-立体几何.docx

1、2020届全国各地高考试题分类汇编13 立体几何1.（2020北京卷）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：.故选：D.2.（2020北京卷）如图，在正方体中，E为的中点（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值【解析】（）如下图所示：在正方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；（）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、，设平面的法向量为，由，得，

2、令，则，则.因此，直线与平面所成角的正弦值为.3.（2020全国1卷）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图，设，则，由题意，即，化简得，解得（负值舍去）.故选：C.4.（2020全国1卷）已知为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，为等边三角形，由正弦定理可得，根据球的截面性质平面，球的表面积.故

3、选：A5.（2020全国1卷）如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，AC=1，ABAC，ABAD，CAE=30，则cosFCB=_.【答案】【解析】，由勾股定理得，同理得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得.故答案为：.6.（2020全国1卷）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，是底面的内接正三角形，为上一点，（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值【解析】（1）由题设，知为等边三角形，设，则，所以，又为等边三角形，则，所以，则，所以，同理，又，所以平面；（2）过O作BC交AB于点N，因为平面，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的一

4、个法向量为，由，得，令，得，所以，设平面的一个法向量为由，得，令，得，所以故，设二面角的大小为，则.7.（2020全国2卷）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，上的点在正视图中都对应点M,直线上的点在俯视图中对应的点为N,在正视图中对应,在俯视图中对应的点是,线段,上的所有点在侧试图中都对应,点在侧视图中对应的点为.故选：A8.（2020全国2卷）已知ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16，则

5、O到平面ABC的距离为（ ）A. B. C. 1D. 【答案】C【解析】设球的半径为，则，解得：.设外接圆半径为，边长为， 是面积为的等边三角形，解得：，球心到平面的距离.故选：C.9.（2020全国2卷）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1MN，且平面A1AMNEB1C1F；（2）设O为A1B1C1的中心，若AO平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.【解析】（1）分别为，的中点，,又,在中，为中点，则,

6、又侧面为矩形，,由，平面,平面,又，且平面，平面，平面,又平面，且平面平面, ,又平面,平面,平面,平面平面,（2）连接,平面，平面平面,根据三棱柱上下底面平行，其面平面，面平面,故：四边形是平行四边形,设边长是(),可得：，,为的中心，且边长为,故：,解得：,在截取，故,且,四边形是平行四边形，,由（1）平面,故为与平面所成角,在，根据勾股定理可得：,直线与平面所成角的正弦值：.10.（2020全国3卷）下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A. 6+4B. 4+4C. 6+2D. 4+2【答案】C【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：根据勾

7、股定理可得：是边长为的等边三角形根据三角形面积公式可得：该几何体的表面积是：.故选：C.11.（2020全国3卷）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_【答案】【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为，由于，故，设内切圆半径为，则：，解得：，其体积：.故答案为：.12.（2020全国3卷）如图，在长方体中，点分别在棱上，且，（1）证明：点在平面内；（2）若，求二面角的正弦值【解析】（1）在棱上取点，使得，连接、，在长方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则且，同理可证四边形为平行四

8、边形，且，且，则四边形为平行四边形，因此，点在平面内；（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，设平面的法向量为，由，得取，得，则，设平面的法向量为，由，得，取，得，则，设二面角的平面角为，则，.因此，二面角的正弦值为.13.（2020江苏卷）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是_cm.【答案】【解析】正六棱柱体积为,圆柱体积为所求几何体体积为,故答案为： 14.（2020江苏卷）在三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC，B1C平面ABC，

9、E，F分别是AC，B1C的中点（1）求证：EF平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C平面ABB1【解析】（1）由于分别是的中点，所以.由于平面,平面，所以平面.（2）由于平面，平面，所以.由于，所以平面,由于平面，所以平面平面.15.（2020新全国1山东）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）A. 20B. 40C.

10、 50D. 90【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得.由于，所以，由于，所以，也即晷针与点处的水平面所成角为.故选：B16.（2020新全国1山东）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BCDG，垂足为C，tanODC=，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线D

11、E和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为_cm2【答案】【解析】设，由题意，所以，因为,所以，因为，所以，因为与圆弧相切于点，所以，即为等腰直角三角形；在直角中，因为，所以，解得；等腰直角的面积为；扇形的面积，所以阴影部分的面积为.故答案为：.17.（2020新全国1山东）已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2，BAD=60以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为_【答案】.【解析】如图：取的中点为，的中点为，的中点为，因为60，直四棱柱的棱长均为2，所以为等边三角形，所以，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交

12、线上的点，则，因为球的半径为，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得.故答案为：.18.（2020新全国1山东）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD设平面PAD与平面PBC的交线为l（1）证明：l平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值【解析】（1）证明： 在正方形中，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以，因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且平面，所以因为所以平面；（2）如图建立空间直角坐标系，因为，则有，设，则有，设平面的法向量为

13、，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为，则根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.19.（2020天津卷）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即，所以，这个球的表面积为.故选：C.20.（2020天津卷）如图，在三棱柱中，平面，点分别在棱和棱上，且为棱的中点（）求证：；（）求二面角的正弦值；（）求直线与平面所成角的正弦值【解析】依题意，以

14、为原点，分别以、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得、.（）依题意，从而，所以；（）依题意，是平面的一个法向量，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，所以，二面角的正弦值为；（）依题意，由（）知为平面的一个法向量，于是所以，直线与平面所成角的正弦值为.21.（2020浙江卷）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）A. B. C. 3D. 6【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为：.故选

15、：A22.（2020浙江卷）已知圆锥展开图的侧面积为2，且为半圆，则底面半径为_【答案】【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，则，解得.故答案为：23.（2020浙江卷）如图，三棱台DEFABC中，面ADFC面ABC，ACB=ACD=45，DC =2BC（I）证明：EFDB；（II）求DF与面DBC所成角的正弦值【解析】（）作交于，连接平面平面，而平面平面，平面，平面，而平面，即有，在中，即有，由棱台的定义可知，所以，而，平面，而平面，（）因为，所以与平面所成角即为与平面所成角作于，连接，由（1）可知，平面，因为所以平面平面，而平面平面，平面，平面即在平面内的射影为，即为所求角在中，设，则，故与

16、平面所成角的正弦值为24.（2020上海卷）在棱长为10的正方体.中，为左侧面上一点，已知点到的距离为3，点到的距离为2，则过点且与平行的直线交正方体于、两点，则点所在的平面是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】延长至点，使得,延长至点，使得,以为顶点作矩形，记矩形的另外一个顶点为，连接，则易得四边形为平行四边形，因为点在平面内，点在平面内，且点在平面的上方，点在平面下方，所以线段必定会在和平面相交，即点在平面内25.（2020上海卷）已知边长为1的正方形ABCD，沿BC旋转一周得到圆柱体。（1）求圆柱体的表面积；（2）正方形ABCD绕BC逆时针旋转到，求与平面ABCD所成的角。【答案】（1）4；（2）