《概率论与数理统计》期末考试试题及解答.docx

1、一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1 设事件 A,B 仅发生一个的概率为 0.3，且 P( A) P(B) 0.5，则 A, B 至少有一个不发生的概率为 _.答案： 0.3解：P(AB AB) 0.3即0.3 P( AB) P( AB) P( A) P( AB) P(B) P( AB) 0.5 2P( AB)所以P( AB) 0.1P( A B) P( AB) 1 P( AB) 0.9.2 设随机变量 X 服从泊松分布，且 P( X 1) 4P( X 2) ，则 P(X 3) _.答案：16e1解答：2P(X 1) P(X 0) P( X 1) e e , P( X 2) e2 2由

2、 P( X 1) 4P( X 2) 知 e e 2 e2即 2 1 0解得 1，故1P(X 3) e613 设随机变量 X 在区间 ( 0,2) 上服从均匀分布， 则随机变量2Y X 在区间 ( 0,4) 内的概率密度为 f ( y)Y _.答案：1f (y) F ( y) f ( y)Y Y X2 y41, 0 y 4,y0 , .其它解答：设 Y 的分布函数为 FY ( y), X 的分布函数为 FX (x) ，密度为 fX (x) 则2F ( y) P(Y y) P( X y) P( y X )y F( )y F( )yY X X因为 X U (0, 2) ，所以 F ( y) 0，即

3、F (y) F ( y)X Y X故11f (y) F ( y) f ( y)Y Y X2 y41, 0 y 4,y0 , 其它.另解 在 (0, 2) 上函数2y x 严格单调，反函数为 h(y) y所以f ( y) f ( y)Y X21y41, 0 y 4,y0 , 其它.4 设随机变量 X,Y 相互独立，且均服从参数为 的指数分布，2P( X 1) e ，则_，Pmin( X ,Y) 1 =_.答案： 2，-4Pmin( X ,Y) 1 1 e解答：2P( X 1) 1 P( X 1) e e ，故 2Pmin( X ,Y) 1 1 Pmin( X ,Y) 11 P(X 1)P (Y

4、1)41 e .5 设总体 X 的概率密度为( 1)x , 0 x 1,f (x) 1. 0,其它X1 , X2 , , X 是来自 X 的样本，则未知参数 的极大似然估计量为 _.n答案：1 1n1ni 1lnxi解答：似然函数为n nL(x , , x ; ) ( 1)x ( 1) ( x , , x )1 n i 1 ni 1nln L n ln( 1) ln xi i 1nd ln L nd 1i 1ln x 0i解似然方程得 的极大似然估计为211.n1ni 1lnxi二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1设 A, B,C 为三个事件，且 A, B 相互独立，则以下结论中不

5、正确的是（A）若 P(C) 1，则 AC 与 BC 也独立 .（B）若 P(C) 1，则 A C 与 B也独立 .（C）若 P(C) 0 ，则 A C 与 B也独立 .（D）若 C B ，则 A与C 也独立 . （ ）答案：（D）.解答：因为概率为 1 的事件和概率为 0 的事件与任何事件独立，所以（ A ），（B），（C）都是正确的，只能选（ D）.事实上由图 可见 A 与 C 不独立 .SA B C2设随机变量 X N (0,1), X 的分布函数为 ( x) ，则 P(| X | 2) 的值为（A） 21 (2) . （B） 2 (2) 1 .（C） 2 (2) . （D）1 2 (2)

6、 . （ ）答案：（A）解答： X N (0,1) 所以 P(| X | 2) 1 P(| X | 2) 1 P( 2 X 2)1 ( 2 ) ( 2 ) 1 2 ( 2 ) 1 2 1 应选（ A） .3设随机变量 X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（A） X 与Y独立 . （B） D(X Y) DX DY .（C） D(X Y) DX DY . （D） D(XY ) DXDY . （ ）3答案：（B）解答：由不相关的等价条件知， 0 cov x y 0 xy （ ， ）D(X Y) DX DY +2cov（x，y）应选（ B）.4设离散型随机变量 X 和Y的联合概率分布为(X ,Y)

