人教版初中数学锐角三角函数的经典测试题附答案.doc

1、人教版初中数学锐角三角函数的经典测试题附答案一、选择题1如图，在矩形中，垂足为，设，且，则的长为（ ）A3BCD【答案】C【解析】【分析】根据同角的余角相等求出ADE=ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得BAC=ACD，然后求出AC【详解】解：DEAC，ADE+CAD=90，ACD+CAD=90，ACD=ADE=，矩形ABCD的对边ABCD，BAC=ACD，cos=，AC=故选：C【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC是解题的关键2如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60，、都是

2、格点，则（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用 得出答案【详解】解:连接DC，交AB于点E由题意可得:AFC=30, DCAF,设EC=x,则EF=, ,故选:A【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF的长是解题关键3如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工在上找一点，取，要使，成一直线，那么开挖点离点的距离是（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据已知利用D的余弦函数表示即可【详解】在RtBDE中，cosD=，DE=BDcosD=500cos55故选B【点睛】本题主要考查

3、了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键4如图，在中，垂足为，的平分线交于点，则的长为（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】在RtADC中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD的长度，在RtADB中，由AD的长度及ABD的度数可求出BD的长度，在RtEBD中，由BD的长度及EBD的度数可求出DE的长度，再利用AE=ADDE即可求出AE的长度【详解】ADBCADC=ADB=在RtADC中，AC=4，C=AD=CD=在RtADB中，AD=，ABD=BD=AD=BE平分ABC，EBD=在RtEBD中，BD=，EBD=DE=BD=AE=ADDE=-=故选：C【点睛】本题考查了等腰直

4、角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形5菱形ABCD的周长为20cm,DEAB,垂足为E,sinA=,则下列结论正确的个数有（）DE=3cm; BE=1cm; 菱形的面积为15cm2; BD=2cmA1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】【分析】根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案【详解】菱形ABCD的周长为20cmAD=5cmsinA=DE=3cm（正确）AE=4cmAB=5cmBE=54=1cm（正确）菱形的面积=ABDE=53=15cm2（正确）DE=3cm,BE=1cmBD=cm（不正确）所以正确的有三个故选C【点睛】本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定

5、义，熟练掌握性质是解题的关键6在课外实践中，小明为了测量江中信号塔离河边的距离，采取了如下措施：如图在江边处，测得信号塔的俯角为，若米，米，平行于，的坡度为，坡长米，则的长为()（精确到0.1米，参考数据：，）A78.6米B78.7米C78.8米D78.9米【答案】C【解析】【分析】如下图，先在RtCBF中求得BF、CF的长，再利用RtADG求AG的长，进而得到AB的长度【详解】如下图，过点C作AB的垂线，交AB延长线于点F，延长DE交AB延长线于点GBC的坡度为1:0.75设CF为xm，则BF为0.75xmBC=140m在RtBCF中，解得：x=112CF=112m，BF=84mDECE，C

6、EAB，DGAB，ADG是直角三角形DE=55m，CE=FG=36mDG=167m，BG=120m设AB=ymDAB=40tan40=解得：y=78.8故选：C【点睛】本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值.7一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为的正三角形可计算边长为2，据此即可得出表面积【详解】解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为的正三角形正三角形的边长圆锥的底面圆半径是1，

7、母线长是2，底面周长为侧面积为，底面积为，全面积是故选：C【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长8同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图：（1）作线段AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C；（2）以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；（3）连接BD，BC根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）AABD90BCACBCDCsinADcosD【答案】D【解析】【分析】由作法得CACBCDAB

8、，根据圆周角定理得到ABD90，点C是ABD的外心，根据三角函数的定义计算出D30，则A60，利用特殊角的三角函数值即可得到结论【详解】由作法得CACBCDAB，故B正确；点B在以AD为直径的圆上，ABD90，故A正确；点C是ABD的外心，在RtABC中，sinD，D30，A60，sinA，故C正确；cosD，故D错误，故选：D【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了圆周角定理和解直角三角形9在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若B=60，则的值为（）ABC1D【答案】C【解析】【分析】先过点A

