2021年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)和答案.doc

1、2021年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设集合Mx|0x4，Nx|x5（）Ax|0xBx|x4Cx|4x5Dx|0x52（5分）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D估计该地有一半以上的农户，其家庭

2、年收入介于4.5万元至8.5万元之间3（5分）已知（1i）2z3+2i，则z（）A1iB1+iC+iDi4（5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L5+lgV已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9（）（1.259）A1.5B1.2C0.8D0.65（5分）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且F1PF260，|PF1|3|PF2|，则C的离心率为（）ABCD6（5分）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G该正方体截去三棱锥AEFG后，正视图如图所示，则相应

3、的侧视图是（）ABCD7（5分）等比数列an的公比为q，前n项和为Sn设甲：q0，乙：Sn是递增数列，则（）A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8（5分）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，B，C三点，且A，B，B，C满足ACB45，BB与CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45，C两点到水平面ABC的高度差AACC约为（）（1.732）A346B373C446D4739（5分）若（

4、0，），tan2，则tan（）ABCD10（5分）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）ABCD11（5分）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且ACBC，则三棱锥OABC的体积为（）ABCD12（5分）设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2），当x1，2时，f（x）2+b若f（0）+f（3）6（）（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）曲线y在点（1，3）处的切线方程为 14（5分）已知向量（3，1），（1，0），+k若 15（5分）已知F1，F2为椭圆C：+1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点1

5、F2|，则四边形PF1QF2的面积为 16（5分）已知函数f（x）2cos（x+）的部分图像如图所示（x）f（）（f（x）（）0的最小正整数x为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有99

6、%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：K2P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818（12分）已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列an是等差数列；数列是等差数列23a1注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分19（12分）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，ABBC2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BFA1B1（1）证明：BFDE；（2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？20（12分）抛

7、物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x1交C于P，且OPOQ已知点M（2，0），且M与l相切（1）求C，M的方程；（2）设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与M相切判断直线A2A3与M的位置关系，并说明理由21（12分）已知a0且a1，函数f（x） （x0）（1）当a2时，求f（x）的单调区间；（2）若曲线yf（x）与直线y1有且仅有两个交点，求a的取值范围（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立

8、极坐标系cos（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为（1，0），M为C上的动点，点P满足1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）|x2|，g（x）|2x+3|2x1|（1）画出yf（x）和yg（x）的图像；（2）若f（x+a）g（x），求a的取值范围2021年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）答案与卡片一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1参考答案：集合Mx|0x4，Nx|，则MNx|，故选：B2参考答案：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农

9、户比率为（6.02+0.04）16.066%；对于B，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为（8.04+0.023）20.110%；对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为60.02+45.04+50.2+60.14+50.2+70.2+80.1+108.1+110.04+128.02+130.02+140.027.686.5万元；对于D，家庭年收入介于8.5万元至8.4万元之间的频率为（0.1+7.14+0.2+7.2）18.640.5，故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于8.5万元至8.8万元之间故选：C3参考答案：因为（1i）2z5+2i，所以故选：B4参考答案：在L5

10、+lgV中，L4.4，即lgV0.1，解得V102.10.2，所以其视力的小数记录法的数据约为0.8故选：C5参考答案：F1，F2为双曲线C的两个焦点，P是C上的一点7|3|PF2|，设|PF7|3m，|PF2|m，由双曲线的定义可得|PF6|PF2|2m2a，即ma，所以|PF1|3a，|PF6|a，因为F1PF260，|F6F2|2c，所以8c29a7+a225aacos60，整理得4c26a2，所以e故选：A6参考答案：由题意，作出正方体，根据正视图，可得AEFG在正方体左侧面，如图，可得相应的侧视图是D图形，故选：D7参考答案：若a11，q6nna1n，则Sn是递减数列，不满足充分性；

