大学物理 上册(第五版)重点总结归纳及试题详解第一章质点运动学.docx

1、第一章质点运动学一、 基本要求1. 掌握位矢、位移、速度、加速度、角速度和角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量。2. 能借助于直角坐标系计算质点在平面内运动时的速度和加速度。3. 能计算质点作圆周运动时的角速度和角加速度，切向和法向加速度。4. 理解伽利略坐标变换和速度变换。二、 基本内容1. 位置矢量（简称位矢）位置矢量，表示质点任意时刻在空间的位置，用从坐标原点向质点所在点所引的一条有向线段r 表示。 r 的端点表示任意时刻质点的空间位置。r 同时表示任意时刻质点离坐标原点的距离及质点位置相对坐标系的方位。位矢是描述质点运动状态的物理量之一。注意：（1）瞬时性：质点运动时，其位矢是随时

2、间变化的，即 r = r (t )；（2）相对性：用 r 描述质点位置时，对同一质点在同一时刻的位置，在不同坐标系中 r 表达形式可以是不相同的。它表示了r 的相对性，也反映了运动描述的相对性；（3）矢量性： r 为矢量，它有大小，有方向，服从几何加法。在直角坐标系Oxyz 中r = xi + yj + zkx2 + y2 + z2r = r =cosa = xr , cos b = yr , cosg = zr质点的运动方程为r = r (t )= x (t )i + y (t ) j + z (t )k（矢量式）x = x(t )或 y = y(t )（标量式）。z = z(t )2. 位

3、移(Dx)2 + (Dy )2 + (Dz )2Dr = r (t + Dt )- r (t )= Dxi + Dyj + Dzk,Dr 的模 Dr =。注意：（1） Dr 与Dr 的区别：前者表示质点位置变化，是矢量，同时反映位置变化的大小和方位；后者是标量，反映质点位置离开坐标原点的距离的变化。（2）Dr 与Ds 的区别： Ds 表示t t + Dt 时间内质点通过的路程，是标量，只有质点在直线直进时两者的大小相等或当Dt 0 时， Dr = Ds 。3. 速度v = dr ，是质点位置矢量对时间的变化率。dt在直角坐标系中v = dr = dx i + dy j + dz k = v i

4、 + vj + v kv 的大小： v = v =dtdtdtdt dx 2 dy 2 dz 2 + + dt dt dt v2 + v2 + v2xyz=xyzv 的方向：在直线运动中， v 0 表示质点沿坐标轴正向运动， v 0)yx2（2） r (t )= x (t )i + y (t ) j = 2ti + (19 - 2t 2 )j而v = dx = 2vxdty= dy = -4t dt故v = v i + vxyj = 2i - 4tj（3） r v 时则r v = 0即(xi + yj ) (v i + vxyj )= xvx+ yvy= 2t 2 + (19 - 2t 2 )

5、 (-4t )= 0(4t (1-19 - 2t 2)= 4t(2t 2 -18)= 0得t = 0, t12= 3s, (t3= -3s舍去)x 2 + y 2(2t)2 + (19 - 2t 2 )2（4）r =dr()取极小值，由dt= 08t 2t 2 - 18 = 0得t = 0, t12= 3s,t3= -3s （舍去）d 2 rdt 2但 0 ， 且r (3)= 6.08md 2 rdt 2t3故 t = 3s 时质点离原点距离最近，其距离为6.08m 。1-4 一质点具有恒定加速度 a = 6i + 4 j (SI)。t = 0 时，质点速度为零，位置矢量r = 10i 。求：

6、（1）质点在任意时刻的速度和位置矢量；（2）质点的轨迹方程。0解：由题意知： ax= 6m s -2 , aydv= 4m s -2（1） a =xxdvdtx= a dtxvx dv = a dt = t 6dtv= 6t0xx0x而v = dxdx = v dt = 6tdtxdtxx dx = t 6tdtx -10 = 3t 2x = 10 + 3t 2100同理ay= dvydt= 4dvy= 4dtvy dv0y= t 4dt即v0y= 4t而v = dydy = v dt = 4tdtydtyy dy = t 4tdty = 2t 200由此可得v = v i + v(xyj =