9、作ADBC于D，构造直角三角形，结合B=60，利用cos60=,可求把这两个表达式代入到另一个RtADC的勾股定理表达式中，化简可得即a2+c2=b2+ac，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1【详解】解：过A点作ADBC于D，在RtBDA中，由于B=60，在RtADC中，DC2=AC2AD2， 即a2+c2=b2+ac， 故选C【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法10如图，点O为ABC边 AC的中点，连接BO并延长到点D,连接AD、CD，若BD=12，AC=8，AOD120，则四边

10、形ABCD的面积为（ ）A2B2CD【答案】D【解析】【分析】分别过点A、C作BD的垂线，垂足分别为M、N，通过题意可求出AM、CN的长度，可计算三角形ABD和三角形CBD的面积，相加即为四边形ABCD的面积.【详解】解：分别过点A、C作BD的垂线，垂足分别为M、N，点O为ABC边 AC的中点，AC=8，AO=CO=4，AOD120，AOB=60，COD=60，AM=，CN=，,，故选：D.【点睛】本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.11如图，等边边长为，点是的内心，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：形状不变；的面积最小不会小于四边形的面积的

11、四分之一；四边形的面积始终不变；周长的最小值为上述结论中正确的个数是（ ）A4B3C2D1【答案】A【解析】【分析】连接OB、OC，利用SAS证出ODBOEC，从而得出ODE是顶角为120的等腰三角形，即可判断；过点O作OHDE，则DH=EH，利用锐角三角函数可得OH=OE和DE=OE，然后三角形的面积公式可得SODE=OE2，从而得出OE最小时，SODE最小，根据垂线段最短即可求出SODE的最小值，然后证出S四边形ODBE=SOBC=即可判断和；求出的周长=aDE，求出DE的最小值即可判断【详解】解：连接OB、OC是等边三角形，点是的内心，ABC=ACB=60，BO=CO，BO、CO平分AB

12、C和ACBOBA=OBC=ABC=30，OCA=OCB=ACB=30OBA=OCB，BOC=180OBCOCB=120BOCFOGBOE=BOCBOEBOD=COE在ODB和OEC中ODBOECOD=OEODE是顶角为120的等腰三角形，形状不变，故正确；过点O作OHDE，则DH=EHODE是顶角为120的等腰三角形ODE=OED=（180120）=30OH=OEsinOED=OE，EH= OEcosOED=OEDE=2EH=OESODE=DEOH=OE2OE最小时，SODE最小，过点O作OEBC于E，根据垂线段最短，OE即为OE的最小值BE=BC=在RtOBE中OE=BEtanOBE=SOD

13、E的最小值为OE2=ODBOECS四边形ODBE=SODBSOBE= SOECSOBE=SOBC=BCOE=SODES四边形ODBE即的面积最小不会小于四边形的面积的四分之一，故正确；S四边形ODBE=四边形的面积始终不变，故正确；ODBOECDB=EC的周长=DBBEDE= ECBEDE=BCDE=aDEDE最小时的周长最小DE=OEOE最小时，DE最小而OE的最小值为OE=DE的最小值为=的周长的最小值为a=，故正确；综上：4个结论都正确，故选A【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的

14、判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键12的值等于ABCD1【答案】A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可【详解】解：原式故选A【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值13如图所示，中， ，顶点分别在反比例函数与的图象器上，则的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】过A作ACx轴，过B作BDx轴于D，于是得到BDO=ACO=90，根据反比例函数的性质得到SBDO=，SAOC=，根据相似三角形的性质得到=，根据三角函数的定义即可得到结论【详解】解：过A作ACx轴，过B作BDx轴于D，则BDO=ACO=90，顶点A

15、，B分别在反比例函数与的图象上，SBDO=，SAOC=，AOB=90，BOD+DBO=BOD+AOC=90，DBO=AOC，BDOOCA，tanBAO=.故选B.【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法14如图，正方形中，点、分别在边，上，与交于点.若，则的长为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据正方形的性质以及勾股定理求得，证明，根据全等三角形的性质可得，继而根据，可求得CG的长，进而根据即可求得答案.【详解】四边形ABCD是正方形，在和中，故选A.【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全