7、(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2, 2) (2,3)P1 1 1 16 9 18 3若 X ,Y 独立，则 , 的值为（A）2 1,9 9. （A）1 2,9 9.（C）1 1,6 6（D）5 1,18 18. （ ）4答案：（A）解答： 若 X ,Y 独立则有 P(X 2, Y 2) P(X 2)P(Y 2)1 2 3121 1 1 16 9 18 31 13 31 1 12 9 181 1 2 1( )( ) ( )3 9 3 92 1，9 9故应选（ A）.5设总体 X 的数学期望为 , X1 , X2 , , Xn 为来自 X 的样本，则下列结论中正确的是（A） X

8、1 是 的无偏估计量 . （B） X1 是 的极大似然估计量 .（C） X1 是 的相合（一致）估计量 . （D） X1 不是 的估计量 . （ ）答案：（A）解答：EX ，所以 X1 是 的无偏估计，应选（ A）.1三、（ 7 分）已知一批产品中 90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率 .解：设 A 任取一产品，经检验认为是合格品B 任取一产品确是合格品则（1） P( A) P( B)P(A | B) P( B)P( A|

9、 B)0.9 0.95 0.1 0.02 0.857.（2） P( AB) 0.9 0.95P(B | A) 0.9977 P( A) 0.857.四、（ 12 分）从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 2/5. 设 X 为途中遇到红灯的次数，求 X 的分布列、分布函数、数学期望和方差 .5解： X 的概率分布为2 3k k 3 kP(X k) C ( ) ( ) k 0,1,2,3.35 5X 0 1 2 3即P27 54 36 8125 125 125 125X 的分布函数为0 , x 0,27125, 0 x 1,81F (

10、x) , 1 x 2, 125117125, 2 x 3,1 , x 3.EX2 63 ,5 5 2 3 1 8DX 3 . 5 5 2 5五、（ 10 分）设二维随机变量 (X ,Y) 在区域 D ( x, y) | x 0, y 0, x y 1 上服从均匀分布 . 求（1）(X ,Y) 关于 X 的边缘概率密度； （2）Z X Y的分布函数与概率密度.解： （1）( X ,Y) 的概率密度为y1x+y=1f (x, y)2, (x, y) D0, .其它DD1 x0 z 1x+y=zf (x) f (x, y)dyX2 2x, 0 x 10 ,其它（2）利用公式 fZ (z) f (x,

11、 z x)dx其中f (x, z x)2, 0 x 1,0 z x 1 x0,其它2, 0 x 1, x z 1.0,其它.当 z 0或 z 1时 fZ (z) 0zz=x0 z 1时z zf (z) 2 dx 2x 2zZ 0 06x故 Z 的概率密度为f (z)Z2z, 0 z 1,0 ,其它.Z 的分布函数为0, z 0 0 , z 0,z z 2f (z) f ( y)dy 2 ydy, 0 z 1 z , 0 z 1,Z Z01 , z 1.1, z 1或利用分布函数法0 , z 0 ,F ( z) P( Z z) P( X Y )z 2 d x d, y 0 z1,ZD11 , z

12、 1.0 , z 0,2z , 0 z 1,1 , z 1.f (z) F (z)Z Z2z, 0 z 1,0 ,其它.六、（ 10 分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标 X 和纵坐标 Y 相互独立， 且均服从2N (0, 2 ) 分布. 求（1）命中环形区域2 2D ( x, y) |1 x y 2 的概率；（2）命中点到目标中心距离2 2Z X Y 的数学期望 .解： （1） P X,Y) D f (x, y) dxdyyD0 1 2xD2 2 2x y r1 12 2e dxdy e rdrd8 82 4 80 1212 2 2r r 2 r 1 1e 8 d e 8

