1、中考复习专题:隐型圆一、根据圆的定义作辅助圆例1 如图,四边形ABCD中,ABCD,ABACADp,BCq,求BD的长例2、如图,正方形ABCD的边长为2, 将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动如果点Q从点A出发,沿图中所示方向按滑动到点A为止,同时点F从点B出发,沿图中所示方向按滑动到点B为止,那么在这个过程中,线段QF的中点M所经过的路线长为_变式1: 在矩形ABCD中,已知AB=2cm,BC=3cm,现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边(即两个端点始终落在矩形的边上),按逆时针方向滑动一周,则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为_变式2:如图,在矩形A
2、BCD中,AB=2,AD=3,点E,F分别为AD,DC边上的点,且EF=2,G为 EF的中点,P为BC边上一动点,则PA+PG的最小值为_变式3:在平面直角坐标系中,点A的为坐标为(3,0),B为Y轴正半轴上的点,C是第一象限内的点,且AC=2,设tanBOC=m,则m的取值范围为_变式4:如图,在矩形ABCD中,AB4,AD6,E是AB边的中点,F是线段BC上的动点,将EBF沿EF所在直线折叠得到EBF,连接BD,则BD的小值是_式5:在RtABC中,C=90,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的
3、最小值是_变式6:如图,在ABC中,ACB=90,AB=5,BC=3,是AB边上的动点(不与点B重合),将BCP沿CP所在的直线翻折,得到BCP,连接BA,则BA长度的最小值是_变式7:如图,在平行四边形ABCD中,BCD=30,BC=4,CD=,M是AD边的中点,N是AB边上的一动点,将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN,连接AC,则AC长度的最小值是_练习:如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M是边CD上一点,将ADM沿直线AM对折,得到ANM(1)当AN平分MAB时,求DM的长;(2)连接BN,当DM=1时,求ABN的面积;(3)当射线BN交线段CD于点F时,求DF的最大值2.共端
4、点两条线段为定长在ABC中,AC=4,AB=5,则ABC面积的最大值为_变式1:已知在四边形ABCD中,AD+DB+BC=16,则四边形ABCD面积的最大值为_ .变式2:在ABC中,AB=3,AC= 当B最大,BC的长是_.3.共端点三条线段为定长引列 如图,已知AB=AC=AD, CBD=2BDC,BAC=44,则CAD的度数为_. 引列图 变式1图变式1:如图,在四边形ABCD中,DCAB,BC=1,AB=AC=AD=2,则BD=_. 变式2图 变式3图 变式2:如图,在等腰ABC中,AC=BC,C=70,点P在ABC的外部,且与点C均在AB的同侧.如果PC=BC,那么APC=_ .变式
5、3:如图,在OAB中,OA=OB,AOB=15.在OCD中,OC=OD, COD=45,且点C在OA边上.连接CB,将线段OB绕着点O逆时针旋转一定角度得到线段OE,使得DE=OE,则BOC的度数为_.知识架构如图,点A(2,0),B(6,0),CBx轴于点AC,在y轴正半轴 求作点P,使APB=ACB.(尺规作图,保留作图痕迹) 归纳:当某条边与该边所对的角是定值时,该角的定点的轨迹是圆弧方法:见直角 找斜边(定长) 想直径 定外心 现“圆”形。引例 已知A,B两点在直线L的异侧,在L上求作点P,使PAB为直角三角形,(尺规作图,保留痕迹)变式1:如图,在等腰RtABC中,ACB=90,AC
6、=BC=4,D为线段AC上一动点,连接BD,过点C作CHBD于点H,连接AH,则AH的最小值为_.变式2:如图,在正方形ABCD中,AB=2,动点E从点A出发向点D运动,同时动点F从点D出发向点C运动,点E,F运动的速度相同,当它们到达各自终点时停止运动,运动过程中线段AF,BE相交于点P,则线段DP的最小值为_.变式3:直线y=x+4分别与x轴,y轴相交于M,N,边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点,直线AN与MC相交于P.若正方形绕着点O旋转一周,则点P到点(0,2)长度的最小值是_.方法三:见定角找对边(定长)想周角转心角现“圆”形.问题提出 :如图,已知线段AB,试在平面内
7、找到符合所有条件的点C,ACB=30(利用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不写作法) 自主探索1:在平面直角坐标系中,已知点A(3,0),B(-1.0),C是y轴上一动点.当BCA=45时,点C的坐标为_ . 自主探索1图 自主探索2图自主探索2:在平面直角坐标系中,已知点A(3,0),B(-1,0),C是y轴上一动点.当BCA=60时,点C的坐标为_. 自主探索3图 自主探索4图 自主探索3:在平面直角坐标系中,已知点A(3,0),B(-1,0),C是y轴上一动点.当BCA=120时,点C的坐标为_.自主探索4:在平面直角坐标系中,已知点A(3,0),B(-1,0),C是y轴上一动点.当BCA
