2020年高考数学(文科)全国2卷高考模拟试卷(5).docx

1、2020年高考数学（文科）全国2卷高考模拟试卷（5）一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）设集合A1，2，BxZ|x22x30，则AB（）A1，2B（1，3）C1D1，22（5分）|i20201-i|=（）A22B2C1D143（5分）设两条不重合的直线的方向向量分别为m，n，则“存在正实数，使得“m=n”是“两条直线平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）已知cos（2-）2cos（+），且tan（+）=13，则tan的值为（）A7B7C1D15（5分）设F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左，右焦点，若

2、双曲线右支上存在点P，满足|PF2|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于2a，则该双曲线的渐近线方程为（）A3x4y0B4x3y0C3x5y0D5x4y06（5分）同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（）A19B16C118D5127（5分）若回归直线y=a+bx，b0，则x与y之间的相关系数（）Ar0BrlC0r1D1r08（5分）三个数log23，0.23，log30.2的大小关系是（）Alog30.20.23log23Blog30.2log230.23Clog230.23log30.2D0.23log30.2log239（5分）若斜线段AB是它在平面内的射影长的2

3、倍，则AB与所成的角为（）A60B30C120或60D150或3010（5分）已知函数f（x）cos（3-x）cos（6+x）-3cos2x+32，则f（x）的最小正周期和最大值分别为（）A，14B，12C2，1-32D2，3211（5分）已知抛物线y24x的焦点为F，直线l过F且与抛物线交于A，B两点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为M，MAF的角平分线与抛物线的准线交于点P，线段AB的中点为Q若|AB|8，则|PQ|（）A2B4C6D812（5分）定义在（1，+）上的函数f（x）满足x2f（x）+10（f（x）为函数f（x）的导函数），f（3）=43，则关于x的不等式f（log2x）1log

4、x2的解集为（）A（1，8）B（2，+）C（4，+）D（8，+）二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）已知函数f（x）=2x，x0(12)x-x，x0，f（f（1） 14（5分）已知e1，e2是夹角为60的两个单位向量，a=e1-e2，b=e1+me2，若ab则m 15（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，cABC的面积S=14(a2+c2)，若sin2B=2sinAsinC，则角B的值为 16（5分）在三棱锥PABC中，ABBC8，ABC120，D为AC的中点，PD平面ABC，且PD8，则三棱锥PABC的外接球的表面积为 三解答题（共5小题）17已知数列an

5、满足a12，a324，且an2n是等差数列（1）求an；（2）设an的前n项和为Sn，求Sn18如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D是B1C1的中点，A1AA1B12（1）求证：AB1平面A1CD；（2）若异面直线AB1和BC所成角为60，求四棱锥A1CDB1B的体积19某校从参加高二年级期末考试的学生中随机抽取了n名学生，已知这n名学生的物理成绩均不低于60分（满分为100分）现将这n名学生的物理成绩分为四组：60，70），70，80），80，90），90，100，得到的频率分布直方图如图所示，其中物理成绩在90，100内的有28名学生，将物理成绩在80，100内定义为

6、“优秀”，在60，80）内定义为“良好”（）求实数a的值及样本容量n；男生女生合计优秀良好20合计60（）根据物理成绩是否优秀，利用分层抽样的方法从这n名学生中抽取10名，再从这10名学生中随机抽取3名，求这3名学生的物理成绩至少有2名是优秀的概率；（）请将22列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为物理成绩是否优秀与性别有关？参考公式及数据：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（其中na+b+c+d）P（K2k）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820已

7、知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0）的离心率为22，左、右焦点分别为F1、F2，M为椭圆的下顶点，MF1交椭圆于另一点N，MNF2的面积163（1）求椭圆的方程；（2）过点P（4，0）作直线l交椭圆于A、B两点，点B关于x轴的对称点为B1，问：直线AB1是否过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由21已知函数f（x）ex（ax+1），aR（I）求曲线yf（x）在点M（0，f（0）处的切线方程；（）求函数f（x）的单调区间；（）判断函数f（x）的零点个数四解答题（共1小题）22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=a+2ty=-t（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为

