北师大版初三上册期末数学试卷-含答案(DOC 31页).doc

1、 九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）1已知等式：x2+5x+3（x+a）（x+b），则+的值为（）ABCD2已知抛物线f（x）x2+bx+c的系数满足3bc5，则这条抛物线一定经过点（）A（1，2）B（2，1）C（3，1）D（3，4）3三人同行，有两人性别相同的概率是（）A1BCD04已知ABC中，ABAC6，高AD6，则ABC外接圆的半径为（）A12B10C9D85如图，OAOB，等腰直角CDE的腰CD在OB上，ECD45，将CDE绕点C逆时针旋转75，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为（）ABCD6已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边AO

2、B的边长为2，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC2BO反比例函数y（k0）的图象恰好经过点C和点D，则k的值为（）ABCD二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7在ABC中，C90，D是AB的中点，则tanBCDtanACD 8当a0时，方程x|x|+|x|xa0的解为 9如图，O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是O上任意一点（P与A，B，C，D不重合），过点P作PMAB于点M，PNCD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过60时，点Q走过的路径长为 10某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，其主视图和左视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最少有 个

3、11已知a、b为抛物线y（xc）（xcd）3与x轴交点的横坐标，且ab，则化简|ac|+|cb|的值为 12如图，在矩形ABCD中，AD2AB2，E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DFAE于F，连接CF，当CDF为等腰三角形时，则BE的长是 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13（1）计算：（1）2018+6cos45（tan602019）06sin30（2）若（x2+y2）25x25y260，求x2+y2的值14如图，AB是O的直径，平行四边形ACDE的一边在直径AB上，点E在O上，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图（1）如图（1），当D在O上时，过点D作DPAB于点P

4、；（2）如图（2），当点D在O内时，过点E作EQAB于点Q15已知直线yx+6和反比例函数y（k0）（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点？（2）设（1）的两个公共点分别为A、B，AOB是锐角还是钝角？16P是等边三角形ABC内的一点，PA6，PB8，PC10（1）求APB；（2）求ABC的面积17如图，在矩形ABCD中，ADa，ABb，问：能否在AB边上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形？若能找到，这样的E点有几个？若不能找到，请说明理由18设方程x2+ax+b0与x2+bx+a0（a0b0ab）有一个公共根，设它们另两个根分别为

5、x1，x2（1）求x1+x2的值；（2）求x1x2的最大值19如图，在四边形ABCD中，ADBC，对角线AC，BD相交于点O，ABC的重心G在BD上（1）求证：四边形ABCD为平行四边形（2）若以G为圆心，BG为半径的圆与AD相切于点E，求ADB的度数20已知二次函数yax2+4ax+4a1的图象是C1（1）求C1关于点R（1，0）中心对称的图象C2的函数解析式；（2）在（1）的条件下，设抛物线C1、C2与y轴的交点分别为A、B，当AB18时，求a的值21已知抛物线yx2与动直线y（2t1）xc有公共点（x1，y1），（x2，y2），且x12+x22t2+2t3（1）求实数t的取值范围；（2）

6、当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值22如图，已知RtABC中，A30，AC6边长为4的等边DEF沿射线AC运动（A、D、E、C四点共线）当等边DEF的边DF、EF与RtABC的边AB分别相交于点M、N（M、N不与A、B重合）时，设ADx（1）则FMN的形状是 ，ADM的形状是 ；（2）ABC与DEF重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出的取值范围；（3）若以点M为圆心，MN为半径的圆与边AC、EF同时相切，求此时MN的长23如图，已知动圆A恒过定点B（0，1），圆心A在抛物线yx2上运动，MN为A在x轴上截得的弦（点M在点N左侧）（1）当点A坐标为（，a）时，求a的值，并

