（答案）2020年福州市高中毕业班第三次质量检测(文数）.docx

1、文科数学试题（第 1 页共 10 页） 20202020 年年福州市高中毕业班第三次质量检测福州市高中毕业班第三次质量检测 数学（文科）参考答案及评分细则 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试 题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分 数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。选择题和填空题不给中

2、间分。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分分，满分 60 分分 1D 2A 3B 4C 5B 6D 7A 8C 9C 10A 11C 12D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13 3 4 14 5 2 15 2 5 16 5 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 【命题意图】本小题以解三角形为载体，考查正弦定理

3、、三角形面积公式等基础 知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素 养，体现基础性、综合性 【解析】解法一： （1）因为1a 且3cossinCcA， 所以3 cossinaCcA， 1 分 根据正弦定理，得3sincossinsinACCA， 3 分 因为0,A，所以sin0A，所以tan3C ， 4 分 因为0,C，所以 3 C 5 分 （2）由（1）知， 3 ACB ， 因为1a ，3b ， 所以ABC的面积 133 3 sinsin 2234 ABC SabACB ， 7 分 文科数学试题（第 2 页共 10 页） 因为D是AB上的点，CD平分ACB，

4、所以 1 sin 1 26 1 3 sin 26 BCD ACD a CD Sa Sb b CD ， 9 分 因为 ABCACDBCD SSS ， 10 分 所以 333 39 3 44416 ACDABC SS 12 分 解法二： （1）根据正弦定理，得 sinsin ac AC ，及1a 得， 所以sinsincAC， 2 分 又因为3cossinCcA，所以3cossinCC， 3 分 所以tan3C ， 4 分 因为0,C，所以 3 C 5 分 （2）由（1）知， 3 ACB ， 因为1a ，3b ， 所以ABC的面积 133 3 sinsin 2234 ABC SabACB ， 7

5、分 因为D是AB上的点，CD平分ACB， 所以ACD的面积 13 sin 264 ACD Sb CDCD ， 8 分 所以BCD的面积 11 sin 264 BCD Sa CDCD ， 9 分 因为 ABCACDBCD SSS ， 10 分 所以 31 44 ABC SCDCDCD ， 所以 3 3 4 CD 11 分 所以 333 39 3 44416 ACD SCD 12 分 18 【命题意图】本小题以“治疗失眠症的药”为载体设计试题，主要考查茎叶图、样 本的数字特征、独立性检验等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用 意识，考查统计与概率思想，考查数学抽象、数据分析、数学运算等核

6、心素养，体 现基础性与应用性 【解析】(1)（以下理由任说一种都可得 4 分） 文科数学试题（第 3 页共 10 页） 从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有 4 5 的叶集中在茎2和3上， 而B药疗效的试验结果有 3 4 的叶集中在茎0和1上，由此可看出A药的疗效更好 从茎叶图的分布情况可以看出， 服用A药的患者日平均增加睡眠时间的平均数大于 2，而服用药的患者日平均增加睡眠时间的平均数小于2，因此可知A药的疗效更 好 由茎叶图可知，服用A药的患者日平均增加睡眠时间的中位数是 2.4+2.5 =2.45h 2 ， 而服用B药的患者日平均增加睡眠时间的中位数是 1.4+1.5 =1.45h

7、 2 ，因此A药的疗效 更好 由茎叶图可知， 服用A药的患者日平均增加睡眠时间分布在茎2上的最多， 关于茎2 大致呈对称分布；而服用B药的患者日平均增加睡眠时间分布在茎1上的最多，关于 茎1大致呈对称分布；又患者在服用两种药后日平均增加睡眠时间分布的区间相同， 故可以认为服用A药的患者日平均增加睡眠时间比服用B药的患者日平均增加睡眠 时间更多，因此A药的疗效更好 4 分 （2）由茎叶图可知，40组数据的中位数为=2.0m， 6 分 因此列联表如下： 超过m 不超过m 服用A药 14 6 服用B药 5 15 8 分 （3）由于 2 2 40 (14 156 5)1080 8.1206.635 2

8、020 1921133 K ， 11 分 所以有99%的把握认为,A B两种药的疗效有差异 12 分 19 【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查线面平行、线面垂直的判定与性质、 空间几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力， 考查化归与转化思想， 考查直观想象、 逻辑推理、 数学运算等核心素养， 体现基础性、 综合性 【解析】解法一： （1）如图，作PHAD交DA的延长线于H， 因为平面ABCD 平面PAD， 平面ABCD平面PADAD， 且PH 平面PAD， 所以PH 平面ABCD， 2 分 B A BC D P H 文科数学试题（第 4 页共 10 页） 所以