8、极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2=123+sin2（1）若a2，求曲线C与l的交点坐标；（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为45的直线，交l于点A，且|PA|的最大值10，求a的值五解答题（共1小题）23已知函数f（x）|x+a|2x2|（aR）（1）证明：f（x）|a|+1；（2）若a2，且对任意xR都有k（x+3）f（x）成立，求实数k的取值范围2020年高考数学（文科）全国2卷高考模拟试卷（5）参考答案与试题解析一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）设集合A1，2，BxZ|x22x30，则AB（）A1，2B（1，3）C1D1，2【解答】解：集合A1，2，BxZ

9、|x22x30xZ|1x30，1，2，AB1，2故选：D2（5分）|i20201-i|=（）A22B2C1D14【解答】解：因为|i20201-i|=|11-i|1+i(1-i)(1+i)|12+12i|=(12)2+(12)2=22；故选：A3（5分）设两条不重合的直线的方向向量分别为m，n，则“存在正实数，使得“m=n”是“两条直线平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：若存在正实数，使得“m=n”，则m，n共线，可得两条直线平行；反过来，若两条直线平行，则方向向量共线，但可能同向也可能反向，可能为负值所以是充分不必要条件故选：A4（5分）已

10、知cos（2-）2cos（+），且tan（+）=13，则tan的值为（）A7B7C1D1【解答】解：已知cos（2-）2cos（+），即 sin2cos，即 tan2又tan（+）=tan+tan1-tantan=-2+tan1+2tan=13，则tan7，故选：B5（5分）设F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左，右焦点，若双曲线右支上存在点P，满足|PF2|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于2a，则该双曲线的渐近线方程为（）A3x4y0B4x3y0C3x5y0D5x4y0【解答】解：设PF1的中点为H，连接HF2，由|PF2|F1F2|2c，|PF1|PF2|

11、2a，可得|PF1|2c+2a，在直角三角形HF1F2中，|F1F2|2c，|HF2|2a，|F1H|c+a，可得4c2（c+a）2+（2a）2，化为3c5a，则b=c2-a2=(5a3)2-a2=43a，可得双曲线的渐近线方程为y43x，故选：B6（5分）同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（）A19B16C118D512【解答】解：同时抛掷两个质地均匀的骰子，基本事件总数n6636，向上的点数之和小于5包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1），共6个，向上的点数之和小于5的概率为p=636=16故选：B7（5分）若回归直线

12、y=a+bx，b0，则x与y之间的相关系数（）Ar0BrlC0r1D1r0【解答】解：回归直线y=a+bx，b0，两个变量x，y之间是一个负相关的关系，相关系数是一个负数，1r0故选：D8（5分）三个数log23，0.23，log30.2的大小关系是（）Alog30.20.23log23Blog30.2log230.23Clog230.23log30.2D0.23log30.2log23【解答】解：log23log221，00.230.201，log30.2log310，log30.20.23log23故选：A9（5分）若斜线段AB是它在平面内的射影长的2倍，则AB与所成的角为（）A60B30

13、C120或60D150或30【解答】解：根据线面角的定义，可得AB与平面所成角的余弦值为12；且0，90，所以AB与所成的角为60故选：A10（5分）已知函数f（x）cos（3-x）cos（6+x）-3cos2x+32，则f（x）的最小正周期和最大值分别为（）A，14B，12C2，1-32D2，32【解答】解：函数f（x）cos（3-x）cos（6+x）-3cos2x+32=cos（3-x）sin（3-x）-31+cos2x2+32=12sin（23-2x）-32cos2x=1232cos2x-12（-12）sin2x-32cos2x=14sin2x-34cos2x=12sin（2x-3），则