7、计算此时A的半径与弦MN的长；（2）当A的圆心A运动时，判断弦MN的长度是否发生变化？若改变，请举例说明；若不变，请说明理由；（3）连接BM，BN，当OBM与OBN相似时，计算点M的坐标参考答案与试题解析一选择题（共6小题）1已知等式：x2+5x+3（x+a）（x+b），则+的值为（）ABCD【分析】根据多项式乘多项式的运算法则得到a+b5，ab3，根据二次根式的加减法法则计算，代入计算即可【解答】解：（x+a）（x+b）x2+（a+b）x+ab，a+b5，ab3，则+，故选：B2已知抛物线f（x）x2+bx+c的系数满足3bc5，则这条抛物线一定经过点（）A（1，2）B（2，1）C（3，1）

8、D（3，4）【分析】由已知得c3b5，代入yx2+bx+c中，将函数解析式进行变形，可求定点坐标【解答】解：由3bc5，得c3b5，yx2+bx+cx2+bx+3b5x2+（x+3 ）b5故当x+30，即x3时，y4，抛物线一定经过点（3，4）故选：D3三人同行，有两人性别相同的概率是（）A1BCD0【分析】根据必然事件的概率是1解答即可【解答】解：三个人，只有两种性别，所以有两人性别相同是必然的，所以概率是1故选：A4已知ABC中，ABAC6，高AD6，则ABC外接圆的半径为（）A12B10C9D8【分析】根据题意作出简单的图形，先求出BD的长，设圆的半径为x，再由勾股定理得出（6x）2+（

9、6）2x2，解方程求出半径即可【解答】解：由于ABAC，所以其外接圆的圆心在三角形的高上，如图所示，ABAC6，AD6，ADBC，BD6，设圆的半径为x，在RtBOD中，OD2+BD2OB2，（6x）2+（6）2x2，解得x9，故选：C5如图，OAOB，等腰直角CDE的腰CD在OB上，ECD45，将CDE绕点C逆时针旋转75，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为（）ABCD【分析】根据旋转角的定义可知DCM75，从而推导出NCO60，NOC是30 直角三角形，设DEa，推导出OC用a表示的式子，两者之比可得【解答】解：根据旋转角的定义可知DCM75，根据旋转的性质可知NCMECD45，NCO

10、180754560ONC906030设DEa，则在等腰直角CDE中，CEa，所以NCCEaOCCNa故选：A6已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边AOB的边长为2，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC2BO反比例函数y（k0）的图象恰好经过点C和点D，则k的值为（）ABCD【分析】过点C作CEx轴于点E，过点D作DFx轴于点F，设BDa，则OC2a，根据等边三角形的性质结合解含30度角的直角三角形，可找出点C、D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、k的值，此题得解【解答】解：过点C作CEx轴于点E，过点D作DFx轴于点F，如图所示设BDa，则OC2aAOB为边长为2的

11、等边三角形，COEDBF60，OB2在RtCOE中，COE60，CEO90，OC2a，OCE30，OEa，CEa，点C（a，a）同理，可求出点D的坐标为（2a，a）反比例函数y（k0）的图象恰好经过点C和点D，kaa（2a）a，a，k，故选：C二填空题（共6小题）7在ABC中，C90，D是AB的中点，则tanBCDtanACD1【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出CDBDADAB，由等腰三角形的性质得出BCDB，ACDA，由三角函数定义即可得出答案【解答】解：在ABC中，ACB90，D是AB的中点，CDBDADAB，BCDB，ACDA，tanB，tanAtanBCDtanACDtanBta

12、nA1；故答案为：18当a0时，方程x|x|+|x|xa0的解为1【分析】分类讨论：当a0时，显然x0若x0，方程变为：x2a0，此方程无解；若x0，方程变为：x22xa0，即x2+2x+a0，利用求根公式解方程，然后x取负根即可【解答】解：当a0时，显然x0若x0，方程变为：x2a0，得x2a0，无解；若x0，方程变为：x22xa0，即x2+2x+a0此时，44a0解得x11，x1+舍去，即x1故答案为19如图，O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是O上任意一点（P与A，B，C，D不重合），过点P作PMAB于点M，PNCD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过60时，点Q

