2021年新高考数学模拟试卷(25).docx

1、2021年新高考数学模拟试卷（25）一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）设i为虚数单位，复数z=2+3ii，则z的共轭复数是（）A32iB3+2iC32iD3+2i2（5分）已知集合A0，1，2，3，集合Bx|x|2，则AB（）A0，3B0，1，2C1，2D0，1，2，33（5分）已知为任意角，则“cos2=13”是“sin=33”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要4（5分）若向量a=（4，2），b=（6，k），若ab，则k（）A12B12C3D35（5分）已知双曲线x22-y2b2=1（b0）的两条渐近线互相垂直，则b（）A1B2C3D26（

2、5分）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为（）A25B35C38D587（5分）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为（）A24B12C8D68（5分）已知log210+log510a，则(log210)2+(log510)2=（）Aa2Ba22aCa2+2aDa2a二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9（5分）已知某校高三的甲、乙、丙三个班各有50名学生，在一次数学模拟考试中，三个班的学生成绩的各分数段累计人数折线

3、图如图所示根据图中的成绩信息，下列结论中正确的是（）A三个班的成绩的中位数，乙班最高，丙班最低B三个班的平均成绩，丙班最低C三个班中成绩在60分以下的人数，丙班最多；80分以上的人数，乙班最多D模拟考试的最高分出现在乙班10（5分）如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的为（）AACBDBAC截面PQMNCACBDD异面直线PM与BD所成的角为4511（5分）将函数ysin（x+）的图象F向左平移6个单位长度后得到图象F，若F的一个对称中心为(4，0)，则的取值可能是（）A12B-512C56D71212（5分）已知O是坐标原点，A，B是抛物线yx2上不同于O的两

4、点，且OAOB，下列结论中正确的是（）A|OA|OB|2B|OA|+|OB|22C直线AB过抛物线yx2的焦点DO到直线AB的距离小于或等于1三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）命题“xR，x2”的否定是 14（5分）已知二项式（2x+x）5，则展开式中x3的系数为 15（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+（y1）24，若等腰直角三角形PAB的斜边AB为圆C的一条弦，则PC的最大值为 16（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为3cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为

5、 四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）在ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3（1）若a，b，c成等比数列，求证：B60；（2）若cos2A=-13（A为锐角），sinC=13，求ABC中AB边上的高h18（12分）数列an满足：a1+a2+a3+an=12(3n-1)（1）求an的通项公式；（2）若数列bn满足an=3anbn，求bn的前n项和Tn19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PAAD，底面ABCD为直角梯形，BC3AD，ADBC，BCD90，M为线段PB上一点（）若PM=13PB，求证：AM平面PCD；（）若PA2，AD1，异面直线PA与CD成90

6、角，二面角BPCD的余弦值为-1010求CD的长及直线PC与平面ABCD所成角的正弦值20（12分）某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同（）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结

7、束：并规定抽样的次数不超过n，（nN*）次在抽样结束时，若已取到的黄色次车数以表示，求的分布列和数学期望21（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的离心率为32，F1、F2别是椭圆C的左、右焦点，点A是椭圆上任意一点，且F1AF2的周长是4+23（）求椭圆C的标准方程；（）已知圆O：x2+y24，过点F1且与x轴不重合的直线1与椭圆C交于点P、Q，与圆O交于点M、N，求|MN|2|PQ|的最大值22（12分）已知函数f(x)=lnx+ax-bx+2，aR，bR（1）若a0，b1，求证：f（x）在区间（3，4）上有唯一零点；（2）若aZ，b0，不等式f（x）a+1对任意的x（1，

8、+）恒成立，求整数a的最大值2021年新高考数学模拟试卷（25）参考答案与试题解析一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）设i为虚数单位，复数z=2+3ii，则z的共轭复数是（）A32iB3+2iC32iD3+2i【解答】解：z=2+3ii=(2+3i)(-i)-i2=3-2i，z=3+2i故选：B2（5分）已知集合A0，1，2，3，集合Bx|x|2，则AB（）A0，3B0，1，2C1，2D0，1，2，3【解答】解：A0，1，2，3，Bx|2x2，AB0，1，2故选：B3（5分）已知为任意角，则“cos2=13”是“sin=33”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D

