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1、平面向量复习讲义一向量有关概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。2零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向

2、量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有)；6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_（答：（4）（5）二向量的表示方法：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐

3、标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三平面向量的线性运算：（1）向量加法：三角形法则:（“首尾相接，首尾连”）,如图，已知向量a、.在平面内任取一点，作，则向量叫做与的和，记作定：a + 0-= 0 +aa a=a,当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|，则+的方向与相同，且|+|=|-|；若|0时，a的方向与a的方向_相同_；当0时，a的方向与a的方向相反_；当0时，a0_3向量数乘的运算律(a)_（）a_；()a_aa_；(ab)_ab_。（4）共线向量定理a是一个非零向量，若存在唯一一个实数，使得ba，则向量b与非零向量a共线（证明三点共线）三点共线共线

4、。注意：(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a、b不共线例1.设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线四 平面向量的基本定理： 如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1e2 我们把不共线的向量e1和e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。向量的夹角

5、:已知两个非零向量、，作，则AOB，叫向量、的夹角，当，、同向，当，、反向，当，与垂直，记作。例1如图，在ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设a，b，试用a，b表示.用方程思想解决平面向量的线性运算问题：例2如图所示，在ABO中，AD与BC相交于点M，设a，b.试用a和b表示向量.解设manb，则manba(m1)anb.ab.又A、M、D三点共线，与共线存在实数t，使得t，即(m1)anbt.(m1)anbtatb.，消去t得，m12n，即m2n1.又manbaanb，baab.又C、M、B三点共线，与共线存在实数t1，使得t1，anbt1，消去t1得，4mn1.

6、由得m，n，ab.课堂练习：（1）若，则_（答：）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D. （答：B）；（3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_（答：）；（4）已知中，点在边上，且，则的值是_（答：0）五 平面向量的坐标运算：若在平面直角坐标系下，a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)加法：ab(x1x2，y1y2)(2)减法：ab(x1x2，y1y2)(3)数乘：l a(l x1，l y1) （4）向量的坐标：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。 （5）中点坐标：若A(x1，

7、y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为 （6）向量相等：:若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 （7）向量共线或平行：a(x1，y1)，b(x2，y2)，若，则. 题型一 求向量的坐标OxAy 【例题1】如图所示，若,与轴正方向夹角为30，求向量的坐标. 【例题2】的三个顶点的坐标分别是，为的中点，求向量. 题型二 由向量相等求参数的值 【例题3】已知向量，若，求的值. 题型三 平面向量的坐标运算 1. 向量坐标运算的直接应用 【例题4】已知平面向量，则向量=（ ） A. B. C. D. 2. 利用向量坐标运算求点的坐标 【例题5】已知且,求的坐标. 题型四 平面向量平行的坐标

8、运算 【例题6】(1)若向量，当_时与共线且方向相同（答：2）；（2）已知，且，则x_（答：4）；（3）设，则k_时，A,B,C共线（答：2或11）六 平面向量的数量积（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角.说明：1当时，与同向；2当时，与反向；3当时，与垂直，记；4注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0q180（2）平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量，它们的夹角是，则数量叫的数量积，记作，即有=，（）.注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 其中是的夹角，叫做向量方向上（方向上）的投影。我们规定0向量与任何向量的数量积为0.（3） 两个

9、向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量， 1ab ab = 02当a与b同向时，ab = |a|b|； 当a与b反向时，ab = -|a|b|. 特别的aa = |a|2或 |ab| |a|b| cosq = 3当为锐角时，0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；当为直角时，=0.（4） 向量的投影：“投影”的概念：作图 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值； 当q为钝角时投影为负值； 当q为直角时投影为0；当q = 0时投影为 |b|； 当q = 180时投影为 -|b|.向

10、量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积.（5）向量的运算律：1交换律：，；2结合律：，；3分配律：，。如下列命题中： ； ； ； 若，则或；若则；。其中正确的是_（答：）（6） 向量的数量积的坐标表示、模、夹角：1 数量积：abx1x2y1y2，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。2向量垂直：abx1x2y1y203向量的模长：若a(x，y)，则4向量的夹角：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则5两点间的距离：若，则 6a在b方向上的正射影的数量为课堂练习：1.已知，且，则向量在向量上的投影为_（答：）2.已知，如果与的夹角为锐角，则的取

11、值范围是_（答：或且）；3.已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_（答：）；4.ABC中，则_（答：9）；5.已知，与的夹角为，则等于_（答：1）；6.已知，则等于_（答：）；7.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么_（答：）； 8.已知是两个非零向量，且，则的夹角为_七向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2），特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).（3）在中，若，则其重心的坐标为。如若ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则ABC的重心的坐标为_（答：）；为的重心，特别地为的重心；为的垂心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；的内心；（3）若P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，特别地为的中点；（4）向量中三终点共线存在实数使得且.如平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,若点满足,其中且,则点的轨迹是_（答：直线AB）