13、走过的路径长为【分析】OP的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得OQ1，再代入弧长公式计算即可【解答】解：连接PQ，如图所示：PMAB于点M，PNCD于点N，四边形ONPM是矩形，OPMN，又点Q为MN的中点，点Q为OP的中点，O、P、Q三点共线，则OQOP1，点Q走过的路径长故答案为：10某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，其主视图和左视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最少有5个【分析】由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数【解答】解：由主视图和左视图可确定所需正方体个数最少时俯视图为：则组成这个几何体的小正方体最少有5个故答案为：511已知a、b为抛物

14、线y（xc）（xcd）3与x轴交点的横坐标，且ab，则化简|ac|+|cb|的值为ba【分析】设函数y（xc）（xcd），该函数与x轴的交点坐标为（c，0）、（c+d，0），函数y向下平移3个单位得到y（xc）（xcd）3，该函数与x轴的交点坐标为（a，0）、（b，0），则acc+db，即可求解【解答】解：设函数y（xc）（xcd），该函数与x轴的交点坐标为（c，0）、（c+d，0），函数y向下平移3个单位得到y（xc）（xcd）3，该函数与x轴的交点坐标为（a，0）、（b，0），则acc+db，故|ac|+|cb|ca+bcba，故答案为：ba12如图，在矩形ABCD中，AD2AB2，E是B

15、C边上的一个动点，连接AE，过点D作DFAE于F，连接CF，当CDF为等腰三角形时，则BE的长是1或3或2【分析】过点C作CMDF，垂足为点M，判断CDF是等腰三角形，要分类讨论，CFCD；DFDC；FDFC，根据相似三角形的性质进行求解【解答】解：CFCD时，过点C作CMDF，垂足为点M，则CMAE，DMMF，延长CM交AD于点G，AGGD1，AGEC，AECG，四边形AECG是平行四边形，CEAG1，当BE1时，CDF是等腰三角形DFDC时，则DCDF1，DFAE，AD2，DAE30，AEB30则BE当BE时，CDF是等腰三角形；FDFC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点AB1

16、，BEx，AE，AF，ADFEAB，x24x+10，解得：x2或2+（舍弃），当BE2时，CDF是等腰三角形综上，当BE1、3、2时，CDF是等腰三角形故答案为：1或或2三解答题（共11小题）13（1）计算：（1）2018+6cos45（tan602019）06sin30（2）若（x2+y2）25x25y260，求x2+y2的值【分析】（1）按照零次幂和特殊角的三角函数值计算即可；（2）先将（x2+y2）25x25y260变形，利用整体思想或换元法进行因式分解，即可求得答案【解答】解：（1）（1）2018+6cos45（tan602019）06sin301+616330（2）（x2+y2）25

17、x25y260（x2+y2）25（x2+y2）60（x2+y26）（x2+y2+1）0x2+y2）0x2+y2+11x2+y260x2+y2614如图，AB是O的直径，平行四边形ACDE的一边在直径AB上，点E在O上，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图（1）如图（1），当D在O上时，过点D作DPAB于点P；（2）如图（2），当点D在O内时，过点E作EQAB于点Q【分析】（1）如图1中，延长AO交O于点F，连接DF交AB于点P，因为EF是O直径，所以EDF90，利用平行线的性质，可知DPAB（2）如图2中，延长ED交O于M，作直径MF，连接EF交OA于点Q，所以MEF90，利用平行线的性质，

18、可知EQAB【解答】解：（1）如图1，延长AO交O于点F，连接DF交AB于点P，点P即为所求；（2）如图2，延长ED交O于M，作直径MF，连接EF交OA于点Q，点Q即为所求15已知直线yx+6和反比例函数y（k0）（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点？（2）设（1）的两个公共点分别为A、B，AOB是锐角还是钝角？【分析】（1）当比例系数符号相同或组成方程组整理后的一元二次方程的判别式大于0时，两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点；（2）结合（1）中k的取值范围，分情况探讨AOB是锐角还是钝角【解答】解：（1）分两种情况：当比例系数符号相同，即k0时