9、既不充分也不必要【解答】解：若cos2=13，则cos212sin2，sin=33，则cos2=13”是“sin=33”的不充分条件；若sin=33，则cos212sin2，cos2=13，则cos2=13”是“sin=33”的必要条件；综上所述：“cos2=13”是“sin=33”的必要不充分条件故选：B4（5分）若向量a=（4，2），b=（6，k），若ab，则k（）A12B12C3D3【解答】解：根据题意，向量a=（4，2），b=（6，k），若ab，则有4k2612，解可得k3；故选：D5（5分）已知双曲线x22-y2b2=1（b0）的两条渐近线互相垂直，则b（）A1B2C3D2【解答】解

10、：双曲线x22-y2b2=1（b0）是焦点在x轴上的双曲线，a=2，则渐近线方程为y=b2x，两条渐近线互相垂直，b2=1，即b=2故选：B6（5分）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为（）A25B35C38D58【解答】解：从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n4416，抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有10种，分别为：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4

11、，4），则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为p=1016=58故选：D7（5分）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为（）A24B12C8D6【解答】解：根据题意，分3步进行分析：，老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，则甲的站法有2种，乙的站法有2种，乙同学与老师相邻，则乙的站法有2种，将剩下的2人全排列，安排在剩下的2个位置，有A222种情况，则不同站法有2228种；故选：C8（5分）已知log210+log510a，则(log210)2+(log510)2=（）Aa2Ba22aCa2+2aD

12、a2a【解答】解：log210+log510a，log25+log52a2，(log25)2+(log52)2=(log25+log52)2-2log25log52=（a2）22，(log210)2+(log510)2=(1+log25)2+(1+log52)2=2+2(a-2)+(a-2)2-2=a2-2a，故选：B二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9（5分）已知某校高三的甲、乙、丙三个班各有50名学生，在一次数学模拟考试中，三个班的学生成绩的各分数段累计人数折线图如图所示根据图中的成绩信息，下列结论中正确的是（）A三个班的成绩的中位数，乙班最高，丙班最低B三个班的平均成绩，丙班最

13、低C三个班中成绩在60分以下的人数，丙班最多；80分以上的人数，乙班最多D模拟考试的最高分出现在乙班【解答】解：对于A，由折线图得乙班成绩的中位数最大，丙班成绩的中位数最低，故A正确；对于B，由折线图得丙班的平均成绩最低，故B正确；在C中，由折线图得，80分以上的人数甲班最多，故C错误；在D中，由折线图得最高分出现在甲班，故D错误故选：AB10（5分）如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的为（）AACBDBAC截面PQMNCACBDD异面直线PM与BD所成的角为45【解答】解：因为截面PQMN是正方形，所以PQMN、QMPN，则PQ平面ACD、QM平面BDA，所

14、以PQAC，QMBD，由PQQM可得ACBD，故A正确；由PQAC可得AC截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；综上C是错误的故选：ABD11（5分）将函数ysin（x+）的图象F向左平移6个单位长度后得到图象F，若F的一个对称中心为(4，0)，则的取值可能是（）A12B-512C56D712【解答】解：函数ysin（x+）的图象F向左平移6个单位长度，所以F的解析式为ysin（x+6），所以sin（4+6）0，即sin（512+）0，所以512+k，kZ，当k0，=-512；k1，=712故选：BD12（5分）已知O是坐标原点，A，B是抛物线yx

15、2上不同于O的两点，且OAOB，下列结论中正确的是（）A|OA|OB|2B|OA|+|OB|22C直线AB过抛物线yx2的焦点DO到直线AB的距离小于或等于1【解答】解：设A（x1，x12），B（x2，x22），（x10，x20 ）OAOB，OAOB=0，OAOB=（x1，x12）（x2，x22）=x1x2+x12x22=x1x2（1+x1x2）0，1+x1x20，x2=-1x1，|OA|OB|=(x12+x14)(x22+x24)=(x12+x14)(1x12+1x14)=1+x12+1x12+12+2x121x12=2，当且仅当x12=1x12，即x11时等号成立，故选项A正确，又|OA|

