南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试含答案.doc

1、高三数学试题第 1 页（共 4 页） 南京市、盐城市 2018 届高三年级第一次模拟考试 数 学 试 题 (总分总分 160 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟) 注意事项：注意事项： 1本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 160 分，考试形式闭卷 2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分 3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题 卡上 参考公式： 柱体体积公式：柱体体积公式：VSh，其中，其中S为底面积为底面积, ,h为高为高. . 一、填一、填空题空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 不需写出解

2、答过程，请把答案写在答 题纸的指定位置上） 1已知集合| (4)0Ax x x，0,1,5B ，则AB I 2设复数(,zai aR i为虚数单位） ，若(1) iz为纯虚数，则a的值为 3为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级 4000 名学生 中随机抽取 100 名学生进行问卷调查，所得数据均在区间50,100上，其频率分布直方图 如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在70,80)(单位：分钟)内 的学生人数为 4执行如图所示的伪代码，若0x，则输出的y的值为 5口袋中有形状和大小完全相同的 4 个球，球的编号分别为 1，2，3，4，若从袋中一

3、次随 机摸出 2 个球，则摸出的 2 个球的编号之和大于 4 的概率为 6若抛物线 2 2ypx的焦点与双曲线 22 1 45 xy 的右焦点重合，则实数p的值为 时间(单位:分钟) 频率 组距 50 60 70 80 90 100 0.035 a 0.020 0.010 0.005 第 3 题图 Read x If 0x Then lnyx Else x ye End If Print y 第 4 题图 高三数学试题第 2 页（共 4 页） 7设函数 1 x x yea e 的值域为A，若0,)A，则实数a的取值范围是 8已知锐角, 满足tan1 tan12，则的值为 9若函数sinyx在区

4、间0,2 上单调递增，则实数的取值范围是 10设 n S为等差数列 n a的前n项和，若 n a的前 2017 项中的奇数项和为 2018， 则 2017 S的值为 11 设函数( )f x是偶函数， 当 x0 时，( )f x= (3),03, 3 1,3 xxx x x ， 若函数( )yf xm 有四个不同的零点，则实数 m 的取值范围是 12在平面直角坐标系xOy中，若直线(3 3)yk x上存在一点P，圆 22 (1)1xy上 存在一点Q，满足3OPOQ，则实数k的最小值为 13如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为 1，正六边形的顶 点称为“晶格点” 若, ,A B C D四

5、点均位于图中的“晶格点”处， 且,A B的位置所图所示，则CDAB的最大值为 14若不等式 2 sinsinsin19sinsinkBACBC对任意ABC都成立， 则实数k的最小值为 二、解答题二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内） 15(本小题满分 14 分) 如图所示，在直三棱柱 111 ABCABC中，CACB，点,M N分别是 11 ,AB AB的中点. （1）求证：BN平面 1 AMC； （2）若 11 AMAB，求证： 11 ABAC. 16(本小题满分 14 分) 在ABC中，角, ,A B

6、 C的对边分别为, , ,a b c 已知 5 2 cb. （1）若2CB，求cosB的值； （2）若AB ACCA CB，求cos() 4 B 的值 A B 第 13 题图 A B C A1 B1 C1 M N 第 15 题图 高三数学试题第 3 页（共 4 页） 17(本小题满分 14 分) 有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计） ，一边AB长为 6 分米，另一边足够长现从中截 取矩形ABCD（如图甲所示） ，再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好 能折卷成一个 底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计） ，其中OEMF是以O为圆 心、120EOF的扇形，且弧EF,GH分别与边BC,

7、AD相切于点M,N （1）当BE长为 1 分米时，求折卷成的包装盒的容积； （2）当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？ 18. (本小题满分 16 分) 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的下顶点为B，点 ,M N是椭圆上异于点B的动点，直线,BM BN分别与x轴交于点,P Q，且点Q是线 段OP的中点当点N运动到点 3 ( 3,) 2 处时，点Q的坐标为 2 3 (,0) 3 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线MN交y轴于点D，当点,M N均在y轴右侧，且2DNNM时，求直线 BM的方程 x y O B N M P Q D