11、Sn（1qn），则Sn+1（1qn+6），Sn+1Sn（qnqn+1）a1qn，若Sn是递增数列，Sn+7Sna1qn0，则a70，q0，满足必要性，故甲是乙的必要条件但不是充分条件，故选：B8参考答案：过C作CHBB于H，过B作BMAA于M，则BCH15，BH100，CHCB，BBMAtanBCHtan15tan（4530），sin75sin（45+30）则在RtBCH中，CH），CB100（2+）在ABC中，由正弦定理知100（，AM100（，AACCAM+BH100（+1）+100373，故选：B9参考答案：由tan2，得，即，（0，），cos0，则2sin（6sin）12sin5，解得

12、sin，则cos，tan故选：A10参考答案：4个1和7个0随机排成一行，共有种，2个6不相邻，先将4个1全排列种，故2个5不相邻的概率为故选：C11参考答案：因为ACBC，ACBC1，所以底面ABC为等腰直角三角形，所以ABC所在的截面圆的圆心O1为斜边AB的中点，所以OO7平面ABC，在RtABC中，AB，则，在RtAOO1中，故三棱锥OABC的体积为故选：A12参考答案：f（x+1）为奇函数，f（1）0，f（x+3）偶函数，f（x+2）f（x+2），f（x+5）+1f（x+1）+8f（x），即f（x+2）f（x），f（x+2）f（x+3）f（x）令tx，则f（t+2）f（t），f（t+4

13、）f（t+2）f（t），f（x+4）f（x）当x1，2时2+bf（0）f（1+6）f（2）4ab，f（3）f（1+8）f（1+2）f（1）a+b，又f（0）+f（3）6，3a6，f（1）a+b7，ba2，当x1，8时2+2，f（）f（）（4故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13参考答案：因为y，（1，所以y，所以y|x16，则曲线y在点（1y（3）2x（1），即5xy+40故答案为：5xy+6014参考答案：因为向量（3，（1，+k，由，则32+32+k（32+10）10+2k0，解得k故答案为：15参考答案：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点1F2|，所以四边形PF

14、6QF2为矩形，设|PF1|m，|PF4|n，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|m+n4a8，所以m2+4mn+n264，因为|PF1|7+|PF2|2|F8F2|25c24（a5b2）48，即m2+n348，所以mn8，所以四边形PF1QF7的面积为|PF1|PF2|mn8故答案为：816参考答案：由图像可得，即周期为，T，观察图像可知当，5（），且，x2时最小，且满足题意，故答案为：2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17参考答案：由题意，可得甲机

15、床，因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为；因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为；（2）根据23列联表，可得K210.2566.635所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异18参考答案：选择为条件，结论证明过程如下：由题意可得：a2a1+d4a1，d2a4，数列的前n项和：，故（n2），据此可得数列 是等差数列选择为条件，结论：设数列an的公差为d，则：，数列 为等差数列，即：，整理可得：d2a1，a5a1+d3a8选择为条件，结论：由题意可得：S2a1+a34a1，则数列 的公差为，通项公式为：，据此可得，当n7时，当n1时上式也成立，故

16、数列的通项公式为：an（2n5）a1，由an+1an3（n+1）1a8（2n1）a22a1，可知数列an是等差数列19【解答】（1）证明：连接AF，E，F分别为直三棱柱ABCA1B1C4的棱AC和CC1的中点，且ABBC2，CF6，BF，BFA1B6，ABA1B1，BFABAF6，AC4AB2+BC2，即BABC，故以B为原点，BA，BB8所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，5），0，0），6，0），1，4），2，1），设B4Dm，则D（m，0，（0，5，（1m，1，3（2）解：AB平面BB1C1C，平面BB8C1C的一个法向量为（1，2，由（1）知，（1m，

17、1，（6，1，设平面DEF的法向量为（x，y，则，即，令x3，则ym+6，（3，2m），cos，当m时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，故当B4D时，面BB7C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小20参考答案：（1）因为x1与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：y27px（p0），令x1，则，根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，故，因为OPOQ，故，抛物线C的方程为：y2x，因为M与l相切，故其半径为82+y28（2）设A1（x1，y3），A2（x2，y8），A3（x3，y3）当A1，A2，A5其中某一个为坐标原点时（假设A1为坐标原点时），