7、 6ti + 4tjr = xi + yj =10 + 3t 2i + 2t 2 j)（2） 轨道方程由 x = 10 + 3t 2 , y = 2t 2 消 t 得3x = 10 +2y即 3y - 2x + 20 = 01-5 消防水枪喷出的水的流量是 q = 280l min -1 。水的流速 v = 26m s-1 。若水枪竖直向上喷射，水流上升的高度是多少？在任一瞬间空中有多少升水？v2解： 竖直上抛的最大高度H =0 = 33.8m2g水上升到最大高度的时间，由v = v - gt （令 v = 0 ， v 为上升到最高点的速y0yy度）得v26t = 0 = 2.6s则水在空中运

8、动5.2sg10280l又因为q = 280l min-1 =60s= 4.67l s -1在时间小于5.2s 喷向空中水Q = qt = 4.67t （升）在时间大于5.2s 喷向空中水Q = 2qt = 24.3 （升）1-6 一升降机以加速度1.22m s -2 上升，当上升速度为 2.44m s -1 时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m 。计算：（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；（2）螺帽相对升降机外固定柱子下降的距离。解： 以地面为参照系，坐标原点选在升降机以速度2.44.m s -1 上升时刻机外固定柱上对应升降机地板所在处，向上为正。（1）

9、螺帽在t = 0 时，从 y = y = 2.74m 处以初速为v = 2.44m s-1 作上抛运动。其00运动方程为y = y1+ v t -gt 21002地板在t = 0 时，以初速v = 2.44m s-1 ，从原点作加速上抛运动，其方程为01y = v t +at 2螺帽落地时 y = y1220211y + v t - gt 2 = v t + at 200202y = 1 at 2 + 1 gt 2 = 1 (a + g )t 2 0222t =2 ya + g0 =2 2.741.22 + 9.8= 0.705s（2）螺帽下降的距离11y - y = - v t - 2 gt

10、 2 = - 2.44 0.71 - 2 9.8 0.712 = 0.72m1-7如图所示，有人在离水面高h 处通过滑轮用绳子拉船靠岸。 设人用匀速v 收绳0子拉船，求当船与滑轮的水平距离为 x 时，船的速度和加速度的大小。01 0解：设绳长为s ，由图可知题 1-7 图s 2 - h2s 2 = h 2 + x 2x =dx1 ()- 1dsv =s2 - h22 2s 人以匀速 v收绳拉船dt2dt=sds s2 - h2 dtds = -v0v =v 的方向沿 x 轴负方向船的加速度dth2 + x2(-vx00h2 + x2)= -vx00s2 - h2dvd sv a = = -dt

11、dt = -d (sv )s2 - h2 dt0- sv d (s2 - h2 - 2)10 dtvds1 ()- 3dss2 - h2 dt= -0- sv -s2 - h22 2sv2 (s2 - h2 )0 2 s2 v2dtv2h2=0()- (0 )= - (0 0 )s2 - h2s2 - h2s2 - h2 3 2s2 - h2 3 2h2 v2= -0x3a 的方向沿 x 轴负方向1-8如图所示，一人站在山坡上，山坡与水平面成a 角。他扔出一个初速为 v 的小石子， v 与水00平面成q 角（向上）。（1） 如空气阻力不计，试证小石子落在斜坡上距离为s 处：题 1-8 图2v2

12、 sin (q +a)cosqs =0g cos2 a（2） 由此证明，对于给定的 v 与a 值， s 在q = p - a 时有最大值： 042v2 (1+ sina)s= 0maxg cos2 a解：以斜面方向为 x 轴，垂直于斜面为 y 轴，扔出点为原点建立Oxy 坐标系。10v= vcos (q +a )x = v t +g t 2（1） 0 xv= v sin (q +a )0 x2 x10 y0 y = v t +g t 20 y2y小石子落地时y = 0g = g sinaxg = -g cosay落地时间v sin (q +a )t + 1 (-g cosa )t 2 = 00

13、22v sin (a +q )t =0g cosa小石子落在斜坡上的距离s = x = v0cos (q +a )t + 1 g sin at 222v2 sin (q +a )cos (q +a )4v2 g sina sin2 (a +q )= 0+ 0g cosa2g 2 cos2 a2v2 g cosa sin (q +a )cos (q +a )2v2 g sina sin2 (q +a )=0+0g 2 cos2 ag 2 cos2 a2v2 sin (q +a )=0g cos2 a2v2 sin (q +a )cosa cos (q +a()+ sina sin(q +a)=0