8、第 18 题图 A D C B E G F O M N H 第 17 题-图甲 N E F G H 第 17 题-图乙 M N 高三数学试题第 4 页（共 4 页） 19(本小题满分 16 分) 设数列 n a满足 22 1121 () nnn aaaaa ，其中2n，且nN，为常数. （1）若 n a是等差数列，且公差0d ，求的值； （2）若 123 1 ,2,4aaa，且存在3,7r，使得 n m anr卪对任意的 * nN都成 立，求mm的最小值； （3）若0，且数列 n a不是常数列，如果存在正整数T，使得 n Tn aa 对任意的 * nN均成立. 求所有满足条件的数列 n a中T

9、的最小值. 20(本小题满分 16 分) 设函数( )lnf xx，( ) b g xaxc x （, ,a b cR）. （1）当0c 时，若函数( )f x与( )g x的图象在1x 处有相同的切线，求, a b的值； （2）当3ba 时，若对任意 0 (1,)x 和任意(0,3)a，总存在不相等的正实数 12 ,x x，使得 120 ( )()()g xg xf x，求c的最小值； （3）当1a 时，设函数( )yf x与( )yg x的图象交于 11 ( ,),A x y 2212 (,)()B xyxx 两点求证： 122121 x xxbx xx. 高三数学试题第 5 页（共 4

10、页） 南京市、盐城市 2018 届高三年级第一次模拟考试 数学附加题部分 （本部分满分本部分满分 40 分，考试时间分，考试时间 30 分钟）分钟） 21选做题选做题（在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，计 20 分请把答案 写在答题纸的指定区域内） A.（选修 4-1：几何证明选讲） 如图，已知AB为O的直径，直线DE与O相切于点E，AD垂直DE于点D. 若 4DE ，求切点E到直径AB的距离EF B.（选修 4-2：矩阵与变换） 已知矩阵 2 0 0 1 M，求圆 22 1xy在矩阵M的变换下所得的曲线方程. C （选修 4-4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中

11、，直线cos()1 3 与曲线r(0r )相切，求r的值. D(选修 4-5：不等式选讲） 已知实数, x y满足 22 31xy，求当xy取最大值时x的值. A B E D F O 第 21(A)图 高三数学试题第 6 页（共 4 页） 必做题必做题（第 22、23 题，每小题 10 分，计 20 分请把答案写在答题纸的指定区域内） 22 （本小题满分 10 分） 如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP底面ABCD， 点M为PC中点，4,2,4ACBDOP. （1）求直线AP与BM所成角的余弦值； （2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值 23 （本小

12、题满分 10 分） 已知nN ， 011211 2 rrnn nnnnnnnn nf nC CC CrCCnCC （1）求 1 ,f 2 ,f 3f 的值； （2）试猜想 f n的表达式（用一个组合数表示） ，并证明你的猜想 M A B C D O P 第 22 题图 高三数学试题第 7 页（共 4 页） 南京市、盐城市 2018 届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案 一、填空题一、填空题：本大题共本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，计分，计 7070 分分. . 1 1 21 31200 41 5 2 3 66 7(,2 8 3 4 9 1 (0, 4 104034

13、11 9 1, ) 4 123 1324 14100 二、解答题：二、解答题：本大题共本大题共 6 小题，计小题，计 90 分分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内请把答案写在答题纸的指定区域内. 15证明： （1）因为 111 ABCABC是直三棱柱，所以 11 / /ABAB，且 11 ABAB， 又点,M N分别是 11 ,AB AB的中点，所以 1 MBAN，且 1 / /MBAN 所以四边形 1 ANBM是平行四边形，从而 1 / /AMBN 4 分 又BN 平面 1 AM C， 1 AM 平面

