2020年吉林省长春市高考数学三模试卷(文科)(含答案解析).docx

1、2020年吉林省长春市高考数学三模试卷（文科） 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合，则A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，且，则A. B. C. 5D. 43. 已知复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩满分100分的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则的值为A. 7B. 8C. 9D. 105. 等比数列中，、是函数的两个零点，则等于A. B. 3C. D. 46. 函数的图象大致为A

2、. B. C. D. 7. 设a，b是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是A. ，B. ，C. ，D. ，8. 已知直线与函数，其中的相邻两交点间的距离为，则函数的单调递增区间为A. B. C. D. 9. 已知函数是定义在R上的奇函数，在上是增函数，且，则使得成立的x的取值范围是A. B. C. D. 10. 若函数有且只有一个零点，则a的取值范围是A. B. ，C. D. 11. 已知双曲线与椭圆有相同焦点，离心率为若双曲线的左支上有一点M到右焦点的距离为12，N为线段的中点，O为坐标原点，则等于A. 4B. 3C. 2D. 12. 众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一

3、起，也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是当时，直线与白色部分有公共点；黑色阴影部分包括黑白交界处中一点，则的最大值为2；设点，点Q在此太极图上，使得，b的范围是其中所有正确结论的序号是A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知，则 _ 14. 已知长方形ABCD中，现将长方形ABCD沿着对角线BD折起，使平面平面BCD，则折后几何图形的外接球表面积为_15. 若，是函数的两个极值点，则_；_16. 已知数

4、列的各项均为正数，其前n项和为，满足，设，为数列的前n项和，则_三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌优等品和合格品，某公司年产宣纸10000刀，公司按照某种质量标准值x给宣纸确定质量等级，如表所示：x，质量等级正牌副牌废品公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀张进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元按正

5、牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀张纸中抽出一个容量为5的样本，再从这个样本中随机抽出两张，求其中无废品的概率；试估计该公司生产宣纸的年利润单位：万元18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知求tanB；若，的面积为6，求BC19. 四棱锥中，平面ABCD，E在棱PB上求证：；若，求证：平面AEC20. 已知O为坐标原点，抛物线E的方程为，其焦点为F，过点的直线1与抛物线相交于P、Q两点且为以O为直角顶点的直角三角形求E的方程；设点N为曲线E上的任意一点，证明：以FN为直径的圆与x轴相切21. 已知函数，若曲线与曲线都过点且在点P处有相同的切线l求切线l的方程；若关于x的不等式对任

6、意恒成立，求实数k的取值范围22. 以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线1的参数方程为为参数求曲线C的参数方程与直线l的普通方程；设点P为曲线C上的动点，点M和点N为直线l上的点，且满足为等边三角形，求边长的取值范围23. 已知函数，当时，有，求实数m的取值范围若不等式的解集为，正数a，b满足，求的最小值- 答案与解析 -1.答案：B解析：解：，故选：B可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的单调性，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题2.答案：C解析：解：根据题意，且，则有，解可得，即，则，故

7、；故选：C根据题意，由向量垂直与数量积的关系可得，解可得y的值，即可得的坐标，进而计算可得向量的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量模的计算和向量垂直与数量积的关系，属于基础题3.答案：B解析：解：由，得，则，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限故选：B把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题4.答案：B解析：解：由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只能是83，85，因为甲班学生成绩众数是83，所以83出现的次数最多，可知由茎叶图可知乙班学

8、生的总分为，又乙班学生的平均分是86，总分又等于所以，解得，可得故选：B对甲组数据进行分析，得出x的值，利用平均数求出y的值，解答即可本题主要考查统计中的众数与平均数的概念解题时分别对甲组数据和乙组数据进行分析，分别得出x，y的值，进而得到的值5.答案：B解析：解：、是函数的两个零点，、是方程的两个根，由等比数列的性质可得：故选：B利用根与系数的关系求得，再由等比数列的性质得答案本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题6.答案：B解析：解：函数的定义域为，即函数为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除CD；又，可排除A；故选：B先判断函数的奇偶性，可排除选项CD，再由，可排