13、 e 8 e 2 ；( )81（2）2 2x y2 2 2 2 1 8EZ E( X Y ) x y e dxdy82 2r r1 122 8 8re rdrd e r dr 8 40 0 072 2 2r r r2 1re e dr e dr 2 .8 8 80 2 20七、（11 分）设某机器生产的零件长度（单位： cm）2X N( , ) ，今抽取容量为 16 的样本，测得样本均值 x 10 ，样本方差2 0.16s . （1）求 的置信度为 0.95 的置信区间；（2）检验假设2H 0 : 0.1（显著性水平为 0.05）.（附注） t0.05 (16) 1.746, t0.05 (1

14、5) 1.753, t0.025 (15) 2.132,2 2 20.05(16) 26.296, 0.05(15) 24.996, 0.025 (15) 27.488.解：（1） 的置信度为 1 下的置信区间为s s(X t (n 1) , X t (n 1) )/2 /2n nX 10, s 0.4, n 16, 0.05, t (15) 2.1320.025所以 的置信度为 0.95 的置信区间为（ 9.7868，10.2132）（2）2H0 : 0.1的拒绝域为2 2(n 1) .因为22 15S215 1.6 24 0.05(15) 24.996，0.12 224 24.996 (1

15、5)，所以接受 H0 .0.05概率论与数理统计期末考试试题（ A）专业、班级： 姓名： 学号：一、 单项选择题 (每题 3 分 共18 分)1D 2A 3B 4A 5A 6B题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总成绩得 分8一、单项选择题 (每题 3 分 共 18 分)（1）A B P( AB) 0, ( ). 若事件 、 适合 则以下说法正确的是(A) A B ( );与 互斥 互不相容(B) P( A) 0 P( B) 0;或(C) A B ;与 同时出现是不可能事件(D) P( A) 0 , P (B A) 0.则（2）设随机变量 X其概率分布为 X -1 0

16、1 2P 0.2 0.3 0.1 0.4则P X 1 .5 （ ）。(A)0.6 (B) 1 (C) 0 (D)12（3）设事件A 与 A2 同时发生必导致事件 A发生，则下列结论正确的是（ ）1（A） ( ) ( )P A P A1 A （B） P(A) P(A1 ) P( A2 ) 12（C） ( ) ( )P A P A1 A （D） P( A) P( A1 ) P( A2 ) 12（4）设随机变量 且 与 相互独X N ( 3, 1), Y N (2, 1), X Y立 , Z X 2 Y 7 , Z ( ).令 则(A) N (0, 5); (B) N ( 0, 3); (C) N

17、(0 , 46 ); (D) N (0, 54).9（5）设1 为正态总体 N ( , 2) 的一个简单随机样本，其中 2, 2 nX X , , X未知，则（ ）是一个统计量。(A)n2 2X (B)in(X )i2i 1 i 1X(C) X (D)（6）设样本 X1, X2 , , Xn 来自总体X N( , 未知。统计假设 2 ), 22 ), 2为 H 0： （ 已知） H ： 。 则所用统计量为（ ）0 0 1 0(A) UX0 (B)nTXS0n(C)22 (n 1)S2(D)n12 ( )Xi2i 12二、填空题 (每空 3 分 共 15 分)（1）如果 P( A) 0, P(

18、B) 0, P(A B) P( A) ，则 P(B A) .（2）设随机变量 X 的分布函数为F ( x)0,1x(1 x)e ,xx0,0.则 X 的密度函数 f (x) ，P(X 2) .（3）设?,1?2,?3是总体分布中参数的无偏估计量,?a?12?23?3,当a_ ,时?也是的无偏估计量.（4） 设总体 X 和Y 相互独立,且都服从 N (0,1) ，X1 , X , X 是来自总体 X 的2 9样本，Y1,Y2 , Y9 是来自总体 Y 的样本，则统计量 UX12Y1X92Y9服从 分布（要求给出自由度） 。10二、填空题(每空 3 分 共 15 分)xxe x 01. P(B)

19、2.f (x),0 x 023e 3. 1 4. t(9)三、 (6 分) 设 A, B 相互独立， P( A) 0.7 ， P(A B) 0.88 ，求 P( A B) .解： 0.88=P( A B) P( A) P(B) P( AB)= P( A) P( B) P( A)P(B) (因为A, B 相互独立 ) .2 分=0.7 P( B) 0.7 P(B ) 3 分则 P(B) 0.6 .4 分P( A B) P( A) P( AB) P( A) P( A)P( B)0.7 0.7 0.6 0.28 6 分四、（6 分）某宾馆大楼有4 部电梯，通过调查，知道在某时刻 T，各电梯在运行的概