19、，这两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点；解方程组，整理得：x26x+k0，它们有两个公共点，364k0，解得k9，在第一，三象限，0k9故当0k9或k0时，这两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点；（2）当k0时，如图1，点A、点B分别在第二、四象限，连接OA、OB，可知AOBxoy90，故AOB为钝角；当0k9时，如图2，点A、点B都在第一象限，连接OA、OB，可知AOBxOy90，故AOB为锐角16P是等边三角形ABC内的一点，PA6，PB8，PC10（1）求APB；（2）求ABC的面积【分析】（1）将APC绕点A逆时针旋转60，得到AMB，证明AMP是等边三角形，利用

20、勾股定理的逆定理证明BPM是直角三角形，则APB60+90150；（2）将APC绕点C顺时针旋转60，得到BNC，易证BPN是直角三角形，PNC是等边三角形，则可求BPN、PNC面积，即APC面积+BPC面积可知，APB中借助APB150，过A点作BP边上的高即可求APB面积，最后ABC面积APC面积+BPC面积+APB面积可求【解答】解：（1）如图1，将APC绕点A逆时针旋转60，得到AMBABC是等边三角形，ABAC根据旋转的性质可知AMAP6，MAP60，ACBM10，AMP是等边三角形，MPAM6，APM60在MPB中，MP2+BP262+82100，BM2102100，MP2+BP2

21、BM2BPM是直角三角形，且BPM90APB60+90150；（2）如图2，将APC绕点C顺时针旋转60，得到BNC，则BNAP6，PNC是等边三角形，PNPC10在BPN中，BN2+BP262+82100，PN2102100，BN2+BP2PN2BPN是直角三角形，且PBN90BPN面积BNBP6824等边PNC面积PN225APC面积+BPC面积四边形BNCP面积BPN面积+PNC面积24+25过点A作AHBP，交BP延长线于H点，如图3所示，APB150，APH30AHAP63APB面积BPAH8312ABC面积24+25+1236+2517如图，在矩形ABCD中，ADa，ABb，问：能

22、否在AB边上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形？若能找到，这样的E点有几个？若不能找到，请说明理由【分析】假设在AB边上存在点E，使RtADERtBECRtECD，又设AEx，则，即，于是将问题转化为关于x的一元二次方程是否有实根，在一定条件下有几个实根的研究，通过构造方程解决问题【解答】解：假设在AB边上存在点E，使RtADERtBECRtECD，又设AEx，则，即，即得x2bx+a20b24a2（b+2a）（b2a），所以有（1）若b+2a0，b2a0，0，方程无解，E点不存在；（2）若b+2a0，当b2a时，0，方程有等根，满足条件的E点有且只有一个；（3）若

23、b+2a0，b2a0，则当b2a时，0，方程有两个不相等的正根，满足条件的E点有两个，18设方程x2+ax+b0与x2+bx+a0（a0b0ab）有一个公共根，设它们另两个根分别为x1，x2（1）求x1+x2的值；（2）求x1x2的最大值【分析】（1）设出公共根x0构造二元一次方程组，解出符合条件的公共根，进一步代入求得答案即可（2）易求得x1x2（a+）2+，然后根据二次函数的性质即可求得【解答】解：设x0是方程的公共根，则，相减得（ab）x0+（ba）0得x01，且1+a+b0同时，则x1+x2ab21；（2）x01是方程x2+ax+b0与x2+bx+a0的公共根，它们另两个根分别为x1，

24、x21+x1a，1+x2b，x1a1，x2b1，又1+a+b0，x1x2（1a）（1b）（1a）aa2a（a+）2+，当a时，x1x2的最大值为19如图，在四边形ABCD中，ADBC，对角线AC，BD相交于点O，ABC的重心G在BD上（1）求证：四边形ABCD为平行四边形（2）若以G为圆心，BG为半径的圆与AD相切于点E，求ADB的度数【分析】（1）由重心的定义得出BO是ABC的中线，则AOCO，由平行线的性质得出OADOCB，ODAOBC，由AAS证得OADOCB，得出ADBC，即可得出结论；（2）连接EG，由G是ABC的重心，得出，由平行四边形的性质得出BODO，则，由切线的性质得出GEA