14、f（x）的最小正周期为22=，最大值为12，故选：B11（5分）已知抛物线y24x的焦点为F，直线l过F且与抛物线交于A，B两点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为M，MAF的角平分线与抛物线的准线交于点P，线段AB的中点为Q若|AB|8，则|PQ|（）A2B4C6D8【解答】解：由题意，抛物线y24x的焦点为F（1，0），画出图形，可知PFAB，AMAF，设AB：yk（x1）与抛物线方程联立，可得可得k2x2（2k2+4）x+k20，所以x1+x2=2k2+4k2，x1x21，线段AB的中点为Q若|AB|8，x1+x2+p8，即2k2+4k2+28，解得k1，所以中点Q的横坐标：k2+2k2=3

15、，Q（3，2），PF：yx+1，与x1的解得P（1，2），所以PQ4故选：B12（5分）定义在（1，+）上的函数f（x）满足x2f（x）+10（f（x）为函数f（x）的导函数），f（3）=43，则关于x的不等式f（log2x）1logx2的解集为（）A（1，8）B（2，+）C（4，+）D（8，+）【解答】解：构造函数F（x）f（x）-1x，x（1，+），F（x）f（x）+1x2=f(x)x2+1x2，函数f（x）在（1，+）上满足x2f（x）+10，F（x）0在（1，+）上恒成立，函数F（x）在（1，+）上单调递增，不等式f（log2x）1logx2，f（log2x）logx21，即 f（lo

16、g2x）-1log2x1，又F（3）f（3）-13=43-13=1，不等式可转化为F（log2x）F（3），又函数F（x）在（1，+）上单调递增，log2x3，解得：x8，故选：D二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）已知函数f（x）=2x，x0(12)x-x，x0，f（f（1）6【解答】解：函数f（x）=2x，x0(12)x-x，x0，f（1）=(12)-1-(-1)=3f（f（1）f（3）236故答案为：614（5分）已知e1，e2是夹角为60的两个单位向量，a=e1-e2，b=e1+me2，若ab则m1【解答】解：已知e1，e2是夹角为60的两个单位向量，e1e2=11

17、cos60=12而 a=e1-e2，b=e1+me2，若ab，则 ab=（e1-e2）（e1+me2）=e12-me22+me1e2-e2e1=1m0+00，则m1，故答案为：115（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，cABC的面积S=14(a2+c2)，若sin2B=2sinAsinC，则角B的值为512【解答】解：由于sin2B=2sinAsinC，利用正弦定理整理得b2=2ac，由于ABC的面积S=14(a2+c2)，所以12acsinB=14(a2+c2)，且a2+c2b2+2accosB，故：12b22sinB=14(b2+2accosB)，转换为12b22sinB

18、=14(b2+2b22cosB)，化简得：2(sinB-cosB)=1，即2sin(B-4)=1，故sin(B-4)=12由于0B，所以-4B-434，所以B-4=6，解得：B=512故答案为：51216（5分）在三棱锥PABC中，ABBC8，ABC120，D为AC的中点，PD平面ABC，且PD8，则三棱锥PABC的外接球的表面积为260【解答】解：在ABC中，ABBC8，ABC120，所以ABC的外接圆的半径r=1283sin120=8，结合图形分析：圆心到D点的距离为4，另设三棱锥PABC的外接球球心到平面ABC的距离为d，设外接球的半径为R，则O1OB中，82+d2R2，直角梯形O1OD

19、P中，PD242+（8d）2R2，解得d1，R265，所以S4R2260，故答案为：260三解答题（共5小题）17已知数列an满足a12，a324，且an2n是等差数列（1）求an；（2）设an的前n项和为Sn，求Sn【解答】解：（1）a12，a324，a12=1，a323=3，等差数列an2n的首项为1，公差为12(3-1)=1，an2n=n，an=n2n；（2）an=n2n，Sn121+222+323+n2n，2Sn122+223+334+n2n+1，得：Sn2+22+23+2nn2n+1（1n）2n+12，Sn（n1）2n+1+218如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1