20、率均为0.7 ，求在此时刻至少有1 台电梯在运行的概率。解：用 X 表示时刻 T 运行的电梯数，则X b( 4, 0. 7) .2 分所求概率 P X 1 1 P X 0 4 分0 0 41 C4 ( 0.7) (1 0.7) =0.9919 .6 分五、（6 分）设随机变量X 的概率密度为f (x)xe , x 00,其它，求随机变量Y=2X+1 的概率密度。解：因为y 2x 1是单调可导的，故可用公式法计算 .1 分当 X 0时， Y 1 .2 分由 y 2x 1， 得y 1 1x , x 4分2 2y 1 1f ( ) y 1 2 2从而 Y 的密度函数为fY ( y) .5 分0 y

21、11112ey21y 1= .6 分0 y 112五、（6 分）设随机变量X 的概率密度为f (xe , x 0x) ，0,其它求随机变量Y=2X+1 的概率密度。解：因为y 2x 1是单调可导的，故可用公式法计算 .1 分当 X 0时， Y 1 .2 分由 y 2x 1， 得y 1 1x , x 4分2 2y 1 1f ( ) y 1 2 2从而 Y 的密度函数为fY y) .5 分(0 y 112ey21y 1= .6 分0 y 1六、（8 分） 已知随机变量X 和 Y 的概率分布为X 1 0 1 Y 0 1P141214P1212而且 P XY 0 1.(1) 求随机变量X 和 Y 的联

22、合分布 ;(2)判断 X 与 Y 是否相互独立 ?解：因为P XY 0 1，所以 P XY 0 0(1)根据边缘概率与联合概率之间的关系得出Y -1 0 1X0 1 0 1 1 1 4421 0 2 0 121 1 14 2 413 .4 分(2) 因为P X 0,Y 0 0 P X 0 P Y 0 所以 X 与 Y 不相互独立121214 8 分七、（8 分）设二维随机变量( X ,Y) 的联合密度函数为( 3x 4y)12e , x 0,y 0,f (x, y)0, .其他求：（1） P(0 X 1,0 Y 2) ；（2） 求 X 的边缘密度。1 2解：（1）(3x .2 分4y )P(0

23、 X 1,0 Y 2) dx 12e dy0 01023x 4 =4 y3e dx e dy0e13x e 4y020=3 81 e 1 e .4 分(3x 4 y)（2） f ( x e dy .6 分) 12 X3x3e x 0 .8 分 0 x 01八、（6 分）一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从参数为4的指数分布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备盈利 100 元，调换一台设备厂方需花费300 元，求工厂出售一台设备净盈利的期望。1解： 因为)X e( 得411xe4x 0f (x) .2 分40 x 0用 Y 表示出售一台设备的净盈利100

24、 X 1Y 3 分100 300 0 X 114x 11则 44P(Y 100) e dx e1 4P Yx114200 e dx 1 e0414 .4 分1 1所以 100 ( 200) (1 4 )4EY e e1300e 4 200 33.64（元） .6 分九、（8 分） 设随机变量 X 与 Y 的数学期望分别为 2 和 2，方差分别为1 和 4，而相关系数为0.5，求 E(2 X Y), D(2X Y) 。解：已知 2, 2, 1, 4, 0.5EX EY DX DYXY则E(2 X Y) 2EX EY 2 ( 2) 2 6 .4 分D( 2X Y) D(2X ) DY 2 cov(

25、 2X,Y) .5 分2DX DY 4 cov( X ,Y) .6 分2DX DY 4 DX DY =12 .8 分XY十、（7 分）设供电站供应某地区1 000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每日用电量（单位：度）服从0，20上的均匀分布，利用中心极限定理求这1 000 户居民每日用电量超过10 100 度的概率。（所求概率用标准正态分布函数 ( x) 的值表示） .解：用X 表示第 i 户居民的用电量，则X i U 0,20i0 20EX 10i22(20 0) 100DX 2 分i12 31000则1000 户居民的用电量为X X ，由独立同分布中心极限定理ii 1P X 10