14、g cos2 a2v2 sin (q +a )cos q +a -a=（2）对于给定的 v00g cos2 a和a 值cosqv2 2sin (q +a )cosq 0s =0=v2g cos2 a0=v2g cos2 asin (q +q +a )- sin (q -q -a )sin (2q +a )+ sinag cos2 a 由上式可知，小石子落在斜坡上距离s 最大值的条件是sin(2q +a)= 12q +a = pq = p - a242故smaxv2 (1+ sina)= 0g cos2 a1-9 一个人扔石头的最大出手速度为 v = 25m s-1 ，他能击中一个与他的手水平距

15、离为l = 50m ，高h 为13m 处的一个目标吗？在这个距离上他能击中的目标的最大高度是多少？解： 以出手点为原点，建立 Oxy 坐标，设出手速度 v 与 x 轴夹角为q ，忽略空0气阻力有1y = v0 sin q t - 2 gt 2x = v 0 cos q t消去t ，得石头运动轨道方程y = x tanq -gx22v2 cos2 q代入v = 25m s-1 , x = l = 50my = 50 tanq -当 dy = 0 时 y 取极值dq2gcos2 q0d (50 tanq -2g) = 0题 1-9 图dqcos2 qq2 sinq50 sec2- 2g= 0 co

16、s3 q得tanq = 504g= 1.2755q = 51.9o故当q = 51.9o 时， y 在l = 50m 处的最高高度为：y = 50 tan(51.9o )-(2gcos 2 51.9o)= 12.3m所以不能击中目标，能击中的最大高度是12.3m 。1-10 一质点沿直线运动，其坐标 x 与时间t 如下关系，x = Ae - bt cos w t(SI )（ A, b 皆为常数）。 求（1）任意时刻t 质点的加速度；（2）质点通过原点的时刻t 。解：质点运动方程x = Ae - bt cos w t（1） 速度v = dx = d (Ae-bt coswt )dtdt= 1 (

17、Ae-bt d coswt + A coswtde-bt ) dt= - Awe- bt sinwt - Abe-bt coswt加速度a = d v = 1 (- Awe- btd sinwt - Aw sinwtde-bt - Abe-btd coswt - Ab coswtde-bt )dtdt= - Aw2e- bt coswt + Awb sin wte-bt + Abwe- bt sin wt + Ab 2 coswte-bt= Ae-bt (b 2 - w2 )coswt + 2wb sin wt （2） 质点通过原点时x = 0Ae - bt cos w t = 0由于e -

18、bt 0cos w t = 0wt = kp + pk = 0,1,2, 2t = (2k +1)p2wk = 0,1,2, 1-11 一质点沿半径为 R 的圆周运动，其路程s 随时间t 变化的规律为s = bt - 1 ct2 (SI)2式中b , c 为大于零的常数，且b 2 R 。求：（1）质点运动的切向加速度a 和法向加速t度a ；（2） a = a 的时刻t 。ntn1解：质点作圆运动s = bt - ct 22ds（1） 速率v = dt = b - ct切向加速度at= dv = -c dtv2(b - ct )2法向加速度an= R =R（2） 切向加速度a = -c 0 ，当

19、 a = a 时tntn(b - ct )2 = c(b - ct )2 = RcRb - ct = bRcRct = c 1-12 一质点沿半径为 R 的圆周按路程为 s = v t - 1 bt 2 (SI)的规律运动，其中02v , b 都是常量。（1）求t 时刻质点的加速度；（2）t 为何时，加速度的大小等于b ？（3）01当加速度为b 时，质点沿圆周运动了多少圈？解：质点作圆周运动s = v t -bt 2（1） 速率v =02ds= vdt0- bt切向加速度at= dv = -b dtv2(v - bt )2法向加速度a =1RR2b2 + (v - bt )40nRa2 + a

