2021年新高考数学模拟试卷(22).docx

1、2021年新高考数学模拟试卷（22）一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）已知集合 Ax|y=9-x2，By|y2x，x0时，AB（）Ax|x3Bx|1x3Cx|x1D2（5分）已知a+bi（a，bR）是1-i1+i的共轭复数，则a+b（）A1B-12C12D13（5分）设m，nR，则“mn”是“2mn1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）某商家统计了去年P，Q两种产品的月销售额（单位：万元），绘制了月销售额的雷达图，图中A点表示P产品2月份销售额约为20万元，B点表示Q产品9月份销售额约为25万元根据图中信息，下面统计结论错误

2、的是（）AP产品的销售额极差较大BP产品销售额的中位数较大CQ产品的销售额平均值较大DQ产品的销售额波动较小5（5分）已知一个扇形的周长为10cm，圆心角为2rad，则这个扇形的面积为（）A25cm2B5cm2C254cm2D252cm26（5分）若(x-2x2)n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A210B180C160D1757（5分）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为30，则“泉标”的高

3、度为（）A50mB100mC120mD150m8（5分）已知f（x），（xR）满足f（x）3f（x），若函数y=3x+102x与yf（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（xm，ym），则y1+y2+y3+ym（）A0BmC3m2D3m二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9（5分）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c，则（）Aacm+RBa+cn+RC

4、2am+nDb=(m+R)(n+R)10（5分）甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（）A目标恰好被命中一次的概率为12+13B目标恰好被命中两次的概率为1213C目标被命中的概率为1223+1213D目标被命中的概率为1-122311（5分）已知点P是双曲线E：x216-y29=1的右支上一点，F1，F2为双曲线E的左、右焦点，PF1F2的面积为20，则下列说法正确的是（）A点P的横坐标为203BPF1F2的周长为803CF1PF2小于3DPF1F2的内切圆半径为3412（5分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，侧棱AA

5、11，P为上底面A1B1C1D1上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（）A若PD3，则满足条件的P点有且只有一个B若PD=3，则点P的轨迹是一段圆弧C若PD平面ACB1，则DP长的最小值为2D若PD平面ACB1，且PD=3，则平面BDP截正四棱柱ABCDA1B1C1D1的外接球所得平面图形的面积为94三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）已知向量a=(cosx，-1)，b=(3sinx，-12)，若ab，则|a|= 14（5分）已知m是2与8的等比中项，则圆锥曲线x2-y2m=1的离心率是 15（5分）某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d（每层玻璃的厚度相

6、同）及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q满足关系式：q1|T|d(1l2d+2)，其中玻璃的热传导系数14103焦耳/（厘米度），不流通、干燥空气的热传导系数22.5104焦耳/（厘米度），T为室内外温度差q值越小，保温效果越好现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如表：型号每层玻璃厚度d（单位：厘米）玻璃间夹空气层厚度l（单位：厘米）A型0.53B型0.54C型0.62D型0.63则保温效果最好的双层玻璃的型号是 型16（5分）已知函数ycosx与y=sin(2x+)(02)，它们的图象有一个横坐标为6的交点，则的值是 四解答题（共6小题，满分70分）17（

7、10分）数列an满足：a1+a2+a3+an=12(3n-1)（1）求an的通项公式；（2）若数列bn满足an=3anbn，求bn的前n项和Tn18（12分）在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，已知bsinA=asin(B+3)（1）求角B的大小；（2）求ca的取值范围？19（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ADBC，ABBCPA1，AD2，PADDABABC90，点E在棱PC上，且CECP（01）（1）求证：CDAE（2）是否存在实数，使得二面角CAED的余弦值为105？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由20（12分）为提高城市居民生活

8、幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民乘车候车时间为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间随机变量X满足正态分布N（，2）在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图频率分布直方图（1）在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计，2的值；（2）在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不能发生的在交通拥堵情况正常、