9、除选项A，进而得出正确选项本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题7.答案：C解析：解：A、B、D的反例如图故选：C根据题意分别画出错误选项的反例图形即可本题考查线面间的位置关系，同时考查充分条件的含义及空间想象能力属于基础题8.答案：B解析：解：与函数，其中的相邻两交点间的距离为，函数的周期，即，得，则，由，得，即函数的单调递增区间为，故选：B根据最值点之间的关系求出周期和，结合三角函数的单调性进行求解即可本题主要考查三角函数单调性的应用，根据最值性求出函数的周期和，以及利用三角函数的单调性是解决本题的关键难度不大9.答案：D解析：解：函数是定义在R上的奇函数，在上是增

10、函数，函数是在上是增函数，又，由，得或，或的取值范围是故选：D由奇函数的图象关于原点对称及在为增函数，可得函数是在上是增函数，结合，转化为不等式组求解本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题10.答案：B解析：解：当时，因为，所以有一个零点，所以要使函数有且只有一个零点，则当时，函数没有零点即可，当时，所以或，即或，故选：B当时，因为，所以有一个零点，所以要使函数有且只有一个零点，则当时，函数没有零点即可，即恒为负或恒为正，进而求出a的取值范围即可本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，是中档题11.答案：B解析：解：如图，为线段的中点，双曲线的离心率为，椭圆与双曲

11、线的焦点相同，则，即，故选：B由题意画出图形，利用三角形的中位线定理可得，再由已知椭圆方程及双曲线的离心率求解a，则答案可求本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题12.答案：A解析：解：对于，将y轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的面积的一半，根据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是，正确；对于，直线，圆的方程为，联立可得，但是两根之和为负，两根之积为正，所以两根都为负，即说明直线与白色部分没有公共点，错误；对于，设l：，由线性规划知识可知，当直线l与圆相切时，z最大，由解得舍去，错误；对于，要使得，即需要过点

12、P的切线所成角大于等于90度，所以，即，于是，解得故选：A根据“太极图”和各选项对应知识，即可判断真假本题主要考查图象的应用，考查学生识图用图以及运用相关知识的能力，涉及几何概型的计算公式，直线与圆的位置关系，以及线性规划知识的应用，属于较难题13.答案：解析：解：，则，故答案为： 由的值及的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出与的值，代入原式计算即可此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键14.答案：解析：解：长方形ABCD中，可得，作于E，可得，所以，因为平面平面BCD，面ABD，平面平面，所以面BCD，由直角三角形BCD可得其外接圆的圆心为斜边BD的中点，且

13、外接圆的半径，过作垂直于底面BCD，所以，所以，取三棱锥外接球的球心O，设外接球的半径为R，作于F，则四边形为矩形，则，在中，即；在中：，即；由可得，即外接球的球心为，所以外接球的表面积，故答案为：由长方形中，可得BD，BC，及A到BD的距离AE，由面平面BCD可得面BCD，求出底面外接圆的圆心及外接圆的半径，再由椭圆求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题15.答案：2 解析：解：函数，令得：，是方程的两个根，故答案为：2，先求出导函数，由题意可得，是方程的两个根，利用韦达定理可得，代入即可求出本题主要考查了利用导数研

14、究函数的极值，以及韦达定理的应用，是中档题16.答案：880解析：解：，当时，解得或舍去，当时， ，得：，整理得：，数列的各项均为正数，即，数列是首项为2，公差为2的等差数列，故答案为：880利用公式可得数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以，所以，进而，再利用并项求和法即可算出结果本题主要考查了数列的递推式，以及并项求和法求数列的前n项和，是中档题17.答案：解：按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀张约中抽出一个容量为5的样本，设抽出的2张正牌为A，B，2张副牌为a，b，1张废品为t，从中任取两张，基本事件有：AB，Aa，Ab，At，Ba，Bb，Bt，ab，at，bt，共10种，其中无

