安徽省合肥市2023届高三数学第二次教学质量检测二模数学试卷+答案.pdf

1、 合肥市合肥市 2023 年高三第二次教学质量检测年高三第二次教学质量检测数学试题数学试题 一、选择题一、选择题:本大题共本大题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合只有一项是符合题目要求的题目要求的.1.设i是虚数单位,复数2i1 iz=,则在复平面内z所对应的点在().A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若集合2340,3Mx xxNx x=+=,则()MN=.A.(3,1 B.(3,4 C.)4,+D.)1,+3.已知等美数列 na的前n项和为415,1,2nS aaa=+=

2、,则8S的值为().A.-27 B.-16 C.-11 D.-9 4.Malthus 模型是一种重要的数学模型.某研究人员在研究一种细菌繁殖数量()N t与时间t关系时,得到的 Malthus 模型是()0.460etN tN=,其中0N是0tt=时刻的细菌数量,e为自然对数的底数.若t时刻细菌数量是0t时刻细菌数量的 6.3倍,则t约为()()ln6.31.84 A.2 B.3 C.4 D.5 5.已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台的侧面积为16,上、下底面的面积之比为1:9,则球的表面积为().A.12 B.14 C.16 D.18 6.某高中学校在新学期增设了“传统文化”、“数学

3、文化”、“综合实践”、“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报 2门校本课程.若两人所选的课程至多有一门相同,且小明必须选报“数学文化”课程,则两位同学不同的选课方案有().A.24种 B.36 种 C.48种 D.52种 7.在平面直角坐标系xOy,中,对于点()()1122,A x yB xy,若2121xxyy=,则称点A和点B互为等差点.已知点Q是圆224xy+=上一点,若直线2 2x=上存在点Q的等差点P,则OP的取值范用为().A.2 2,4 2 B.10,2 10 C.2 2,2 10 D.2 2,8 8.设,A B C D是曲线3yxmx=上的四个

4、动点,若以这四个动点为顶点的正方形有且只有一个,则实数m的值为().A.4 B.2 3 C.3 D.2 2 二、选择题二、选择题:本题共本题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求有多项符合题目要求.全全部选对的得部选对的得 5 分分,部分选对的得部分选对的得 2分分,有选错的得有选错的得 0 分分.9.已知双曲线22:2C xy=的左、右顶点分别为12,A A,渐近线为直线12,l l,离心率为e.过右焦点F且垂直于x轴的直线交双曲线C于点,P Q,则().A.2e=B.12ll C.2PQ=D.12APA Q

5、10.下图是某汽车公司 100家销售商 2022年新能源汽车销售数据频率分布直方图(単位：辆),则().A.a的值为 0.004 B.估计这 100家销售商新能源汽车销量的平均数为 135 C.估计这 100家销售商新能源汽车销量的80%分位数为 212.5 D.若按分层抽样原则从这 100家销售商抽取 20家,则销囯在200,300内的销售商应抽取 5家 11.函数()sin2f xx=与函数()g x的图像关于点,012对称,记()()()F xf xg x=+,则().A.()F x 的值域为2,2 B.()F x 的图像关于直线73x=对称 C.()1F x=在17,1212所有实根之

6、和为83 D.()32F x,如图.设1212,A A B B,是“果圆”与坐标轴的交点,C为半椭圆1E上一点,F为半椭圆1E的焦点.若11124 3,tan2 2CACFB AB+=,则“果圆的内接矩形面积的最大值 为_.四、解答题四、解答题:本题共本题共 6 小题小题,共共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图,某地需要经过一座山两侧的,D E两点修建一条穿山隧道.工程人员先选取直线DE上的三点,A B C,设在隧道DE正上方的山顶P处测得A处的俯角为 15,B处的俯角为 45，C处的俯角为30,且测得1.4km,0.2km,

7、0.5kmABBDCE=,试求拟修建的隧道DE 的长.18.已知数列 na的前n项和为11,1,1nnnS aaS+=+,(1)求数列 na的通项公式;(2)令nnbna=,求数列 nb的前n项和nT.19.如图,在多面体ABCFDE中,四边形ABED是菱形,/CBFE,2,CBFE CB=平面ABED,点G是线段CD的中点.(1)证朋:FG 平而BCD;(2)若ABBCBD=,求直线FG与平面ACD所成角的正弦值.20.地球上生命体内都存在生物钟.研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体征状况,控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称 PER.PER 分为 PERI(导致早