25、D，则DEG90，由圆半径得出GEGB，则sinADB，即可得出结果【解答】（1）证明：G是ABC的重心，BO是ABC的中线，AOCO，ADBC，OADOCB，ODAOBC，在OAD和OCB中，OADOCB（AAS），ADBC，四边形ABCD为平行四边形；（2）解：连接EG，如图所示：G是ABC的重心，四边形ABCD为平行四边形，BODO，AD是圆的切线，GEAD，DEG90，GEGB，sinADB，ADB3020已知二次函数yax2+4ax+4a1的图象是C1（1）求C1关于点R（1，0）中心对称的图象C2的函数解析式；（2）在（1）的条件下，设抛物线C1、C2与y轴的交点分别为A、B，当A

26、B18时，求a的值【分析】（1）因为C1和C2关于点R（1，0）中心对称，所以它们的顶点也中心对称先求出yax2+4ax+4a1的顶点坐标，再根据中心对称的定义求出C2的顶点坐标，便可进一步求出C2的函数解析式；（2）把x0代入解析式即可得到A、B点的纵坐标，将纵坐标相减，其差的绝对值即为18，可列出等式求出a的值【解答】解：（1）由ya（x+2）21，可知抛物线C1的顶点为M（2，1）由图知点M（2，1）关于点R（1，0）中心对称的点为N（4，1），以N（4，1）为顶点，与抛物线C1关于点R（1，0）中心对称的图象C2也是抛物线，且C1与C2的开口大小相同且方向相反，故抛物线C2的函数解析式

27、为ya（x4）2+1，即yax2+8ax16a+1（3分）（2）令x0，得抛物线C1、C2与y轴的交点A、B的纵坐标分别为4a1和16a+1AB|（4a1）（16a+1）|20a2|20a2|18当时，有20a218，得a1；当a时，有220a18，得（7分）21已知抛物线yx2与动直线y（2t1）xc有公共点（x1，y1），（x2，y2），且x12+x22t2+2t3（1）求实数t的取值范围；（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值【分析】（1）利用抛物线的图象性质可以知道抛物线yx2的图象开口向上最低点为原点，它与直线有交点则可以联立求解方程有两个实数根，便可一切定出t的取值范围

28、（2）有（1）中可知c可以用含有t的代数式来表示，利用二次函数求最值的相关知识求解【解答】解：（1）联立yx2与y（2t1）xc，消去y得二次方程x2（2t1）x+c0有实数根x1，x2，则x1+x22t1，x1x2c所以把式代入方程得t的取值应满足t2+2t3x12+x220，且使方程有实数根，即（2t1）22（3t26t+4）2t2+8t70，解不等式得t3或t1，解不等式得t所以，t的取值范围为t（t）（2）由式知由于在t时是递增的，所以，当时，答：当时，c有最小值：22如图，已知RtABC中，A30，AC6边长为4的等边DEF沿射线AC运动（A、D、E、C四点共线）当等边DEF的边DF

29、、EF与RtABC的边AB分别相交于点M、N（M、N不与A、B重合）时，设ADx（1）则FMN的形状是直角三角形，ADM的形状是等腰三角形；（2）ABC与DEF重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出的取值范围；（3）若以点M为圆心，MN为半径的圆与边AC、EF同时相切，求此时MN的长【分析】（1）根据已知得出AMDFDEA30，进而得出MNF90，可得出AMDA，则DMDA，可得出结论；（2）解直角三角形求出直角FMN的MN和FN（用含x的表达式表示出来），从而得出FMN的面积，再用FDE的面积减FMN得面积就得出了y的面积表达式注意分不同的情况讨论（3）设DMx，根据MDG60，