18、设直线A1A8方程为kxy0，根据点M（28，联立直线A8A2与抛物线方程可得x3，此时直线A5A3与M的位置关系为相切，当A1，A2，A3都不是坐标原点时，即x1x5x3，直线A1A6的方程为x（y1+y2）y+y6y20，此时有，即，同理，由对称性可得，所以y2，y6是方程 的两根，依题意有，直线A2A6的方程为x（y2+y3）y+y6y30，令M到直线A4A3的距离为d，则有，此时直线A6A3与M的位置关系也为相切，综上，直线A2A3与M相切21参考答案：（1）a2时，f（x），f（x），当x（8，）时，当x（，f（x）0，故f（x）在（5，）上单调递增，+）上单调递减（2）由题知f（x

19、）1在（5，+）有两个不等实根，f（x）1xaaxalnxxlna，令g（x），g（x），e）上单调递增，+）上单调递减，又g（x），g（1）5，作出g（x）的图象，如图所示：由图象可得0，解得a5且ae，即a的取值范围是（1，e）（e（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22参考答案：（1）由极坐标方程为2cos62cos，化为直角坐标方程是x8+y22x，即+y82，表示圆心为C（，半径为（2）设点P的直角坐标为（x，y）1，y1），因为A（4，所以（x1，（x17，y1），由，即，解得，所以M（

20、x1）+1，代入C的方程得+，化简得点P的轨迹方程是+y23，表示圆心为C1（3，0）；化为参数方程是，为参数；计算|CC6|（3）2，所以圆C与圆C1内含，没有公共点选修4-5：不等式选讲（10分）23参考答案：（1）函数f（x）|x2|，g（x）|8x+3|2x5|画出yf（x）和yg（x）的图像；（2）由图像可得：f（6）4，g（，若f（x+a）g（x），说明把函数f（x）的图像向左或向右平移|a|单位以后，由图像观察可得：a2+4a的取值范围为，+）考点卡片1交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作AB符号语言：ABx|xA，且xB

21、AB实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集运算形状：ABBAAAAAABA，ABBABAABAB，两个集合没有相同元素A（UA）U（AB）（UA）（UB）【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：有限集找相同；无限集用数轴、韦恩图【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题2充分条件、必要条件、充要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时

22、，可表示为pq，称p为q的充分条件，q是p的必要条件事实上，与“pq”等价的逆否命题是“qp”它的意义是：若q不成立，则p一定不成立这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件例如：p：x2；q：x0显然xp，则xq等价于xq，则xp一定成立2、充要条件：如果既有“pq”，又有“qp”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“pq”p与q互为充要条件【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混

23、淆二者的关系判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系【命题方向】 充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都

24、相关，所以命题的范围特别广3函数的图象与图象的变换【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题【图象的变换】1利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）其次：列表（尤其注意特殊点、零点、

25、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线2利用图象变换法作函数的图象（1）平移变换：yf（x）a0，右移a个单位（a0，左移|a|个单位）yf（xa）；yf（x）b0，上移b个单位（b0，下移|b|个单位）yf（x）+b（2）伸缩变换：yf（x） yf（x）；yf（x）A1，伸为原来的A倍（0A1，缩为原来的A倍）yAf（x）（3）对称变换：yf（x）关于x轴对称yf（x）；yf（x）关于y轴对称yf（x）；yf（x）关于原点对称yf（x）（4）翻折变换：yf（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边yf（|x|）；yf（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y

26、|f（x）|解题方法点拨1、画函数图象的一般方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法（1）知图选式：从图象的左右、上下分布，观察函

27、数的定义域、值域；从图象的变化趋势，观察函数的单调性；从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；从图象的循环往复，观察函数的周期性利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项（2）知式选图：从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；从函数的奇偶性，判断图象的对称性从函数的周期性，判断图象的循环往复利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口3、（1）利有函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象

28、的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等（2）利用函数的图象研究方程根的个数有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值4、方法归纳：（1）1个易错点图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错（2）3个关键点正确作出函数图象的三个关键点为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：正确求出函数的定义域；熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如yx+的函数；掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常