20、2nt质点的加速度大小为a =a0R (v- bt )2 a 与v 的夹角q = arctan nat= arctan -0Rb1RR2b2 + (v - bt )40v（2） 当a = b 时= bt = 0b0（3） 当a = b 时， t = vs = v t - 1 bt = v220b022b04Rb质点沿圆周运行的圈数n =s=v22p Rp1-13 一质点沿半径为 0.1m 的圆周运动， 用角坐标表示其运动方程为q = 2 + 4t3 (SI )。（1） t = 2s 时质点切向加速度和法向加速度的大小；（2） 当q 等于多少时，质点的加速度和半径的夹角成 45。解：质点作圆周运

21、动q = 2 + 4t 3dq（1）角速度w = 12t 2dt角加速度b = dw = 24tdt切向加速度a= dv =d (wR)= Rb = R 24t = 4.8m s-2法向加速度antdtdtwRRv2w2 R2=2 =RR(12t 2 )2= 230.4m s-2（2）质点的加速度和半径的夹角为 45，即a 与a n成 45角a 2 + a 2nt(24Rt )2 + (144Rt 4 )2a =a1a22n = cos 45 =n =(144Rt 4 )2 1() =aa2(24Rt )2 + 144Rt 4 2 21t 3 = 6此时质点的角位移q = 2 + 4t 3 =

22、 2.67rad1-14 一个半径为 R = 1.0m 的圆盘，可以绕一水平轴自由转动，一根轻绳绕在盘子的边 缘，其自由端拴一物体 A ，如图所示。在重力作用下，物体 A 从静止开始匀加速的下降，在Dt = 2.0s 内下降的距离 h = 0.4m 。求物体开始下降后3s 末，边缘上任一点的切向加速度与法向加速度。题 1-14 图解： 在竖直方向建立 x 坐标， t = 0 时， x0 = 0 ； 物体由静止开始匀加速下降，设加速度为a ， v = 0011h = x + v t +at 2 =at 200222h圆盘边缘一点的切向加速度a = 0.2m s -2t 2dva =tdt= a

23、= 0.2m s-2v2(v + at )2a2t 2法向加速度a =0=nRRRt = 3s时an= a 2 t 2R= 0.36m s -2 ，at= 0.2m s -21-15 从同一地点，以相同速率朝不同方向把许多石子扔向空中，由运动学公式证明这些石子在空中相同高度处有相同速率（不计空气阻力）。证：设某一石子的抛射角为q ，初速率为v 。在任一时刻t ，石子沿 x 轴和 y 轴0的速度分量为v = v cosqv = v sinq - gtx0y01石子在t 时刻的高度H = v0 sin q t - 2 gt 2(v0cos q )2 + (v sin q - gt )20v 2 +

24、 v 2xyv =v 2 cos 2 q + v 2 sin 2 q - 2v sin q gt + g 2 t 2000v20- 2 gsint -gtvq1202=v 2 - 2 gH0=可见，作抛体运动的石子在任一时刻的速率与抛射角q 无关，只取决于高度H 和初速 v 。这些石子在相同高度处有相同速率。1-16如图所示，在一平坦高地上安放一门炮，高地边缘是一向下的陡壁，炮位距离陡壁 l = 8100m ， 陡 壁 下 面 的 地 平 面 低 于 炮 位h = 100m 。用炮轰击掩蔽在陡壁后面的目标。如果炮弹出口速率为v = 300m s-1 ，忽略空气阻力，00求：题 1-16 图（1

25、） 离陡壁最近的炮弹弹着点距陡壁的距离d ；（2） 这时炮弹出口速度与水平面的夹角q 。解：（1）炮弹着地点若离陡壁最近，则炮弹会经过高地边缘。炮弹作抛体运动的轨道方程y = x tanq -炮弹经陡壁边缘 y = 0 ， x = l 代入上式gx22v2 cos2 q0g2v20gl= tanq 2v2 cos2 q0l = sinq cosq = 1 sin 2q2（2）炮弹出口速度与水平面夹角2q = arcsin( gl ) = 61.88v20得q = 30.94炮弹落地点y = -h ， x = l + d 代入得-h =(l + d)tanqg (l + d )2- 2v2 co