9、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由（参考数据：19.24.38，21.44.63，26.65.16，0.841370.2898，0.841360.3546，0.158730.0040，0.158740.0006，P（X+）0.6826，P（2X+2）0.9544，P（3X+3）0.9973）21（12分）设抛物线C：y24x的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（1，0）（1）当l与x轴垂直时，求ABM的外接圆方程；（2）记AMF的面积为S1，BMF的面积为S2，当S14S2时

10、，求直线l的方程22（12分）已知函数f（x）=exx-ax+alnx，其中a0（1）若函数f（x）在（1，+）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若函数g（x）f（x）+a（lnx+1x）有三个极值点x1，x2，x3，求证：1x1+1x2+1x322021年新高考数学模拟试卷（22）参考答案与试题解析一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）已知集合 Ax|y=9-x2，By|y2x，x0时，AB（）Ax|x3Bx|1x3Cx|x1D【解答】解：集合 Ax|y=9-x2x|3x3，By|y2x，x0y|y1，故ABx|1x3，故选：B2（5分）已知a+bi（a，bR）是1-i1

11、+i的共轭复数，则a+b（）A1B-12C12D1【解答】解：1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-2i2=-i，a+bi（i）i，a0，b1，a+b1，故选：D3（5分）设m，nR，则“mn”是“2mn1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：若mn，则mn0，所以2mn1由2mn1得mn0，所以mn，所以mn”是“2mn1”的充要条件，故选：C4（5分）某商家统计了去年P，Q两种产品的月销售额（单位：万元），绘制了月销售额的雷达图，图中A点表示P产品2月份销售额约为20万元，B点表示Q产品9月份销售额约为25万元根据图中信息，下面

12、统计结论错误的是（）AP产品的销售额极差较大BP产品销售额的中位数较大CQ产品的销售额平均值较大DQ产品的销售额波动较小【解答】解：根据图象可以看见P产品的销售额波动较大，故D对；P产品的销售额极差更大，故A对；Q产品的销售额基本维持在25万元向上，而P销售额相对较低且波动大，则Q销售额平均值更大，故C对，故选：B5（5分）已知一个扇形的周长为10cm，圆心角为2rad，则这个扇形的面积为（）A25cm2B5cm2C254cm2D252cm2【解答】解：设扇形的半径为r，扇形的弧长为l，则2r+l10，由l2r，得r=52，l5，则扇形的面积S=12lr=12525=254cm2，故选：C6（

13、5分）若(x-2x2)n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A210B180C160D175【解答】解：若(x-2x2)n的展开式中只有第六项的二项式系数Cn5最大，故n10，则展开式的通项公式为 Tr+1=C10r（2）rx5-5r2，令 5-5r2=0，求得r2，可得展开式中的常数项为 C102（2）2180，故选：B7（5分）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为30，则“泉标”的高度为（）A

14、50mB100mC120mD150m【解答】解：根据题意，画出图形为：所以AB100，BAC60，DBC30，设DCx，所以ACx，BC=3x，在ABC中，利用余弦定理的应用，(3x)2=x2+1002-2x10012，解得x50故选：A8（5分）已知f（x），（xR）满足f（x）3f（x），若函数y=3x+102x与yf（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（xm，ym），则y1+y2+y3+ym（）A0BmC3m2D3m【解答】解：由f（x）（xR）满足f（x）3f（x），可知f（x）图象关于点(0，32)对称，又函数y=3x+102x=32+5x图象也关于点(0，32)对称，

15、y1+ymy2+ym13，y1+y2+ym=(y1+ym)+(ym+ym-1)+(ym+y1)2=3m2，故选：C二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9（5分）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c，则（）Aacm+RBa+cn+RC2am+nDb=(m+R)(n+R)【解答】解：设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则由题意可知：acRm，a+cRn，可得a