14、 1 AM C，所以BN面 1 AMC 6 分 （2）因为 111 ABCABC是直三棱柱，所以 1 AA 底面ABC，而 1 AA 侧面 11 ABB A， 所以侧面 11 ABB A 底面ABC 又CACB，且M是AB的中点，所以CMAB 则由侧面 11 ABB A 底面ABC，侧面 11 ABB A底面ABCAB， CMAB，且CM 底面ABC，得CM 侧面 11 ABB A 8 分 又 1 AB 侧面 11 ABB A，所以 1 ABCM 10 分 又 11 ABAM， 1 ,AM MC 平面 1 AMC，且 1 AMMCM， 所以 1 AB 平面 1 AMC 12 分 高三数学试题第

15、 8 页（共 4 页） 又 1 AC 平面 1 AMC，所以 11 ABAC 14 分 16解： （1）因为 5 2 cb，则由正弦定理，得 5 sinsin 2 CB 2 分 又2CB，所以 5 sin2sin 2 BB，即 4sincos5sinBBB 4 分 又B是ABC的内角，所以sin0B，故 5 cos 4 B 6 分 （2）因为AB ACCA CB， 所以coscoscbAbaC，则由余弦定理， 得 222222 bcabac，得 ac 10 分 从而 222 222 2 2 () 3 5 cos 225 ccc acb B acc ， 12 分 又0B，所以 2 4 sin1

16、cos 5 BB 从而 32422 cos()coscossinsin 444525210 BBB 14 分 17解： （1）在图甲中，连接MO交EF于点T设OEOFOMR， 在Rt OET中 ， 因 为 1 60 2 EOTEOF， 所 以 2 R OT ， 则 2 R M TO MO T 从而 2 R BEMT，即 22RBE. 2 分 故所得柱体的底面积 OEFOEF SSS 扇形 22 114 sin1203 323 RR . 4 分 C B E G F O M N H T 高三数学试题第 9 页（共 4 页） 又所得柱体的高4EG ， 所以VSEG 16 4 3 3 . 答：当BE长

17、为 1 分米时，折卷成的包装盒的容积 为 16 4 3 3 立方分米. 6 分 （2）设BEx，则2Rx，所以所得柱体的底面积 OEFOEF SSS 扇形 222 114 sin120(3) 323 RRx . 又所得柱体的高6 2EGx ， 所以VSEG 32 8 (2 3)(3) 3 xx ，其中 03x. 10 分 令 32 ( )3,(0,3)f xxxx ，则由 2 ( )363 (2)0fxxxx x ， 解得 2x. 12 分 列表如下： x (0,2) 2 (2,3) ( )fx 0 ( )f x 增 极大值 减 所以当2x时，( )f x取得最大值. 答 ： 当BE的 长 为

18、2分 米 时 ， 折 卷 成 的 包 装 盒 的 容 积 最 大. 14 分 18 解 ： （ 1 ） 由 32 ( 3,),(3,0) 23 NQ， 得 直 线NQ的 方 程 为 3 3 2 yx 2 分 令0x，得点B的坐标为(0,3) 所以椭圆的方程为 22 2 1 3 xy a 4 分 将点N的坐标 3 ( 3,) 2 代入，得 2 2 2 3 () ( 3) 2 1 3a ，解得 2 4a 所以椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy 8 分 高三数学试题第 10 页（共 4 页） （2）方法一：设直线BM的斜率为(0)k k ，则直线BM的方程为3ykx 在3ykx中，令0y ，得

19、 3 P x k ，而点Q是线段OP的中点，所以 3 2 Q x k 所以直线BN的斜率 0(3) 2 3 0 2 BNBQ kkk k 10 分 联立 22 3 1 43 ykx xy ，消去y，得 22 (34)8 30kxkx，解得 2 8 3 34 M k x k 用2k代k，得 2 163 316 N k x k 12 分 又2DNNM，所以2() NMN xxx，得 23 MN xx 14 分 故 22 8 316 3 23 343 16 kk kk ，又0k ，解得 6 2 k 所以直线BM的方程为 6 3 2 yx 16 分 方法二：设点,M N的坐标分别为 1122 ( ,)