16、等三角形的判定与性质，三角函数等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.15南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为，大桥主架的顶端D的仰角为，已知测量点与大桥主架的水平距离ABa，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为( )Aasin+asinBacos+acosCatan+atanD【答案】C【解析】【分析】在RtABD和RtABC中，由三角函数得出BCatan，BDatan，得出CDBC+BDatan+atan即可【详解】在RtABD和RtABC中，ABa，t

17、an，tan，BCatan，BDatan，CDBC+BDatan+atan，故选C【点睛】本题考查了解直角三角形仰角俯角问题；由三角函数得出BC和BD是解题的关键16如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点B的坐标是（0，4），点D的坐标是（8，4），点M和点N是两个动点，其中点M从点B出发，沿BA以每秒2个单位长度的速度做匀速运动，到点A后停止，同时点N从点B出发，沿折线BCCD以每秒4个单位长度的速度做匀速运动，如果其中一个点停止运动，则另一点也停止运动，设M，N两点的运动时间为x，BMN的面积为y，下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）ABCD【答案】D【解析】【分

18、析】根据两个点的运动变化，写出点N在BC上运动时BMN的面积，再写出当点N在CD上运动时BMN的面积，即可得出本题的答案；【详解】解：当0x2时，如图1：连接BD，AC，交于点O，连接NM，过点C作CPAB垂足为点P，CPB=90，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是(0，4)，点D的坐标是(8，4)，BO=4，CO=4，BC=AB=，AC=8，ABC是等边三角形，ABC=60，CP=BCsin60=8=4，BP=4，BN=4x，BM=2x，又NBM=CBP，NBMCBP，NMB=CPB=90，；，即y=，当2x4时，作NEAB，垂足为E，四边形ABCD是菱形，ABCD，NE=CP=4，BM

19、=2x，y=；故选D.【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，掌握动点问题的函数图象是解题的关键.17已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为60cm2，设圆锥的母线与高的夹角为，则sin的值为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】先求出圆锥底面周长可得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，再利用扇形面积公式可求出母线的长，最后利用三角函数即可求出答案.【详解】解：圆锥底面周长为，且圆锥的侧面积为60，圆锥的母线长为，sin=.故选C.【点睛】本题考查了圆锥和三角函数的相关知识.利用所学知识求出圆锥母线的长是解题的关键.18在一次数学活动中，嘉淇利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去

20、测量学校内一座假山的高度.如图，嘉淇与假山的水平距离为，他的眼睛距地面的高度为，嘉淇的视线经过量角器零刻度线和假山的最高点，此时，铅垂线经过量角器的刻度线，则假山的高度为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据已知得出AK=BD=6m，再利用tan30= ，进而得出CD的长【详解】解：如图，过点A作AKCD于点KBD=6米，李明的眼睛高AB=1.6米，AOE=60，DB=AK，AB=KD=1.6米，CAK=30，tan30=，解得：CK=2即CD=CK+DK=2+1.6=（2+1.6）m故选：A【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，解答关键是应用锐角三角函数定义.

21、19如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点在轴的正半轴上，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】过点作x轴的垂线，垂足为M，通过条件求出，MO的长即可得到的坐标.【详解】解：过点作x轴的垂线，垂足为M，在直角中， ，OM=2+1=3，的坐标为.故选：D.【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题20如图，从点看一山坡上的电线杆，观测点的仰角是，向前走到达点， 测得顶端点和杆底端点的仰角分别是和，则该电线杆的高度（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角APE和直角BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，列出方程求得x的值，再在直角BQE中利用三角函数求得QE的长，则问题求解【详解】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x在直角APE中，A=45，AE=PE=x；PBE=60BPE=30在直角BPE中，BE=PE=x，AB=AE-BE=6米，则x-x=6，解得：x=9+3则BE=3+3在直角BEQ中，QE=BE=（3+3）=3+PQ=PE-QE=9+3-（3+）=6+2答：电线杆PQ的高度是（6+2）米故选：A【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解答关键是根据题意构造直角三角形解决问题.