16、cm+R，所以A正确；a+cR+n，所以B正确；可得a=m+n2+R，c=n-m2则b2a2c2（m+n2+R）2（n-m2）2（m+R）（n+R）则b=(m+R)(n+R)所以D正确；故选：ABD10（5分）甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（）A目标恰好被命中一次的概率为12+13B目标恰好被命中两次的概率为1213C目标被命中的概率为1223+1213D目标被命中的概率为1-1223【解答】解：甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，在A中，目标恰好被命中一次的概率为P=12(1-13)+(1-12

17、)13，故A错误；在B中，由相互独立事件概率乘法公式得：目标恰好被命中两次的概率为1213，故B正确；在C中，目标被命中的概率为P1（1-12）（1-13），故C错误；在D中，目标被命中的概率为P1（1-12）（1-13），故D正确故选：BD11（5分）已知点P是双曲线E：x216-y29=1的右支上一点，F1，F2为双曲线E的左、右焦点，PF1F2的面积为20，则下列说法正确的是（）A点P的横坐标为203BPF1F2的周长为803CF1PF2小于3DPF1F2的内切圆半径为34【解答】解：设F1PF2的内心为I，连接IP，IF1，IF2，双曲线E：x216-y29=1中的a4，b3，c5，不

18、妨设P（m，n），m0，n0，由PF1F2的面积为20，可得12|F1F2|ncn5n20，即n4，由m216-169=1，可得m=203，故A符合题意；由P（203，4），且F1（5，0），F2（5，0），可得kPF1=1235，kPF2=125，则tanF1PF2=125-12351+1212535=360319（0，3），则F1PF23，故C符合题意；由|PF1|+|PF2|=16+3529+16+259=373+133=503，则PF1F2的周长为503+10=803，故B符合题意；设PF1F2的内切圆半径为r，可得12r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）=12|F1F2|4，可

19、得803r40，解得r=32，故D不符合题意故选：ABC12（5分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，侧棱AA11，P为上底面A1B1C1D1上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（）A若PD3，则满足条件的P点有且只有一个B若PD=3，则点P的轨迹是一段圆弧C若PD平面ACB1，则DP长的最小值为2D若PD平面ACB1，且PD=3，则平面BDP截正四棱柱ABCDA1B1C1D1的外接球所得平面图形的面积为94【解答】解：如图正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，B1D1=22，又侧棱AA11，DB1=(22)2+12=3，则P与B1重合时PD3，此时P点唯一，故A

20、正确；PD=3（1，3），DD11，则PD1=2，即点P的轨迹是一段圆弧，故B正确；连接DA1，DC1，可得平面A1DC1平面ACB1，则当P为A1C1中点时，DP有最小值为(2)2+12=3，故C错误；由C知，平面BDP即为平面BDD1B1，平面BDP截正四棱柱ABCDA1B1C1D1的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为1222+22+12=32，面积为94，故D正确故选：ABD三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）已知向量a=(cosx，-1)，b=(3sinx，-12)，若ab，则|a|=51313【解答】解：向量a=(cosx，-1)，b=(3sinx，-12

21、)，若ab，则-12cosx（1）3sinx0，sinx=123cosx；又sin2x+cos2x1，112cos2x+cos2x1，解得cos2x=1213，|a|=cos2x+1=1213+1=51313故答案为：5131314（5分）已知m是2与8的等比中项，则圆锥曲线x2-y2m=1的离心率是5或32【解答】解：m是2与8的等比中项，可得m4，则圆锥曲线x2-y2m=1是椭圆时为：x2+y24=1的离心率：32，圆锥曲线为双曲线时，x2-y24=1，它的离心率为：5故答案为：5或3215（5分）某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空

22、气层厚度l对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q满足关系式：q1|T|d(1l2d+2)，其中玻璃的热传导系数14103焦耳/（厘米度），不流通、干燥空气的热传导系数22.5104焦耳/（厘米度），T为室内外温度差q值越小，保温效果越好现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如表：型号每层玻璃厚度d（单位：厘米）玻璃间夹空气层厚度l（单位：厘米）A型0.53B型0.54C型0.62D型0.63则保温效果最好的双层玻璃的型号是B型【解答】解：A型双层玻璃窗户：d(1l2d+2)=0.5(410-332.510-40.5+2)=49；B型双层玻璃窗户：d(1l2d+2)=0.5(410-342