20、,(,)x yxy 由(0,3)B，得直线BN的方程为 1 1 3 3 y yx x ，令0y ，得 1 1 3 3 P x x y 同理，得 2 2 3 3 Q x x y 而点Q是线段OP的中点，所以2 PQ xx，故 12 12 32 3 33 xx yy 10 分 又2DNNM，所以 212 2()xxx，得 21 2 0 3 xx，从而 12 4 1 3 33yy ， 解得 21 43 33 yy 12 分 高三数学试题第 11 页（共 4 页） 将 21 21 2 3 43 33 xx yy 代入到椭圆 C 的方程中，得 22 11 (43) 1 927 xy 又 2 2 1 1

21、4(1) 3 y x，所以 2 1 2 1 4(1) (43) 3 1 927 y y ，即 2 11 3230yy， 解 得 1 3y （ 舍 ） 或 1 3 3 y 又 1 0x ， 所 以 点M的 坐 标 为 4 23 (,) 33 M14 分 故直线BM的方程为 6 3 2 yx 16 分 19解： （1）由题意，可得 22 ()() nnn aad add， 化简得 2 (1)0d，又0d ，所以 1. 4 分 （2）将 123 1,2,4aaa代入条件，可得41 4 ，解得0， 所以 2 11nnn aaa ，所以数列 n a是首项为 1，公比2q 的等比数列，所以 1 2n n

22、a . 6 分 欲存在3,7r，使得 1 2nmnr ，即 1 2nr nm 对任意 * nN都成立， 则 1 72nnm ，所以 1 7 2n n m 对任意 * nN都成 立. 8 分 令 1 7 2 n n n b ，则 1 1 678 222 nn nnn nnn bb ， 所以当8n时， 1nn bb ；当8n时， 98 bb；当8n时， 1nn bb 所以 n b的最大值为 98 1 128 bb，所以m的最小值为 1 128 . 10 分 （3）因为数列 n a不是常数列，所以2T 若2T ，则 2nn aa 恒成立，从而 31 aa， 42 aa，所以 222 2121 222

23、 1221 () () aaaa aaaa ， 所以 2 21 ()0aa，又0，所以 21 aa，可得 n a是常数列矛盾 所以2T 不合题 高三数学试题第 12 页（共 4 页） 意. 12 分 若3T ， 取 * 1,32 2,31() 3,3 n nk ankkN nk （ * ）， 满 足 3nn aa 恒 成 立 14 分 由 22 21321 ()aa aaa，得7 则条件式变为 2 11 7 nnn aaa 由 2 21 ( 3)7 ，知 22 3132321 () kkk aaaaa ； 由 2 ( 3)2 1 7 ，知 22 3313121 () kkk aaaaa ； 由

24、 2 1( 3) 27 ，知 22 3133221 () kkk aa aaa 所以，数列（*）适合题意 所以T的最小值为 3. 16 分 20解： （1）由( )lnf xx，得(1)0f，又 1 ( )fx x ，所以(1)1 f ，. 当0c 时，( ) b g xax x ，所以 2 ( ) b g xa x ，所以 (1)gab. 2 分 因为函数( )f x与( )g x的图象在1x 处有相同的切线， 所以 (1)(1) (1)(1) fg fg ，即 1 0 ab ab ，解得 1 2 1 2 a b . 4 分 （2）当 0 1x 时，则 0 ()0f x，又3ba ，设 0