8、起倾向)和PERo(导致晚唾倾向).某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与 GRPE蛋白干预实验.以下是 16只实验鼠在光照诱导与 GRPE蛋白干预实验中，出现 PERI突变的 Sd指标:实验鼠编号 1 2 3 4 5 6 7 8 Sd指标 9.95 9.99 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 实验鼠编号 9 10 11 12 13 14 15 16 Sd指标 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 长期试验发现,若实验鼠 Sd指标超过 10.00,则认定其体征状况严重.（1）从实验鼠中随机选取

9、 3只,记X为体征状况严重的只数,求X的分布列和数学期望;(2)若编号18的实验鼠为 GRPE蛋白干预实验组,编号916的为非 GRPE蛋白干预对照组,试依据小概率值0.1=的独立性检验,分析 GRPE蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关?附:()()()()()22n adbcxabcdacbd=+(其中)nabcd=+.21.已知抛物线()2:20C ypx p=的焦点为(),1,0F E 为其准线l与x轴的交点,过点E作直线与拋物线C在第一象限交于点,A B,且4AEBE=.(1)求FAFB的值;(2)设圆()()222:402 3Mxyrr+=,过点A作圆M的两条切线分别交抛物线C于点,P

10、 Q,求APQ面积的最大值.22.已知函数()()212ln212f xxmxmx=+,其中Rm.(1)若函数()yf x=图像仅有一条垂直于y轴的切线,求m的取值范围;(2)讨论函数()f x零点个数.0.1 0.05 0.01 ax 2.706 3.841 6.635 高三数学试题答案 第 1 页（共 5 页）合肥市 2023 年高三第二次教学质量检测 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.1.B 2.C 3.B 4.C 5.A 6.B 7.C 8.D 二、选择题：二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20

11、分.9.ABD 10.ACD 11.BC 12.ACD 三、填空题：三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.13.0 14.2 15.13 16.426 四、解答题：四、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分.17.(17.(本小题满分本小题满分 1010 分分)解析：由题意知，15PAD，45PBD，30PCE，30APB.在PAB中，由正弦定理得sinsinABPBAPBPAB，1.4sin30sin15PB，所以2.8sin15PB.在PBC中，由正弦定理得sinsinPBBCCBPC，sin30sin105PBBC，5 分 所以sin1052sin1055.

12、6sin15 sin1055.6sin15 cos152.8sin301.4sin30PBBCPB，所以1.40.20.50.7 kmDEBCBDEC，即隧道DE的长为0.7 km.10 分 18.(18.(本小题满分本小题满分 1212 分分)解析：(1)由题意得，11nnaS；当2n 时，11nnaS，两式相减得1nnnaaa，即12nnaa.又因为21111122aSaa ，所以当1n 时，12nnaa，所以 na成等比数列，12nna.6 分(2)由(1)得，12nnnbnan，所以，0211 22 23 22nnTn ，2 得，123121 22 23 21 22nnnTnn 得，1

13、2311 222222121 21nnnnnnTnnn ，所以1 21nnTn.12 分 19.(19.(本小题满分本小题满分 1212 分分)解析：(1)连接AE，交BD于点O，连接GO.高三数学试题答案 第 2 页（共 5 页）在菱形ABED中，AEBD.因为CB平面ABED，所以CBAE.又因为CBBDB，所以AE平面CBD.因为12GOCB，GOCB，且FECB，12FECB，所以FEGO，且FEGO，所以四边形EFGO为平行四边形，所以FGEO，所以FG平面CBD.6 分(2)如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA所在直线为xy，轴建立空间直角坐标系，如图.设2BCa，则0 2 0A

14、a，2 0 0Ca，0 3Daa，3 22aaG a，3F aaa，.设平面ACD的一个法向量为mxyz，由00m ACm AD得22030axayayaz，取3 3 1m，因为330 22aaFG，记直线FG与平面ACD所成角为，则 37sincos=737FG maFG maFG m，所以，直线FG与平面ACD所成角的正弦值是77.12 分 20.(20.(本小题满分本小题满分 1212 分分)解析：(1)由题意得，X的可能取值有 0，1，2，3，所以 393163020CP XC，21973169120C CP XC，129731627280C CP XC，373161316CP XC，