23、.510-40.5+2)=65；C型双层玻璃窗户：d(1l2d+2)=0.6(410-322.510-40.6+2)=33.2；D型双层窗户：d(1l2d+2)=0.6(410-332.510-40.6+2)=49.2；根据q1|T|d(1l2d+2)，且q值越小，保温效果越好，故答案为：B16（5分）已知函数ycosx与y=sin(2x+)(02)，它们的图象有一个横坐标为6的交点，则的值是3【解答】解：函数ycosx与y=sin(2x+)(02)，它们的图象有一个横坐标为6的交点，所以cos6=32=sin(26+），所以：=3(02)故答案为：3四解答题（共6小题，满分70分）17（10

24、分）数列an满足：a1+a2+a3+an=12(3n-1)（1）求an的通项公式；（2）若数列bn满足an=3anbn，求bn的前n项和Tn【解答】解：（1）Sna1+a2+a3+an，a1+a2+a3+an=12(3n-1)，n1时，a11，n2时，an=Sn-Sn-1=3n-1，对n1也成立，an=3n-1，nN*；（2）由an=3anbn，bn=(n-1)(13)n-1，Tnb1+b2+bn=13+2(13)2+(n-1)(13)n-113Tn=(13)2+2(13)3+(n-2)(13)n-1+(n-1)(13)n得23Tn=13+(13)2+(13)n-1-(n-1)(13)n，23

25、Tn=131-(13)n-11-(13)-(n-1)(13)n，Tn=34-(2n+14)(13)n-118（12分）在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，已知bsinA=asin(B+3)（1）求角B的大小；（2）求ca的取值范围？【解答】解：（1）bsinA=asin(B+3)sinBsinAsinA（12sinB+32cosB），sinA0化为：12sinB-32cosB0，tanB=3，B（0，）解得B=3（2）由（1）可得：A+CB=23，又ABC为锐角三角形，0C=23-A2，0A2，6A2，ca=sinCsinA=sin(23-A)sinA=32cosA+12sin

26、AsinA=32tanA+12(12，2)，ca的取值范围是(12，2)19（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ADBC，ABBCPA1，AD2，PADDABABC90，点E在棱PC上，且CECP（01）（1）求证：CDAE（2）是否存在实数，使得二面角CAED的余弦值为105？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）证明：过点C作CFAB交AD于点F，ABBC1，AD2，DABABC90，四边形ABCF为正方形，且AFFD1，AC=2在RtCFD中，CD=2，在ACD中，CD2+AC24AD2，CDACPAD90，PAAD，又平面PAD平面A

27、BCD，平面PAD平面ABCDAD，PA平面PAD，PA平面ABCD，PACDPA，AC平面PAC，且PAACA，CD平面PAC，又AE平面PAC，CDAE（2）由题知，PA，AB，AD两两垂直，以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，2，0），CD=（1，1，0），AD=（0，2，0）假设存在实数（01），使得二面角CAED的余弦值为105，设E（x，y，z），CE=CP，（x1，y1，z）（1，1，1），E（1，1，），则AE=（1，1，）CD平面PAC，平面AEC的一个法向量

28、为n=CD=（1，1，0）设平面AED的法向量为m（a，b，c），则mAE=0mAD=0即(1-)a+(1-)b+c=0b=0令c1，则a=-1-，b0，m=(-1-，0，1)=11-（，0，1），11-0，可取m（，0，1），|cosm，n|=|mn|m|n|=2+(1-)22=105，化简得328+40，（0，1），=23，存在实数=23，使得二面角CAED的余弦值为10520（12分）为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民乘车候车时间为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响在公交车准点

29、率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间随机变量X满足正态分布N（，2）在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图频率分布直方图（1）在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计，2的值；（2）在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不能发生的在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由（参考数据：19.24.38，21.44.63，26.