25、()tf x， 则 题 意 可 转 化 为 方 程 3 (0) a axct t x 在(0,)上 有 相 异 两 实 根 12 ,x x 6 分 即关于x的方程 2 ()(3)0(0)axct xat在(0,)上有相异两实根 12 ,x x 高三数学试题第 13 页（共 4 页） 所以 2 12 12 03 ()4 (3)0 0 3 0 a ctaa ct xx a a x x a ，得 2 03 ()4 (3) 0 a ctaa ct ， 所以2(3)caat对(0,),(0,3)ta恒成 立 8 分 因为03a，所以 2 (3) 2(3) 2()3 2 aa aa ?（当且仅当 3 2

26、a 时取等号） ， 又0t ，所以2(3)aat -的取值范围是(,3)，所以3c 故c的最小值为 3. 10 分 （3）当1a 时，因为函数( )f x与( )g x的图象交于,A B两点， 所以 11 1 22 2 ln ln b xxc x b xxc x ，两式相减，得 21 12 21 lnln (1) xx bx x xx . 12 分 要证明 122121 x xxbx xx，即证 21 12212121 21 lnln (1) xx x xxx xx xx xx ， 即证 21 2211 lnln11xx xxxx ，即证 122 211 1ln1 xxx xxx . 14 分

27、 令 2 1 x t x ，则1t ，此时即证 1 1ln1tt t 令 1 ( )ln1tt t ，所以 22 111 ( )0 t t ttt ，所以当1t 时，函数( ) t单调递 增 又(1)0，所以 1 ( )ln10tt t ，即 1 1lnt t 成立； 再令( )ln1m ttt ，所以 11 ( )10 t m t tt ，所以当1t 时，函数( )m t单调递 减， 高三数学试题第 14 页（共 4 页） 又(1)0m，所以( )ln10m ttt ，即ln1tt 也成立 综上所述， 实数 12 ,x x满足 122121 xxxbxxx. 16 分 附加题答案 21 （A

28、）解：如图，连接AE，OE， 因为直线DE与O相切于点E，所以DEOE， 又因为AD垂直DE于D，所以/ADOE，所以DAEOEA， 在O中OEOA，所以OEAOAE， 5 分 由得DAEOAE，即DAEFAE ， 又ADEAFE ，AEAE， 所以ADEAFE ，所以DEFE，又4DE ，所以4FE ， 即E到直径AB的距离为 4. 10 分 （B）解：设 00 ,P x y是圆 22 1xy上任意一点，则 22 00 1xy， 设点 00 ,P x y在矩阵M对应的变换下所得的点为,Q x y，则 0 0 2 0 0 1 xx yy ， 即 0 0 2xx yy ，解得 0 0 1 2 x

29、x yy ， 5 分 代入 22 00 1xy，得 2 2 1 4 x y，即为所求的曲线方 程. 10 分 （C）解：以极点 O 为原点，极轴Ox为x轴建立平面直角坐标系， 由cos()1 3 ，得(coscossinsin)1 33 ， 得直线的直角坐标方程为 320xy 5 分 曲线r，即圆 222 xyr， 所以圆心到直线的距离为 0302 1 1 3 d 因 为 直 线c o s ()1 3 与 曲 线r（0r ） 相 切 ， 所 以rd， 即 1r . 10 分 A B E D F O 第 21(A)图 高三数学试题第 15 页（共 4 页） （D）解：由柯西不等式，得 22222

30、 33 ( 3 ) 1() (13) 33 xyxy ， 即 222 4 (3)() 3 xyxy 而 22 31xy，所以 2 4 () 3 xy，所以 22 33 33 xy， 5 分 由 3 13 3 2 3 3 xy xy ， 得 3 2 3 6 x y ， 所以当且仅当 33 , 26 xy时， max 2 ()3 3 xy 所以当xy取最大值时x的值为 3 2 x . 10 分 22解： （1）因为ABCD是菱形，所以ACBD又OP底面ABCD，以O为原点，直线 ,OA OB OP 分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系 则(2,0,0)A,(0,1,0)B,(0,0,

