《实变函数与泛函分析基础》试卷及答案要点.doc

1、试卷一： 得 分 一、单项选择题（3分5=15分）1、1、下列各式正确的是（ ）（A）; （B）; （C）; （D）;2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ）（A） c (B) (C) (D) 3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测4、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A）若, 则 (B) 是可测函数 （C）是可测函数;（D）若,则可测5、设f(x)是上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数（C）在上L可积 (D) 得

2、分二. 填空题(3分5=15分)1、_2、设是上有理点全体，则=_,=_,=_.3、设是中点集，如果对任一点集都有_，则称是可测的4、可测的_条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使_,则称为 上的有界变差函数。得 分三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分4=20分)1、设，若E是稠密集，则是无处稠密集。2、若，则一定是可数集.3、若是可测函数，则必是可测函数。 4设在可测集上可积分，若，则得 分四、解答题（8分2=16分）.1、（8分）设 ，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积

3、分值。考 生 答 题 不 得 超 过 此 线2、（8分）求得 分五、证明题（6分4+10=34分）.1、（6分）证明上的全体无理数作成的集其势为.2、（6分）设是上的实值连续函数，则对于任意常数是闭集。考 生 答 题 不 得 超 过 此 线3、（6分）在上的任一有界变差函数都可以表示为两个增函数之差。 4、（6分）设在上可积，则.得 分阅卷人复查人5、（10分）设是上有限的函数，若对任意，存在闭子集，使在上连续，且，证明：是上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)试卷一 答案：试卷一 （参考答案及评分标准）一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D二、1 2、； ； 3、4、充要 5、成一有

4、界数集。三、1错误2分例如：设是上有理点全体，则和都在中稠密 .5分2错误2分例如：设是集，则，但c ， 故其为不可数集 .5分3错误2分例如：设是上的不可测集，则是上的可测函数，但不是上的可测函数.5分4错误2分5分四、1在上不是可积的，因为仅在处连续，即不连续点为正测度集.3分因为是有界可测函数，在上是可积的6分因为与相等，进一步，8分2解：设，则易知当时， .2分又因，()，所以当时，4分从而使得6分但是不等式右边的函数，在上是可积的，故有8分五、1设 2分 .3分.5分6分2.2分.3分5分.6分3. 对，使对任意互不相交的有限个当时，有2分将等分，使，对，有，所以在上是有界变差函数.

5、5分所以从而，因此，是上的有界变差函数.6分4、在上可积2分据积分的绝对连续性，有.4分对上述，从而，即6分5存在闭集在连续2分令，则在连续4分又对任意,.6分故在连续.8分又所以是上的可测函数，从而是上的可测函数.10分试卷二：实变函数试卷二专业_班级_姓名 学号题号一二三四五总分得分 注 意 事 项1、本试卷共6页。 2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。得 分一.单项选择题（3分5=15分）1设是两集合，则 =（ ） (A) (B) (C) (D) 2. 下列说法不正确的是( ) (A) 的任一领域内都有中无穷多个点，则是的聚点 (B) 的任一领域内至少有一

6、个中异于的点，则是的聚点 (C) 存在中点列，使，则是的聚点 (D) 内点必是聚点3. 下列断言( )是正确的。（A）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对；4. 下列断言中( )是错误的。（A）零测集是可测集； （B）可数个零测集的并是零测集；（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集； 5. 若，则下列断言（ ）是正确的(A) 在可积在可积； (B) (C) ;(D) 得 分二. 填空题(3分5=15分)得 分阅卷人复查人1、设，则_。2、设为Cantor集，则 ，_，=_。3、设是一列可测集，则4、鲁津定

7、理：_5、设为上的有限函数，如果_则称为上的绝对连续函数。得 分三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分4=20分)1、由于，故不存在使之间对应的映射。2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。3、收敛的函数列必依测度收敛。4、连续函数一定是有界变差函数。得 分四.解答题(8分2=16分)1、设 ，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。2、求极限 .得 分五.证明题(6分3+ =34分)1.(6分) 1、设f(x)是上的实值连续函数，则对任意常数 c， 是一开集.2.(6分) 设使，则E是可测集。 3. （6分）在上的任一有界变差函数都可以表示为两个增

8、函数之差。4.（8分）设函数列 在有界集上“基本上”一致收敛于，证明：收敛于。得 分阅卷人复查人5.（8分）设在上可积，则对任何，必存在上的连续函数，使.试卷二（参考答案及评分标准）一、1，C 2, C 3, B 4, C 5, A二、1， 2，c ；0 ； 3， 4，设是上有限的可测函数，则对任意，存在闭子集，使得在上是连续函数，且。5，对任意，使对中互不相交的任意有限个开区间只要，就有三、1错误2分记中有理数全体显然。5分2正确2分设为零测度集， ，所以，因此，是零测度集。5分3错误2分例如：取作函数列：显然当。但当时，且这说明不测度收敛到1.5分4错误2分例如：显然是的连续函数。如果对取

9、分划，则容易证明，从而得到5分四、1在上不是可积的，因为仅在处连续，即不连续点为正测度集3分因为是有界可测函数，所以在上是可积的. .6分因为与相等, 进一步，8分2设，则易知当时，2分又4分但是不等式右边的函数，在上是可积的6分故有8分五、1.1分在点连续，对当时，有3分 ，5分因此，从而为开集.6分2对任何正整数，由条件存在开集使1分令，则是可测集3分又因对一切正整数成立，因而，即是一零测度集，所以也可测.5分由知，可测。6分3、易知是上的增函数2分令, 则对于有所以是上的增函数4分因此，其中与均为上的有限增函数. .6分4、因为在上“基本上”一致收敛于，所以对于任意的，存在可测集，在上一致收敛于，且3分令，则在上处处收敛到5分，k=1,2所以8分5、证明：设由于在上有限，故.2分由积分的绝对连续性，对任何，使4分令，在上利用鲁津定理，存在闭集和在上的连续函数使（1）（2）时，且6分所以 .8分