26、100 1 P X 10100 3 分15=1X 1000 10 10100 1000 10P 4 分 100 1001000 10003 310100 1000 101 ( ) .6 分100100033=1 ( ) 7 分10十一、（7 分）设x1 , x2 , , 是取自总体X 的一组样本值， X 的密度函数为xnf (x)(0,1)x ,0x其他,1, 其中 0未知，求 的最大似然估计。解: 最大似然函数为n nL( x1, , xn , ) f (x ) ( 1)x .2 分i i i 1 i 1n x x .3 分 =( 1) ( , , )1 n则ln L( x1, , xn ,

27、 ) n ln( 1) ln( x1, ,xn )0 x1, , xn 1 .4 分d ln L n令 ln( , , ) 0x1 xnd 1于是 的最大似然估计： .5 分?1ln ln(nx1 , , xn)。 .7 分十二、（5 分）某商店每天每百元投资的利润率X N( ,1) 服从正态分布， 均值为2 稳定为1，现随机抽取的 100 天的利润，样本均值 ，长期以来方差为x 5 ，试求 的置 信 水平为95%的置 信区间。（ t0.05(100) 1.99,(1.96) 0.975 ）16X解： 因为已知，且 N ( 0,1)n 1 分X故 P U 1 2 分2n依题意0. 05, U

28、1.96, n 100, 1, x 52则的置信水平为95%的置信区间为x U , x U 4 分2 n n 22 n n即为4.801,5.199 5分17概率论与数理统计课程期末考试试题（ B）专业、班级： 姓名： 学号：题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总成绩得 分一、单项选择题(每题3 分 共 15 分)（1）若事件 A、B P( AB) 0, ( ).适合 则以下说法正确的是(A) A B ( );与 互斥 互不相容(B) P( A) 0 P( B) 0;或(C) A B ;与 同时出现是不可能事件(D) P( A) 0 , P (B A) 0.则（2）kP

29、k b , (k 1, 2, 离散型随机变量X 的分布律为X ) 的充分必要条件是 ( ).(A) b 0 且 0 1; (B) b 1 且 0 1;1(C) b 1 1且 0 1 b.（3）x, 0 x 1连续随机变量X 的概率密度为f (x) 2 x, 1 x 20,其它则随机变量X 落在区间(0.4, 1.2) 内的概率为( ).(A) 0.64 ; (B) 0.6; (C) 0.5; (D) 0.42.（4）设随机变量X N ( 3, 1), Y N (2, 1), X Y且 与 相互独立 , X 2 Y ( ).令 Z 7 , 则 Z(A) N (0, 5); (B) N ( 0,

30、3); (C) N (0 , 46 ); (D) N (0, 54).18（5）设 ( 1 , 2 ) 是参数 的置信度为 1 的区间估计 , 则以下结论正确的是 ( ).(A) 参数 落在区间 ( 1, 2) 之内的概率为 1 ;(B) 参数 落在区间 ( 1, 2) 之外的概率为 ;(C) 区间 ( 1, 2) 包含参数 的概率为 1 ;(D) 对不同的样本观测值 , 区间 ( 1, 2 ) 的长度相同 .二、填空题 (每空 2 分 共 12 分)（1）设总体X Y , N (0, 1).(与 相互独立 且都服从正态分布X , , X19)是从总体X ,中抽取的一个样本(Y ,1,Y )9

31、是从总体Y中抽取的, 一个样本 则统计量UX12Y1X92Y9服从 分布 参数为_ , _.（2）设?,1?2,?3是总体分布中参数的无偏估计量,?a?12?23?3,当a_ ,时?也是的无偏估计量.（3）设总体 X N( , 1) , 是未知参数 , X1 , X 2 是样本 , 则2 X 1 X 及1 31 231 X X12 1 222都是 的无偏估计 , 但 _ 有效 .（4）设样本 ( X1 , X2 , , Xn ) 抽自总体 X N ( , 2). , 2均未知. 要对 作假设检验 , 统计假设为 H 0 : 0 ,( 0 已知 ), H1: 0 , 则要用检验统计量为 _ ,给