8、=135时,点C的坐标为_.变式1:如图,B是线段AC的终点,过点C的直线l于AC成60角,在直线l上取一点P,使APB=30,则满足条件的点P的个数是_. 变式1图变式2:如图,在边长为2的等边ABC中,动点D,E分别在BC,AC边上,且保持AE=CD,连接BE,AD,相交于点P,则CP的最小值为_. 变式3:如图,点A与点B的坐标分别是A(1,0),B(5,0),P是该平面直角坐标系内的一个动点.(1)使APB=30的点P有_个(2)若点P在y轴上,且APB=30,求满足条件的点P的坐标(3)当点P在y轴上移动时,APB是否存在最大值?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.变式4:(
9、1)请利用以上操作所获得的经验,在图的矩形ABCD内部用直尺于圆规作出一点P,使点P满足:BPC=BEC,且PB=PC。(要求:用直尺与圆规作出点P,保留作图痕迹) 图 图(2)如图,在平面直角坐标系的第一象限内有一点B,坐标为(2,m),过点B作ABy轴,BCx轴,垂足分别为A,C若点P在线段AB上滑动(点P可以与A,B重合),发现使得OPC=45的位置有两个,则m的取值范围为_. 变式5:如图,已知抛物线y=ax+bx+c(a0)与x轴交于A(1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C(0,2),连接AC,BC。(1)求抛物线的解析式;(2)若BC的垂直平分线交抛物线于D,E两点,求直线D
10、E的解析式;(3)若点P在抛物线的对称轴上,且CPB=CAB,求出所有满足条件的点P的坐标。二、结论类似于圆幂定理的形式时作辅助圆例 如图,在ABC中,ABAC,D是边BC上的一点,且AD,求BDDC的值三、探究动点对定线段所张的角时作辅助圆例1 如图,在直角梯形ABCD中,ABDC,B90,设ABa,DCb,ADc,当a、b、c之间满足什么关系时,在直线BC上存在点P,使APPD? 例2 如图,在平面直角坐标系xOy中,给定y轴正半轴上的两点A (0,8)、B(0,2),试在x轴正半轴上求一点C,使ACB取得最大值。 例3 已知RtABC中,AC5,BC12,ACB90,P是边AB上的动点,
11、Q是边BC上的动点,且CPQ90,求线段CQ的取值范围四、四点共圆判断四点共圆的常用方法有(1)对角互补的四边形的四个顶点共圆;(2)同底同侧顶角相等的两个三角形的四个顶点共圆判断四点共圆后,就可以借助过这四点的辅助圆解题例1 如图,E是正方形ABCD的边AB上的一点,过点E作DE的垂线交ABC的外角平分线于点F,求证:FEDE例2 如图等边PQR内接于正方形ABCD,其中点P、Q、R分别在边AD、AB、DC上,M是QR的中点,求证:不论等边PQR怎样运动,点M为不动点例3 如图,正方形ABCD的中心为O,面积为1989,P为正方形内的一点,且OPB45,PAPB514,求PB的长练习1.在直
12、角坐标系中,过A(-1,0)和B(3,0)的M上有点P.(1)若cosAPB= (APB是锐角),求M的半径;(2)在y轴上,是否存在一点D,使得ADB=45?若存在,求出点D的坐标.2.在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于两点(点在点的左侧),与轴交于点,点的坐标为,将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过两点(1)求直线及抛物线的解析式;(2)设抛物线的顶点为,点在抛物线的对称轴上,且,求点的坐标.3. 已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0)B(4,0)、,抛物线过点A、B顶点为C,点P(m,n)n0为抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;(2)当为钝角时,求的取值范围. 4
13、. 如图,已知点A(1,0),B(0,3),C(-3,0),动点P(x,y)在线段AB上,CP交y轴于点D,设BD的长为t.(1)求t关于动点P的横坐标x的函数表达式;(2)若SBCD:SAOB=2:1,求点P的坐标,并判断线段CD与线段AB的数量及位置关系,说明理由;(3)在(2)的条件下,若M为x轴上的点,且BMD最大,请求出点M的坐标.5.如图,点A与点B的坐标分别是(1,0),(5,0),点P是该平面直角坐标系内的一个动点(1)若点C平面直角坐标系内的一个点,且ABC是等边三角形,则点C的坐标是 ;(2)若点P在y轴上,且APB=30,求满足条件的点P的坐标;(3)当点P在y轴上移动时,APB是否有最大值?若有,求点P的坐标,并说明此时APB最大的理由;若没有,也请说明理由6.如图,直线y=x+3与x,y轴分别交于点A,B,与反比例函数的图象交于点P(2,1)(1)求该反比例函数的关系式;(2)设PCy轴于点C,点A关于y轴的对称点为A;求ABC的周长和sinBAC的值;对大于1的常数m,求x轴上的点M的坐标,使得sinBMC=
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