20、，D是B1C1的中点，A1AA1B12（1）求证：AB1平面A1CD；（2）若异面直线AB1和BC所成角为60，求四棱锥A1CDB1B的体积【解答】（1）证明：如图，连AC1交A1C于点E，连DE因为直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1C1C是矩形，故点E是AC1中点，又D是B1C1的中点，故DEAB1，又AB1平面A1CD，DE平面A1CD，故AB1平面A1CD（2）解：由（1）知DEAB1，又C1DBC，故C1DE或其补角为异面直线AB1和BC所成角设AC2m，则C1E=m2+1，C1D=m2+1，DE=2，故C1DE为等腰三角形，故C1DE60，故C1DE为等边三角形，则有m2+1

21、=2，得到m1故A1B1C1为等腰直角三角形，故A1DC1B1，又B1B平面A1B1C1，A1D平面A1B1C1，故A1DB1B，又B1BC1B1B1，故A1D平面CDB1B，又梯形CDB1B的面积SCDB1B=12(2+22)2=32，A1D=2，则四棱锥A1CDB1B的体积V=13SCDB1BA1D=13322=219某校从参加高二年级期末考试的学生中随机抽取了n名学生，已知这n名学生的物理成绩均不低于60分（满分为100分）现将这n名学生的物理成绩分为四组：60，70），70，80），80，90），90，100，得到的频率分布直方图如图所示，其中物理成绩在90，100内的有28名学生，将

22、物理成绩在80，100内定义为“优秀”，在60，80）内定义为“良好”（）求实数a的值及样本容量n；男生女生合计优秀良好20合计60（）根据物理成绩是否优秀，利用分层抽样的方法从这n名学生中抽取10名，再从这10名学生中随机抽取3名，求这3名学生的物理成绩至少有2名是优秀的概率；（）请将22列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为物理成绩是否优秀与性别有关？参考公式及数据：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（其中na+b+c+d）P（K2k）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.63

23、57.87910.828【解答】解：（）由题可得10（0.016+0.024+a+0.032）1，解得a0.028，又物理成绩在90，100内的有28名学生，所以28n=0.02810，解得n100；（）由题可得，这100名学生中物理成绩良好的有100（0.016+0.024）1040名，所以抽取的10名学生中物理成绩良好的有1040100=4名，物理成绩优秀的有1046名；故从这10名学生中随机抽取3名，这3名学生的物理成绩至少有2名是优秀的概率为P=C62C41+C63C103=60+20120=23；（）补充完整的22列联表如下表所示：男生女生合计优秀204060良好202040合计40

24、60100则K2的观测值为K2=100(2020-2040)240604060=2592.7783.841，所以没有95%的把握认为物理成绩是否优秀与性别有关20已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0）的离心率为22，左、右焦点分别为F1、F2，M为椭圆的下顶点，MF1交椭圆于另一点N，MNF2的面积163（1）求椭圆的方程；（2）过点P（4，0）作直线l交椭圆于A、B两点，点B关于x轴的对称点为B1，问：直线AB1是否过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由【解答】解：（1）由椭圆的离心率e=ca=22，则a=2c，b2a2c2c2，bc，MF1F2是等腰直角三角形，又|NF1|2

25、a|NF2|，在RtMNF2中，|NF2|2=a2+(a+|NF1|)2，即|NF2|2=a2+(3a-|NF2|)2，解得|NF2|=5a3，|NF1|=a3，|MN|=4a3，MNF2的面积为S=12a4a3=163，a28，b24，椭圆方程为：x28+y24=1；（2）设A（x1，y1），B1 （x2，y2），B（x2，y2），设直线AB1与x轴交于点T（t，0），直线AB1的方程为xmy+t （m0），联立方程x=my+tx28+y24=1，消去x得：（m2+2）y2+2mty+t280，（2mt）24（m2+2）（t28）0，即4m2t2+80，y1+y2=-2mtm2+2，y1y2