16、+|OB|2|OA|OB|22，故选项B正确，直线AB的斜率为x22-x12x2-x1=x2+x1=x1-1x1，直线AB的方程为：yx12=(x1-1x1) （xx1），当x0时，y1，焦点坐标（0，14）不满足直线AB的方程，故选项C错误，原点（0，0）到直线AB：(x1-1x1)x-y+1=0 的距离d=1(x1-1x1)2+121，故选项D正确，故选：ABD三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）命题“xR，x2”的否定是xR，x2【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“xR，x2”的否定是：xR，x2故答案为：xR，x214（5分）已知二项式（2x+x）

17、5，则展开式中x3的系数为10【解答】解：C54(2x)1(x)4=10x3，所以展开式中x3的系数为10故答案为：1015（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+（y1）24，若等腰直角三角形PAB的斜边AB为圆C的一条弦，则PC的最大值为22【解答】解：连接圆心C与P，则CPAB且平分AB，设交点为D，设ACP，则|CD|AC|cos，|AD|AC|sin，等腰直角PAB中，D为斜边中点，|AD|DP|，|PC|CD|+|DP|2cos+2sin22sin（+4），当+4=2，即=4时|PC|的长达到最大值，PC的最大值为22故答案为：2216（5分）如图，有一个水平放置的透明无

18、盖的正方体容器，容器高4cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为3cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为25【解答】解：由题意得正方体上底面到水面的高为431，设球体的半径为R，由题意如图所示：三角形OAA为Rt，A为球与正方体的交点，则OAR1，AA=42=2，OAR，所以：R2（R1）2+22，解得R=52，所以球的表面积S4R225，故答案为：25四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）在ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3（1）若a，b，c成等比数列，求证：B60；（2）若cos2A=-13（A为锐角），sinC=13，求A

19、BC中AB边上的高h【解答】解：（1）证明：因为a，b，c成等比数列，所以b2ac；而cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac=12(ac+ca-1)12（当且仅当ac时取等号）又因为B为三角形的内角，所以B60；（2）在ABC中，因为cos2A=1-2sin2A=-13，所以sinA=63又因为c=3，sinC=13，所以由正弦定理asinA=csinC，解得a=32；由sinA=63，0A2得cosA=33由余弦定理a2b2+c22bccosA，得b22b150解得b5或b3（舍）所以AB边上的高h=bsinA=563=56318（12分）数列an满足：a1+a2+a3+a

20、n=12(3n-1)（1）求an的通项公式；（2）若数列bn满足an=3anbn，求bn的前n项和Tn【解答】解：（1）Sna1+a2+a3+an，a1+a2+a3+an=12(3n-1)，n1时，a11，n2时，an=Sn-Sn-1=3n-1，对n1也成立，an=3n-1，nN*；（2）由an=3anbn，bn=(n-1)(13)n-1，Tnb1+b2+bn=13+2(13)2+(n-1)(13)n-113Tn=(13)2+2(13)3+(n-2)(13)n-1+(n-1)(13)n得23Tn=13+(13)2+(13)n-1-(n-1)(13)n，23Tn=131-(13)n-11-(13

21、)-(n-1)(13)n，Tn=34-(2n+14)(13)n-119（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PAAD，底面ABCD为直角梯形，BC3AD，ADBC，BCD90，M为线段PB上一点（）若PM=13PB，求证：AM平面PCD；（）若PA2，AD1，异面直线PA与CD成90角，二面角BPCD的余弦值为-1010求CD的长及直线PC与平面ABCD所成角的正弦值【解答】（）证明：若PM=13PB，取CN=13CB，连接AN，MN可得ADCN，ADCN，四边形ADCN为平行四边形，ANCD，M，N分别为PB，CN的三等分点，MNPC面AMN面PCD，则AM平面PCD；（）解：如图，由PAA

22、D，异面直线PA与CD成90角，得PN底面ABCD，过A作ANDC交BC与N，设CDa则A（0，0，0），N（a，0，0），P（0，0，2），D（0，1，0），C（a，1，0）DP=（0，1，2），DC=（a，0，0），设面PDC的法向量为m=（x，y，z）由mDP=-y+2z=0mDC=ax=0，其z1，得m=（0，2，1）CP=（a，1，2），CN=（0，1，0）设面PNC的法向量为n=(x1，y1，z1)，由nCP=-ax1-y1+2z1=0nCN=-y1=0，取x12，得n=（2，0，a）|cosm，n|=a54+a2=1010，解得a2CD的长为2；则AC=5，PC=22+(5)2=