9、PH为点P到平面ABCD的距离 3 分 因为120PAD，2PA，所以sin603PHPA， 4 分 又 1 3 2 ABCD SBCADAB 四边形 ， 5 分 所以 11 333 33 P ABCDABCD VPH S 四边形 6 分 （2）假设棱CD上存在点F，使得EFPD连接BD，取BD的中点M， 在BPD中， 因为,E M分别为,BP BD的中点， 所以EMPD 8 分 因为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 所以EM与EF重合 因为点F在线段CD上，所以FBDCD， 又BDCDD， 所以F是BD与CD的交点D，即EF就是ED， 而ED与PD相交， 10 分 这与EFPD相

10、矛盾， 11 分 所以假设不成立， 故棱CD上不存在点F使得EFPD 12 分 解法二： （1）因为平面ABCD 平面PAD，且平面ABCD平面PADAD， ,BAAD BA平面ABCD， 所以BA平面PAD， 2 分 依题意， 113 sin223 222 PAD SAD APPAD ， 所以 112 3 32 333 B PADPAD VSAB 3 分 在梯形ABCD中，由,2ADBC ADBC知2 ABDBCD SS ， 4 分 所以2 P ABDP BCD VV ， 5 分 所以 3332 3 3 2223 PABCDP ABDP BCDP ABDB PAD VVVVV 6 分 （2）

11、假设棱CD上存在点F，使得EFPD， 显然F与点D不同， 所以, ,P E F D四点共面，记该平面为， 8 分 所以P，PE，FD， 又BPE，CFD， 所以B，C， A BC P D E F M A BC P D E F 文科数学试题（第 5 页共 10 页） 所以, , ,P B C D共面于， 10 分 这与PABCD为四棱锥相矛盾， 11 分 所以假设不成立， 故棱CD上不存在点F使得EFPD 12 分 20 【命题意图】本小题以抛物线为载体考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力、直观想象能力，考查函数与方程、数形结合等数学 思想，考查直观想象、逻辑推理

12、、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性 【解析】解法一： （1）设 1122 ( ,), (,)A x yB xy， 由 2 2, 4 xmy yx ，消去x得， 2 480ymy ， 1 分 2 16320,m 且 1212 4 ,8yym y y 2 分 所以 2 1212 ()444.xxm yym 因为M为AB的中点， 所以M的坐标为 1212 (,) 22 xxyy ，即 2 (22,2 )Mmm， 3 分 又因为0m ，所以 22 2111 1 22121 2 OM mm k mm m m m m ， 5 分 （当且仅当 1 m m ，即1m 等号成立 ） 所以直线OM的斜率的最

13、大值为 1 . 2 6 分 （2）由（1）知， 2 222 12121212 |22ABxxyymymyyy 222 121212 1|1()4myymyyy y = 22 11632mm 22 4 12mm， 8 分 由PMAB得 2222 |1() |22( 2)| 2(2) 1PMmmmm ， 9 分 因为PAB为等边三角形，所以 3 | 2 PMAB， 10 分 文科数学试题（第 6 页共 10 页） 所以 2222 2(2) 12 312mmmm， 所以 2 23m ，所以 2 1m ，解得1,m 因为0,m所以1m ， 11 分 则(4,2)M，直线MP的方程为2(4)yx ，即6

14、yx ， 所以2x 时，8y ， 所以所求的点P的坐标为( 2,8) 12 分 解法二： （1）设 112200 ( ,), (,),(,)A x yB xyM xy， 因为M为AB的中点，且直线:2(0)l xmym， 所以 012 2=,yyy 12 12 , xx m yy 1 分 由 2 11 2 22 4 , 4, yx yx 得 22 1212 44,yyxx 所以 12 12 12 4 , xx yy yy 所以 0 24 ,ym即 0 2ym 2 分 所以 2 00 222,xmym即 2 (22,2 )Mmm， 3 分 又因为0m ，所以 22 2111 1 22121 2