26、=t2-8m2+2，由P，A，B三点共线得，kPAkPB，即y1x1-4=-y2x2-4，又x1my1+t，x2my2+t，代入整理得y1（my2+t4）+y2（my1+t4）0，即2my1y2+（t4）（y1+y2）0，从而2m(t2-8)m2+2+(t-4)(-2mtm2+2)=0，即（t2）m0，解得t2，此时满足0，则直线AB1的方程为xmy+2，故直线AB1过定点T（2，0）21已知函数f（x）ex（ax+1），aR（I）求曲线yf（x）在点M（0，f（0）处的切线方程；（）求函数f（x）的单调区间；（）判断函数f（x）的零点个数【解答】解：（I）f（x）ex（ax+1），f（x）e

27、x（ax+1）+aexex（ax+a+1），设曲线yf（x）在点M（0，f（0）处的切线的斜率为k，则kf（0）ex（ax+1）+aexe0（a+1）a+1，又f（0）1，曲线yf（x）在点M（0，f（0）处的切线方程为：y1（a+1）x，即（a+1）xy+10；（）由（）知，f（x）ex（ax+a+1），故当a0时，f（x）ex0，所以f（x）在R上单调递增；当a0时，x（，-a+1a），f（x）0；x（-a+1a，+），f（x）0；f（x）的递减区间为（，-a+1a），递增区间为（-a+1a，+）；当a0时，同理可得f（x）的递增区间为（，-a+1a），递减区间为（-a+1a，+）；综上所

28、述，a0时，f（x）单调递增为（，+），无递减区间；当a0时，f（x）的递减区间为（，-a+1a），递增区间为（-a+1a，+）；当a0时，f（x）的递增区间为（，-a+1a），递减区间为（-a+1a，+）；（）当a0时，f（x）ex0恒成立，所以f（x）无零点；当a0时，由f（x）ex（ax+1）0，得：x=-1a，只有一个零点四解答题（共1小题）22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=a+2ty=-t（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2=123+sin2（1）若a2，求曲线C与l的交点坐标；（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为4

29、5的直线，交l于点A，且|PA|的最大值10，求a的值【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为2=123+sin2，整理得32+2sin212，转换为直角坐标方程为x24+y23=1当a2时，直线l的参数方程为x=a+2ty=-t（t为参数），整理得x=2+2ty=-t，转换为直角坐标方程为x+2y+20所以x24+y23=1x+2y+2=0，解得x=-2y=0或x=1y=-32，所以交点坐标为（2，0）和（1，-32）（2）曲线的直角坐标方程为x+2ya0，故曲线C上任意一点P（2cos，3sin）到直线的距离d=|2cos+23sin-a|5=|4sin(+6)-a|5，则|PA|=dsin

30、45=2d=2|4sin(+6)-a|5，当a0时，|PA|的最大值为2|-4-a|5=10，解得a1当a0时，|PA|的最大值为2|4-a|5=10，解得a1故a1或1五解答题（共1小题）23已知函数f（x）|x+a|2x2|（aR）（1）证明：f（x）|a|+1；（2）若a2，且对任意xR都有k（x+3）f（x）成立，求实数k的取值范围【解答】（1）证明：函数f（x）|x+a|2x2|（2x2）（xa2）|2x2|2x2|+|xa2|2x2|xa2|（当且仅当（2x2）（xa2）0，即（x1）（xa2）0时取等号）由于（x1）（xa2）0，当a21，即a3时，|xa2|1a2|a+1|a|+1；当1a2，即a3时，|xa2|1a2|a+1|a|+1；综上所述，f（x）|a|+1；（2）解：a2，且对任意xR都有k（x+3）f（x）|x+2|2x2|=x-4，x-23x，-2x1-x+4，x1，要使k（x+3）f（x）恒成立则过定点（3，0）的直线yk（x+3）的图象不会在yf（x）的图象的下方，在同一坐标系中作出yf（x）与yk（x+3）的图象如图，由图可知，34k1即实数k的取值范围为34，1