23、3，直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为PAPC=2320（12分）某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同（）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束：并规定抽样的次数不超过n，

24、（nN*）次在抽样结束时，若已取到的黄色次车数以表示，求的分布列和数学期望【解答】解：（）黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为14，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量XB（5，14），抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率：P（X2）=C52(14)2(34)3=5512（）的可能取值为0，1，2，n，P（0）=14，P（1）=3414，P（2）=(34)214，P（n1）=(34)n-114，P（n）=(34)n，的分布列为： 0 1 2 n1 n P 14 3414 (34)214 (34)n-114 (34)nE（）

25、=3414+2(34)214+(n-1)(34)n-114+n(34)n，34E（）=(34)214+2(34)314+(n-1)(34)n+n(34)n+1，得：14E（）=3414+(34)214+(34)314+(34)n-114+(34)n14E（）=34+(34)2+(34)3+(34)n=341-(34)n1-34 33(34)n21（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的离心率为32，F1、F2别是椭圆C的左、右焦点，点A是椭圆上任意一点，且F1AF2的周长是4+23（）求椭圆C的标准方程；（）已知圆O：x2+y24，过点F1且与x轴不重合的直线1与椭圆C交于点P

26、、Q，与圆O交于点M、N，求|MN|2|PQ|的最大值【解答】解：（）由题意可得：ca=32，2a+2c4+23，b2a2c2，解得：a24，b21，所以椭圆的方程为：x24+y21；（）由（）可得焦点F1（-3，0），由题意设直线l的方程为：xmy-3，设P（x1，y1），Q（x2，y2），圆心O到直线l的距离d=31+m2，所以弦长|MN|2r2-d2=24-31+m2=24m2-11+m2，所以|MN|2=16m2-41+m2；联立直线l的方程与椭圆的方程：x=my-3x2+4y2-4=0整理可得：（4+m2）y223my10，y1+y2=23m4+m2，y1y2=-14+m2，所以弦长

27、|PQ|=1+m2(y1+y2)2-4y1y2=1+m212m2(4+m2)2+4(4+m2)(4+m2)2=4(1+m2)4+m2；所以|MN|2|PQ|=16m2-41+m24(1+m2)4+m2=4(4m2-1)(4+m2)(1+m2)2，令tm2+1，t1，所以(4m2-1)(4+m2)(1+m2)2=4(t-1)-1(t+3)t2=4t2+7t-15t2=-15(1t)2+7t+4，设r=1t（0，1，g（r）15r2+7r+4，r（0，1，开口向下，对称轴r=730，r（0，1，时当r=730时g（r）最大，且为：g（730）=28960，所以|MN|2|PQ|的最大值为：2896

28、022（12分）已知函数f(x)=lnx+ax-bx+2，aR，bR（1）若a0，b1，求证：f（x）在区间（3，4）上有唯一零点；（2）若aZ，b0，不等式f（x）a+1对任意的x（1，+）恒成立，求整数a的最大值【解答】解：（1）因为a0，b1，所以f（x）lnxx+2，f（3）ln310，f（4）ln422（ln21）0，f（x）在区间3，4上是一条不间断的曲线，f（x）在区间（3，4）上存在零点，又f(x)=1x-1=1-xx，当x（1，+）时，f（x）0，所以f（x）在区间（1，+）上为单调减函数，所以f（x）在区间（3，4）上有唯一零点；（2）因为b0，所以f(x)=lnx+ax+2，f(x)=1x-ax2=x-ax2，当a1时，f（x）0在x（1，+）恒成立，所以f（x）在（1，+）上为单调增函数所以当x（1，+）时，f（x）f（1）a+2a+1恒成立，所以a1成立；当a1时，x（1，a）时，f（x）0，x（a，+）时f（x）0，所以f（x）minf（a）lna+3a+1，所以lnaa+20，令g（x）lnxx+2，由（1）知g（x）lnxx+2在在（1，+）上为单调减函数且（3，4）上有唯一零点，设这个零点为t，t（3，4），由lnaa+20的1at，又因为aZ，所以整数a的最大值为3