30、65.16，0.841370.2898，0.841360.3546，0.158730.0040，0.158740.0006，P（X+）0.6826，P（2X+2）0.9544，P（3X+3）0.9973）【解答】解：（1）0.12+0.26+0.410+0.214+0.11810，2s22（820.1+420.2）+（1010）20.419.2；（2）+10+4.3814.38，设3名乘客候车时间超过15分钟的事件为A，P（x14.38）=1-P(-X+)2=0.1587，P（A）=C103(0.1587)3(0.8413)70.1390.003故准点率正常21（12分）设抛物线C：y24x的

31、焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（1，0）（1）当l与x轴垂直时，求ABM的外接圆方程；（2）记AMF的面积为S1，BMF的面积为S2，当S14S2时，求直线l的方程【解答】解：（1）由题意得：焦点F（1，0），当l与x轴垂直时，l的方程：x1，代入抛物线得A（1，2），B（1，2），而M（1，0）设ABMD的外接圆的方程：x2+y2+Dx+Ey+F0，所以：1-D+F=01+4+D-2E+F=01+4+D+2E+F=0解得：D2，E0，F3，所以ABM的外接圆方程：x2+y22x30；（2）由题意的直线l的斜率不为零，设直线l的方程：xmy+1，A（x，y），B（x，y

32、），设A在x轴上方，联立抛物线的方程可得y24my40，y+y4m，由题意知：y4y，y=-4m3，代入直线得x=-4m23+1，B在抛物线上，所以：（-4m3）24（-4m3+1）0，解得：m=-3322，所以直线l的方程：x=-3322y+122（12分）已知函数f（x）=exx-ax+alnx，其中a0（1）若函数f（x）在（1，+）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若函数g（x）f（x）+a（lnx+1x）有三个极值点x1，x2，x3，求证：1x1+1x2+1x32【解答】解：（1）由函数f（x）=exx-ax+alnx，其中a0，得f（x）=(x-1)exx2+a(1-x)x=(

33、x-1)(ex-ax)x2，由函数f（x）在（1，+）上单调递增，故f（x）=(x-1)(ex-ax)x20，即exax0恒成立，即aexx（x1）恒成立令g（x）=exx，则g（x）=(x-1)exx20，因此g（x）=exx在区间（1，+）上单调递增，所以0ae（2）由g（x）=exx-ax+2alnx+ax，则g（x）=(x-1)exx2-a（1-2x+1x2）=(x-1)ex-a(x-1)x2由题意则g（x）0有三个根，则exa（x1）0有两个零点x1、x2，且x1、x2（1，+），由x10有一个零点，则x31，令p（x）exa（x1），则p（x）exa，当xlna时p（x）取极值，x

34、（lna，+）时p（x）单调递增，p（lna）aa（lna1）0，则ae2时exa（x1）0有两零点x1，x2，且1x1lnax2，要证：1x1+1x2+1x32，即证x1x2+x1x3+x2x32x1x2x3（其中x31），即证：x1+x2x1x2，即（x11）（x21）1，由ex1=a（x11），ex2=a（x21），则ex1+x2=a2（x11）（x21），即证：ex1+x2=a2（x11）（x21）a2；等价于x1+x22lna，等价于x22lnax1，由p（x）在（lna，+）上单调递增，即证：p（x2）p（2lnax1），又p（x1）p（x2），则证p（x1）p（2lnax1）0，令G（x）p（x）p（2lnax），1xlna，G（x）exa（x1）e2lnax+a（2lnax1）ex2ax+2alnaG（x）ex+2a0恒成立，则G（x）为增函数，当1xlna时，G（x）G（lna）0，x1x2+x1x3+x2x32x1x2x3，原结论成立