26、s2 q0d = 59.5m1-17 如图所示，一气象气球自地面以匀速 v 上升到天空，在距离放出点为 R 处的 A 点用望远镜对气球进行观测。记录得气球的仰角q 为时间t 的函数。（1）求出用h 和 R 表示仰角q 的公式；（2）求出 dq 作为时间的函数的公式；（3）试证当上dt升时间t R 时， dq 将按 R 趋近于零。vdtvt 2解：（1）由图可知，任一时刻ttanq =气球匀速上升h = vttanq = vth Rq = arctan vt题 1-17 图RR（2） 等式 tanq = vt ，两边对时间t 求导Rd (tanq )=dtd vt sec2q dq = vdt

27、R dtRqcosdqvvR2vRR=2=dtRR h2 + R2v2t 2 + R2 R 2 v t 2 + v R R 2（3） 当上升时间t v 时， t 2 + v t 2 dq =RR= R = vdt R 2 vt 2t 2v t 2 + v 故当t R ， dq 将按R 趋于零。 vdtvt 21-18 为转播电视而发射的地球同步卫星，它在赤道上空的圆形轨道上运动，周期等于地球自转周期T = 24h 。求卫星离开地面的高度和卫星的速率（距地球中心r处的重力加速度， a = g(Rer)2 ， Re是地球半径）2p解：由题知同步卫星作圆周运动的角速度 w = R 224 60 60

28、rad s -1 ，向心加速度a = ge ， r = Rn r e+ h 。v2w (R + h)2()又向心力由万有引力提供， an=erR + h= R + h w2eeR2()()gR 2 R + h 所以g e =eR + h w 2eR + h 3 = e ew 2卫星高度h =- R = 3.59 107 mgR 23ew 2e卫星速率v = w (Re+ h)= 3.07103 m s-11-19 一飞轮的角速度在5s 内由900r min-1 均匀地减到800r min-1 。（1）求角加速度；（2）求在此5s 内的总转数；（3）再经多长时间，轮将停止转动？解：飞轮作匀减速运

29、动，在 t = 5s 内角速度由w 减至w ，角位移为q -q 。设角00加速度为b（1）由匀速圆周运动速度方程w = w + bt0w -wb =0t= -1200r min-2 = -2.093rad s -21（2）由q = q0+ w t +0bt 22q -q0= 70.83 转（3）又经时间t，飞轮停止转动 w = 00w = w + b (t + t )t + t = 45st = 45 - 5 = 40s1-20 北京正负电子对撞机的储存环的周长为240m ，电子要沿环以非常接近光速的速率运行。这些电子运动的向心加速度是重力加速度的几倍？解：电子以接近光速c 的速率作圆周运动，

30、储存环的周长为 L ，半径为 R 。v2c2向心加速度an= 2.351015 m s-2RL2p故an = 2.4 1014g1-21 一无风的下雨天，一火车以 20m s -1 的速度前进，车内旅客看见玻璃窗上的雨滴和铅垂线成 75角下降，求雨滴下落的速度（设下降的雨滴作匀速运动）。解：以地面为参照系，火车相对地面运动的速度为v ，雨滴相对于地面的运动速122对于火车的运动速度。由图可知：v = v + v212v度为v，旅客看到雨滴下落的速度为v ，即雨滴相tan 75 = v12vv =1= 5.36m s-1题 1-21 图202tan 75tan 751-22 飞机 A 以 v =

31、 1000km h-1 的速率（相对地面）向南飞行。同时另一架飞A机 B 以 v = 800km h-1 的速率（相对地面）向东偏南30角方向飞行。求 A 机相对于 B0机的速度与 B 机相对于 A 机的速度。题 1-22 图(a)题 1-22 图(b)解：设飞机 A 相对于飞机 B 的速度为vAB，飞机 B 相对于飞机 A 的速度为v，BAA 机相对地面的速度为vA， B 机相对地面的速度为v 。B则v+ v = v如图(a)ABBAv+ v = v如图(b)BAABv2 + v2 - 2v v cos (90 - 30 )ABA B由余弦定理：v=AB= 917km h-1设v与正西方向的夹角为qABcosq = vB cos30 0.7555vABq = arccos(0.7555)= 40 52所以vAB的方向为西偏南40 52同理v= 917km h-1v的方向为东偏北 40 52BABA1-23 一人骑自行车向东而行，