15、所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 320 920 2780 116 所以，X的数学期望392712101232020801616E X .6 分(2)由题意得，根据所给数据，得到2 2列联表：GRPE蛋白干预 非GRPE蛋白干预 合计 体征状况严重 2 5 7 体征状况不严重 6 3 9 合计 8 8 16 零假设为：0H:实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预没有关系.高三数学试题答案 第 3 页（共 5 页）利用列联表中的数据得，220.1162 3 5 616=2.2862.7068 8 7 97x ，根据小概率值0.1的独立性检验，没有充分证据推断0H不成立，因此可认为0H成立，即认

16、为实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预无关.12 分 21.(21.(本小题满分本小题满分 1212 分分)解析：(1)由题意得2p，所以抛物线C的方程为24yx.由4AEBE得4AEBE.过B作1BBl于点1B，过A作1AAl于点1A，1BB1AA，且114AABB，由抛物线定义知，1BFBB，1AFAA，所以114FAAAFBBB，即4FAFB.5 分(2)设点00B xy，00y，1 0E ，所以0043 4Axy，所以2002004164 43yxyx，解得00141xy，所以4 4A，.设切线AP，AQ的斜率为12kk，因为AMx轴，由对称性知120kk.设直线PQ的方程为xmyn，11

17、P xy，22Q xy，将直线PQ的方程代入抛物线方程得2440ymyn()，所以121244yymy yn，所以11121114444444yykxyy，同理得2244ky，所以 12121212121244844440444444yyyykkyyyyyy，所以1280yy，即480m，2m ，代入方程()，由64 160n 得4n ，因为直线AP的方程为1144(4)4yyxx，即1211444(4)(4)444yyxxyy，所以114(4)40 xyyy.因为直线 AP 与圆 M 相切，所以12116416(4)yry，即221216(4)16ryr，不妨设144y，所以124416ry

18、r，所以22111111222114411622(8)44324444 161616yrrnxyyy yrrr，因为02 3r,n随r的增大而增大，所以222116116323284 164 16 12nr 所以48n 直线PQ的方程为2xyn，即20 xyn，121284yyy yn ，所以21212125544 520PQyyyyy yn，高三数学试题答案 第 4 页（共 5 页）点A到直线PQ的距离为125nd，所以12114 520225APQnSd PQn224 12nn，令 24 1248f nnnn，则 21242 1211243fnnnnnn，当443n 时，0fn；当483n

19、时，0fn，所以当43n 时，f n取得最大值，所以APQ面积的最大值为4256 3239f.12 分 22.(22.(本小题满分本小题满分 1212 分分)解析:函数 212ln212f xxmxmx的定义域为0，221212221mxmxmxxfxmxmxxx.(1)因为函数 yf x仅有一条垂直于y轴的切线，所以 120mxxfxx有唯一正实数解，所以0m或12m，所以m的取值范围是102m mm，或.5 分(2)因为 12mxxfxx.当0m时，因为0 x，所以10mx，所以，当0 2x，时，0fx；当2 x，时，0fx，所以 f x的单调递增区间是0 2，单调递减区间是2 ，此时 2

20、2ln222 212ln222fmmm，当ln2 1m 时，20f，函数 f x只有一个零点，2x；当ln2 10m 时，20f，函数 f x没有零点；当ln2 1m时，因为当0 x或x 时，f x，且 20f，所以函数 f x分别在0 2，和2，上，各有唯一零点，此时函数 f x有两个零点.当102m时，12m，在0 2x，和1 xm，上，0fx；在12 xm，上，0fx，所以 f x在0 2，和1m，单调递增，在12 m，上单调递减.当0 x时，f x；当x 时，f x，且 22ln2220fm，此时函数 f x在1m，上有唯一零点，即函数 f x有 1 个零点.当12m 时，2202xx

21、fxx，所以 f x的单调递增区间是0，.当0 x时，f x；当x 时，f x，此时函数 f x在0，上有唯一零点.当12m 时，102m，在10 xm，和2x，上，0fx；在1 2xm，上，0fx；高三数学试题答案 第 5 页（共 5 页）所以 f x在10 m，和2，上单调递增，在1 2m，上单调递减.21111112ln212ln222fmmmmmmmm.设 12ln22g mmm 12m，所以 22211 4022mg mmmm，所以 g m在12，上单调递减，所以 12ln2302g mg.又因为当x 时，f x，所以函数 f x在区间2，唯一零点.综上所述，得：当ln2 1m时，函数 f x有且仅有 2 个有零点.当ln2 10m 时，函数 f x没有零点；当ln2 1m 或0m 时，函数 f x有且仅有 1 个零点.12 分