30、得出MGx，进而得出MNMF，利用MGMN，求出即可【解答】解：（1）如图1，DEF是等边三角形，FDEF60A30，AMDFDEA30，FMNAMD30，MNF90，即FMN是直角三角形，FDE60，AMDFDEA30，AMDA，DMDA，ADM是等腰三角形；故答案为：直角三角形，等腰三角形；（2）如图2，ADM是等腰三角形，DMADx，FM4x，又FED60，A30，FNM90，MNMFsinF（4x），FN，y，当0x2时，yS四边形DENMSFDESFMN4，当2x4时，CD6x，BCE90，PDC60，PC（6x），（3）如图3，点M作MGAC于点G，由（2）得DMx，MDG60，M

31、G，MNF90MNFC要使以点M为圆心，MN长为半径的圆与边AC、EF相切，则有MGMN，解得：x2，圆的半径MN23如图，已知动圆A恒过定点B（0，1），圆心A在抛物线yx2上运动，MN为A在x轴上截得的弦（点M在点N左侧）（1）当点A坐标为（，a）时，求a的值，并计算此时A的半径与弦MN的长；（2）当A的圆心A运动时，判断弦MN的长度是否发生变化？若改变，请举例说明；若不变，请说明理由；（3）连接BM，BN，当OBM与OBN相似时，计算点M的坐标【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式求出a的值为1，得到ABx轴，根据点A的横坐标即可得到A的半径，过点A作AEMN于点E，利用勾股定理求出

32、ME的长度，再根据勾股定理即可得到MN的长度；（2）设点A坐标为（m，n），利用点A、B的坐标结合勾股定理表示出AB2，再根据勾股定理表示出ME2，并把AB2的表达式代入进行计算，然后根据点A在抛物线上得到m、n的关系式，整理即可得到ME1是常数，即得到MN的长度不变；（3）设出点M的坐标，并表示出点N的坐标，然后分点M、N在y轴同一侧，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可得到点M的坐标；点M、N在y轴两侧，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可得到点M的坐标【解答】解：（1）把点A（）代入得，a，B（0，1），ABx轴，A的半径为，如图1，过点A作AEMN于点E，连接AM，则A

33、MAB，ME1，由垂径定理，MN2ME212故此时A的半径为，弦MN的长为2；（2）MN不变如图2，理由如下：设点A（m，n），则AB2m2+（n+1）2，在RtAME中，ME2AM2AE2m2+（n+1）2n2m2+2n+1，点A在抛物线yx2上，m2n，将n代入ME2m2+2n+1得，ME21，ME1，由垂径定理得，MN2ME212（是定值，不变）；（3）由（2）知MN2，设M（x，0），则N（x+2，0）当OBM与OBN相似，有以下情况：M、N在y轴同侧，OBM与OBN相似，即OB2OMON，x（x+2）1，整理得，x2+2x10，解得：，当M、N在y轴右侧时，M（1+，0），当M、N在

34、y轴左侧时，M（1，0），M、N在y轴两侧时，OBM与OBN相似，即OB2OMON，x（x+2）1，整理得，x2+2x+10，解得x1，此时OBM与OBN全等，M（1，0），综合以上可得，M点的坐标为（1+，0）或（1，0）或（1，0）亲爱的读者：春去燕归来，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。1、三人行，必有我师。23.4.244.24.202309:0609:06:034月-2309:062、书是人类进步的阶梯。二二三年四月二十四日2023年4月24日星期一3、会当凌绝顶，一览众山小。09:064.24.202309

35、:064.24.202309:0609:06:034.24.202309:064.24.20234、纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。4.24.20234.24.202309:0609:0609:06:0309:06:035、一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。星期一, 四月 24, 2023四月 23星期一, 四月 24, 20234/24/20236、路遥知马力日久见人心。9时6分9时6分24-4月-234.24.20237、山不在高，有仙则灵。23.4.2423.4.2423.4.24。2023年4月24日星期一二二三年四月二十四日8、有花堪折直须折，莫待无花空折枝。09:0609:06:034.24.2023星期一, 四月 24, 2023