31、4)P,( 2,0,0)C ,( 1,0,2)M 所以( 2,0,4)AP ，( 1, 1,2)BM ，10AP BM， | 2 5AP ，|6BM 则 1030 cos, 6|2 56 AP BM AP BM APBM 故直线AP与BM所成角的余弦值为 30 6 . 5 分 （2）( 2,1,0)AB ，( 1, 1,2)BM 设平面ABM的一个法向量为( , , )nx y z， 则 0 0 n AB n BM ，得 20 20 xy xyz ，令2x，得4y ，3z 得平面ABM的一个法向量为(2,4,3)n 又平面PAC的一个法向量为(0,1,0)OB ，所以n 4OB ，|29n ，

32、| 1OB 则 44 cos,29 29|29 n OB n OB n OB . 故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为 M A B C D O P 第 22 题图 x y z 高三数学试题第 16 页（共 4 页） 4 29 29 . 10 分 23解： （1）由条件， 011211 2 rrnn nnnnnnnn nf nC CC CrCCnCC ， 在中令1n ，得 01 11 11fC C 1 分 在中令2n，得 0112 2222 2226fC CC C，得 23f 2 分 在中令3n，得 011223 333333 332330fC CC CC C，得 310f 3 分 （

33、2）猜想 f n= 21 n n C （或 f n= 1 21 n n C ） 5 分 欲证猜想成立，只要证等式 011211 21 2 nrrnn nnnnnnnnn nCC CC CrCCnCC 成立 方法一：当1n 时，等式显然成立， 当2n时，因为 1 1 !(1)! = !()!(1)!()!(1)!()! rr nn rnnn rCnnC r nrrnrrnr （ ） ， 故 1111 1 () rrrrrr nnnnnn rCCrC CnCC 故只需证明 00111111 211111 nrrnn nnnnnnnnn nCnCCnCCnCCnCC 即证 00111111 2111

34、11 nrrnn nnnnnnnnn CCCCCCCCC 而 11rn r nn CC ，故即证 0111111 211111 nnnrn rn nnnnnnnnn CCCCCCCCC 由等式 211 (1)(1)(1) nnn xxx 可得，左边 n x的系数为 21 n n C 而右边 1 (1)(1) nn xx 0122110122 1111 nnnn nnnnnnnn CCxCxCxCCxCxCx ， 所以 n x的系数为 0111111 1111 nnrn rn nnnnnnnn CCCCCCCC 由 211 (1)(1)(1) nnn xxx 恒成立可得成立. 综上， 21 n

35、n f nC 成 立. 10 分 方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n个小球，其中 n 个是编号为 1，2，n 的白球，其余 n1 个是编号为 1，2，n1 的黑球，现从袋中任意摸出 n 个小球， 一方面，由分步计数原理其中含有r个黑球（nr个白球）的 n 个小球的组合的个数为 1 rn r nn CC ，01rn，由分类计数原理有从袋中任意摸出 n 个小球的组合的总数为 01111 111 nnn nnnnnn CCCCCC 另一方面，从袋中21n个小球中任意摸出 n 个小球的组合的个数为 21 n n C 故 01111 21111 nnnn nnnnnnn CCCCCCC ， 即

36、 成 立 . 余 下 同 方 法 一. 10 分 方法三：由二项式定理，得 0122 (1)n nn nnnn xCC xC xC x 高三数学试题第 17 页（共 4 页） 两边求导，得 112111 (1)2 nrrnn nnnn nxCC xrC xnC x ， 得 21012212111 (1)()(2) nnnrrnn nnnnnnnn nxCC xC xC xCC xrC xnC x 左边 n x的系数为 21 n n nC 右边 n x的系数为 12111 2 nnrn rn nnnnnnnn C CC CrC CnC C 102111 2 rrnn nnnnnnnn C CC CrC CnC C 011211 2 rrnn nnnnnnnn C CC CrCCnCC 由恒成立，可得 011211 21 2 nrrnn nnnnnnnnn nCC CC CrCCnCC 故 21 n n f nC 成 立. 10 分