15、OM mm k mm m m m m ， 5 分 （当且仅当 1 m m ，即1m 等号成立 ） 所以直线OM的斜率的最大值为 1 . 2 6 分 （2）由 2 2, 4 xmy yx ，消去x得， 2 480ymy ， 2 16320,m 且 1212 4 ,8yym y y 7 分 2 222 12121212 |22ABxxyymymyyy 222 121212 1|1()4myymyyy y = 22 11632mm 文科数学试题（第 7 页共 10 页） 22 4 12mm ， 8 分 由（1）知，AB的中点M的坐标为 2 (22,2 )mm， 所以线段AB的垂直平分线方程为： 2

16、222ymm xm 令2x ，得线段AB的垂直平分线与直线2x 交点坐标为 3 2,26,Pmm 222 22 3 24242(2) 1.mPMmmmm 9 分 因为PAB为等边三角形，所以 3 | 2 PMAB， 10 分 所以 2222 2(2) 12 312mmmm， 所以 2 23m ，所以 2 1m ，解得 1,m 因为0,m所以1m ， 11 分 则 (4,2)M ，直线MP的方程为 2(4)yx ，即 6yx ， 所以2x 时， 8y ， 所以所求的点P的坐标为( 2,8) 12 分 21 【命题意图】本小题主要考查函数和导数及其应用、函数的单调性、函数的极值、 以及不等式恒成立

17、基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、创新意识等，考查 分类与整合思想、数形结合思想，考查数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养， 体现综合性、应用性与创新性 【解析】 （1）因为 2 ( )2lnf xxaxx， 所以 2 22 ( )0 xax fxx x 1 分 令 2 220p xxaxx， 2 16a ， 当0，即44a 剟4时， 0p x ，即 ( )0fx， 所以函数 f x单调递增区间为0, 2 分 当0 ，即4a 或4a 时， 若4a ，则 0p x ，即 ( )0fx ， 所以函数 f x单调递增区间为0, 3 分 文科数学试题（第 8 页共 10 页） 若4a ，令

18、2 220p xxax，得 22 12 1616 , 44 aaaa xx 由 ( )0fx ， 即 0p x 得 1 0,xx或 2 xx； 由() 0fx ， 即 0p x 得 12 xxx 所以函数 f x的单调递增区间为 12 0,xx ，单调递减区间为 12 ,x x 5 分 综上，当a4时，函数 f x单调递增区间为0,； 当a 4时，函数 f x的单调递增区间为 12 0,xx ； 单调递减区间为 12 ,x x 6 分 (2)由（1）得 2 22 ( )0 xax fxx x ， 若 f x有两个极值点，则 12 ,x x是方程 2 220xax的两个不等正实根， 由（1）知4

19、a 则 1212 2,1 2 a xxx x，则 12 01xx ， 8 分 要使 12 f xmx恒成立，只需 1 2 f x m x 恒成立 因为 222 31111111 1111 22 1 ()2ln222ln 22ln 1 f xxaxxxxx xxxx xx x ， 10 分 令 3 ( )22 lnh ttttt，则 2 ( )32lnh ttt， 当01t 时， 0h t，( )h t为减函数，所以( )(1)3h th 11 分 由题意，要使 12 f xmx恒成立，只需满足3m 所以实数m的取值范围, 3 12 分 22 【命题意图】 本小题以曲线的参数方程为载体， 考查参

20、数方程和普通方程的互化、 椭圆参数方程的应用，圆与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求 解能力，考查化归与转化思想，考查直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体 现基础性 【解析】解法一： （1）消去参数t得 1 l的普通方程为33xky， 1 分 消去参数m得 2 l的普通方程为33k xy 2 分 联立 33, 33 xky k xy 消去k得 2 339xxy ， 4 分 文科数学试题（第 9 页共 10 页） 所以 1 C的普通方程为 2 2 1 9 x y（3x ） 5 分 （2）依题意，圆心 2 C的坐标为0,4，半径3r 6 分 由（1）可知， 1 C的参数方程为 3cos , sin x y （为参数，且2 ,k kZ） ， 7 分 设3cos ,sinP（2 ,k kZ），则 222 2 3cossin4PC 22 9 1 sinsin8sin16 2 8sin8sin25 ， 8 分 当 1 sin 2 时， 2 PC取得最大值 2 11 88253 3 22 ， 9 分 又 2 PQPCr，当且仅当 2 ,P Q C三点共线，且 2 C在线段PQ上时，等号成立 所以 max 3 334 3PQ 10 分 解法二： （1）消去参数t得 1 l的普通方程为33xky， 1 分 消去参数m得 2 l的普通方程为3