32、定显著水平 , 则检验的拒绝区间为 _ .19三、(7 分) 已知 P( A) 0.5, P( B) 0.6，条件概率 P(B A) 0.8, 试求P( AB).四、(9 分) .设随机变量 X 的分布函数为 F (x) A B arctan x, x ，求:（1）常数 A, B ；（2）P( X 1) ；（3）随机变量 X 的密度函数。20五、(6 分) 某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第 1 车间的次品率为 0.15 ，第 2 车间的次品率为 0.12. 两个车间生产的成品都混合堆放在一个仓库中， 假设 1、2 车间生产的成品比例为 2：3，今有一客户从成品仓库中随机提台产品，求该产品

33、合格的概率 .六、(8 分) 已知甲、 乙两箱装有同种产品， 其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品，从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求乙箱中次品件数的分布律及分布函数 F (x) .21七、(7 分) 设随机变量 X 的密度函数为xe , x 0f (x) 0,其它求随机变量的函数xY e 的密度函数 fY ( y) 。八、(6 分) 现有一批钢材，其中 80%的长度不小于 3 m，现从钢材中随机取出100 根，试用中心极限定理求小于 3 m 的钢材不超过 30 的概率。(计算结果用标准正态分布函数值表示 )22九、(10 分) 设二维随机变量 (X,Y)

34、 的联合密度函数为( 3x 4y)12e , x 0,y 0,f (x, y)0, 其他.求：（1） P(0 X 1,0 Y 2) ；（2）求X ,Y 的边缘密度 ;（3）判断 X 与Y 是否相互独立23十、(8 分) 设随机变量（ X ,Y ）的联合密度函数为f (x, y)120,2 y xy , 0其他1,求E( X ), E(Y ), E( XY) , 进一步判别 X 与Y 是否不相关。24十一、 (7 分) .设X1 , X , , X 是来自总体 X 的一个简单随机样本，总体 X 的密度函数2 n为f (x, )2x2, 0 x ,0, 其他,求 的矩估计量。_十二、（5 分）总体

35、 X N( ,1)测得样本容量为 100 的样本均值 X 5 ，求 X 的数 学 期 望 的 置 信 度 等 于 0.95 的 置 信 区 间 。（ t0.05 (100 ) 1. 99,(1 .96) 0.975)25一、单项选择题：（15 分）1、D2、D3、B4、A5、C二、填空题：（12分）1、t, 9 ;2、-13、2 更4、XS/ nS SX ;，( t / 2 (n 1) , X t / 2 (n 1) )n n三、（7 分）解：P( AB) P( A)P(B | A).4分0.5 0.8 0.4.7 分四、（9 分）解：（1）由1 F ( ) A B .1 分20 F ( )

36、A B .2 分2得F (x) arctan x .4 分1 1A , B .3 分21 12（2）1P( X ) F (1) F ( 1) .6 分21（3） ( )f (x) F (x) .9 分2 x(1 x )五、（6 分）26解：B 从仓库随机提出的一台 是合格品Ai提出的一台是第i ( i 1,2)车间生产2P( A1) , P(A 52)35.2分P(B | A ) 1 0.15 0.85, P( B| A ) 1 0.12 0.88.3分 1 2则 P(B) P(A )P(B | A ) P(A )P(B | A ).5分1 1 2 22 3 0.85 0.880.868.6分5 5六、（8 分）解：设用 X 表示乙箱中次品件数，则 X 的分布律为P(X 0)P(X 2)0 3C C3 33C62 1C C3 33C6120920P(X1)P(X 3)1 2C C3 3 3C6 3 0C C 3 3 3C 6920120.4 分X 的分布函数 F(x) 为01x 0F20 10 x 1(x) 1 x 2 .8 分2 2 x 31920 13 x七、（7 分）