29、用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程（3）3种方法识图的方法 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题4函数奇偶性的性质与判断【知识点的认识】如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0

30、，0）对称如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称【解题方法点拨】奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）0解相关的未知量；奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）f（x）解相关参数；偶函数：在定义域内一般是用f（x）f（x）这个去求解；对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反例题：函数yx|x|+px，xR是（） A偶函数 B奇函数 C非奇非偶 D与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称因为f（x）x|x|pxx|x|pxf（x），所以f（x

31、）是奇函数故选B 【命题方向】函数奇偶性的应用 本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率5函数的值【知识点的认识】 函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围【解题方法点拨】 求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：基本不等式法：如当x0时，求2x+的最小值，有2x+28；转化法：如求|x5|+|x3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x5和x3的距离之和，易知最小值为2；求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值

32、最后进行比较例题：求f（x）lnxx在（0，+）的值域 解：f（x）1易知函数在（0，1单调递增，（1，+）单调递减最大值为：ln111，无最小值； 故值域为（，1）【命题方向】 函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主6根据实际问题选择函数类型【知识点的知识】1实际问题的函数刻画 在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容2用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中

33、的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合（2）常用到的五种函数模型：直线模型：一次函数模型ykx+b（k0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型ykx（k0）反比例函数模型：y（k0）型，增长特点是y随x的增大而减小指数函数模型：yabx+c（b0，且b1，a0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b1，a0），常形象地称为指数爆炸

34、对数函数模型，即ymlogax+n（a0，a1，m0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a1，m0）幂函数模型，即yaxn+b（a0）型，其中最常见的是二次函数模型：yax2+bx+c（a0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a0）在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等3函数建模（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模（2）过程：如下图所示【典型例题分析】典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到

35、10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.0036006，1n71.945，1n1022.302）（）Ay0.025x By1.003xCyl+log7x Dyx2分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x10，1000时，函数为增函数；函数的最大值不超过5；yx25%，然后一一验证即可解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x10，1000时，函数为增函数；函数的最大值不超过5；yx25%x，A中，函数y0.025x，易知满足

36、，但当x200时，y5不满足公司要求；B中，函数y1.003x，易知满足，但当x600时，y5不满足公司要求；C中，函数yl+log7x，易知满足，当x1000时，y取最大值l+log710004lg75，且l+log7xx恒成立，故满足公司要求；D中，函数yx2，易知满足，当x400时，y5不满足公司要求；故选C点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3x（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量

37、只能是1万件已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用+生产费用）分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大解答：

38、解：（1）由题意：3x，且当t0时，x1所以k2，所以3x，（1分）生产成本为 32x+3，每件售价，（2分）所以，y（3分）16x，（t50）；（2分）（2）因为 当且仅当，即t7时取等号，（4分）所以y50842，（1分）答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大（1分）点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用【解题方法点拨】用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：（1）解函数关系已知的应用题确定函数关系式yf（x）中的参数，求出具体的函数解析式yf（x）；讨论x与y的对应关系，

39、针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案（2）解函数关系未知的应用题阅读理解题意看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；抽象函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；得出问题的结论根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解7利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f（x）0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f（x）0的解集与定义域的交

40、集的对应区间为增区间；（2）若f（x）0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f（x）0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f（x）；（3）求出f（x）0的根；（4）用f（x）0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f（x）0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f（x）0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（1

41、）2，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（）A（1，1）B（1，+） C（，1）D（，+）解：f（x）2x+4，即f（x）2x40，设g（x）f（x）2x4，则g（x）f（x）2，对任意xR，f（x）2，对任意xR，g（x）0，即函数g（x）单调递增，f（1）2，g（1）f（1）+24440，则由g（x）g（1）0得x1，即f（x）2x+4的解集为（1，+），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）alnxax3（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数yf（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（）求证：解：（）（2分）当a0时，f（x）的单调增区间为（0，1，减区间为1，+）；当a0时，f（x）的单调增区间为1，+），减区间为（0，1；当a0时，f（x）不是单调函数（4分）（）得a2，f（x）2lnx+2x3，g