15、废品包含的基本事件有：AB，Aa，Ab，Ba，Bb，ab，共6种，其中无废品的概率由频率分布直方图得：一刀张宣纸有正牌宣纸张，有副牌宣纸张，有废品张，该公司一刀宣纸的利润为元，估计该公司生产宣纸的年利润为：400万元解析：按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀张约中抽出一个容量为5的样本，设抽出的2张正牌为A，B，2张副牌为a，b，1张废品为t，从中任取两张，基利用列举法能求出其中无废品的概率由频率分布直方图得一刀张宣纸有正牌宣纸40张，有副牌宣纸40张，有废品20张，由此能估计该公司生产宣纸的年利润本题考查概率、利润的求法，考查考查频率分布直方图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能

16、力，是中档题18.答案：解：，利用正弦定理可得：，又，化为：，可得，可得：又，可得，解得解析：由，利用正弦定理可得：，又，化简即可得出由，可得，由正弦定理：，可得：又，可得即可得出a本题考查了正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19.答案：证明：过A作于F，四边形ABCF为正方形，则，得，又底面ABCD，平面ABCD，又PA，平面PAD，平面PAD，又平面PAD，；设E到平面ABCD的距离为h，则，得又，则PB：1，连接DB交AC于O，连接OE，：1，得DB：1，：OB，则又平面AEC，平面AEC，平面AEC解析：过A作于F，推导出，从而平面PAD，由此

17、能求出；设E到平面ABCD的距离为h，由已知体积列式求得h，可得PB：1，连接DB交AC于O，连接OE，再由三角形相似证得DB：1，可得PB：OB，得到，再由直线与平面平行的判定可得平面AEC本题考查直线与平面平行、垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题20.答案：解：由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为：，设，联立直线l与抛物线的方程，整理可得：，所以，所以，因为是以O为直角顶点的直角三角形，所以，即，所以，解得，所以抛物线的方程为：；证明：由得，准线方程为：，设，则NF的中点M的纵坐标，即以NF为直径的圆的圆心M到x轴的距离为，而由抛物线的性质可得

18、，即以NF为直径的圆的半径为，所以可得圆心M到x轴的距离恰好等于圆的半径，所以可证得以FN为直径的圆与x轴相切解析：由题意设直线l的方程，与抛物线联立求出两根之积，由是以O为直角顶点的直角三角形，所以，可得p的值，进而求出抛物线的方程；由可得F的坐标和准线方程，设N的坐标，可得NF的中点M，即圆心的坐标，求出M的纵坐标到x轴的距离，再求NF的半径，可得M的纵坐标恰好等于半径，可证得结论本题考查直角三角形与向量的关系，及直线与抛物线的综合，属于中档题21.答案：解：，由已知可得，即，解得，切线的斜率，切线l的方程为，即，由可得，设，即，对任意恒成立，从而，当时，在上单调递减，又，显然不恒成立，当

19、时，解得，当时，即时，单调递增，又，显然不恒成立，当时，即时，单调递增，即恒成立，当时，即时，当时，单调递减，当时，单调递增，解得，综上所述得解析：根据导数的几何意义即可求出切线方程；构造函数，利用导数求出函数的最小值，使得最小值大于等于0，需要分类讨论此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键综合性较强，运算量较大22.答案：解：曲线C的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为，转换为参数方程为为参数，直线1的参数方程为为参数转换为直角坐标方程为设，所以点P到直线l的距离，由于，所以，所以，故等边三角形的边长的

20、取值范围：解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型23.答案：解：由题意得：在上恒成立，恒成立，即 又，即令， 若，则解集为，不合题意； 若，则有，即 又解集为，解得当且仅当，即时，等号成立，此时，时的最小值为7解析：利用绝对值三角不等式性质利用绝对值不等式解法求出m，带入得到a，b等式，转化为只含有a的式子后利用基本不等式可以求解本题考查绝对值三角不等式，以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题