江苏省徐州市2020届高三春季联考数学试题含附加题(清晰PDF版 带答案详解及评分参考）.pdf

1、3 2020 届高三春季联考 数学 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共14小题，每小题小题，每小题5 分，共计分，共计70 分请把答案填写在答题卡相应位置上分请把答案填写在答题卡相应位置上 . 1. 设全集UR，集合 1,0,1,2,3A ， |2Bx x，则BCA U = 2复数 1 i i 的虚部是 3. 某校为了解高三同学暑假期间学习情况，抽查了 100 名同学， 统计他们每天平均学习时间,绘成频率分 布直方图（如图） ， 则这 100 名同学中学习时间在 68 小时内 的人数为 4. 如图是一个算法的流程图，若输入的x的值为1，则输出的S的 值为 5. 某校有,A B两个学生食堂

2、，若, ,a b c三名学生各自随机选择其 中的一个食堂用餐， 则三人不在同一个食堂用餐的概率为 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题）两部分。 本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置 作答一律无效。如需作图，须用 2B 铅笔绘图、写清楚，线条、

3、符号等须加黑、加粗。 0.04 0.05 0.12 0.14 小时 频率/组距 10864212 x （第 3 题图） （第 4 题图） 4 6.已知正四棱锥的底面边长是24，侧棱长为5，则该正四棱锥的体积为 7. 若将函数( )sin(2) 3 f xx 的图象沿 x 轴向右平移(0)个单位后所得的图象关于y轴对称， 则 的最小值为 8. 已知 n a为等差数列，其公差为 2，且 7 a是 3 a与 9 a的等比中项， n S为 n a前n项和， 则 10 S的值为 9. 若双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线与圆1) 1( : 22 yxC相交于,A B两点且 90ACB

4、 ,则此双曲线的离心率为 10. 函数 ) 1ln( 43 2 x xx y的定义域为 11. 已知, x yR，且1x ，若(1)(2)1xy，则66xyxy的最小值为 12. 在ABC中，若120 ,2,3BACBABC ， , 2 1 3 1 BABCBM 则MCMA 13.已知圆 O： 22 4xy，直线 l 与圆 O 交于 P、Q 两点，A(2，2)，若 AP2AQ240， 则弦 PQ 的长度的最大值为 14.函数( )f x满足( )(4)f xf x， 当 x2， 2)时， 32 23 2 ( ) 1, 2 xxaxa f x x ax , ，若函数( )f x 在0，2020)

5、上有 1515 个零点， 则实数 a 的取值范围是 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共6 小题，共计小题，共计90分请在答题卡指定区域分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 15. (本小题满分 14 分) 已知向量(cos ,sin ) ,( 3sin ,sin )mxxnxx ，函数( )f xm n . （1）求函数 ( )f x的最小正周期. （2）若 13 ,() 2210 f （0， ），求sin的值. 5 16(本小题满分 14 分) 如图，在直三棱柱 111 CBAABC 中，BCAC

6、，M是棱CC1上的一点 （1）求证：AMBC ； （2）若NM,分别是ABCC , 1 的中点， 求证：./ 1 AMBCN平面 17. (本小题满分 14 分) 如图，某居民区内有一直角梯形区域ABCD，ABCD，ABBC，6AB 百米，4CD 百米.该区 域内原有道路AC， 现新修一条直道DP（宽度忽略不计） ， 点P在道路AC上 （异于,A C两点） ， 6 BAC ， DPA. （1）用表示直道 DP 的长度； （2）计划在ADP区域内修建健身广场，在CDP区域内种植花草已知修建健身广场的成本为每平 方百米 4 万元，种植花草的成本为每平方百米 2 万元， 新建道路 DP 的成本为每百

7、米 4 万元，求以上三 项费用总和的最小值（单位：万元） C B A D P （第 17 题图） A B N M 1 C C （第 16 题图） 1 A B1 6 18.(本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 过点0,1，椭圆C的离心率为 3 2 e . （1）求椭圆C的标准方程； （2）如图，设直线l与圆 222 12xyrr相切与点A，与椭圆C相切于点B，当r为何值时，线段AB 长度最大？并求出最大值. 19.(本小题满分 16 分) 已知函数( )lnf xxxa和函数( )lng xxax. （ 1） 若曲线( )f x在1

8、x 处的切线 过点(2, 2)A，求实数a的值； （ 2） 求函数( )( ) 2 h xg xx的单调区间； （ 3） 若不等式( )( )0f xg x对于任意的1x 恒成立, 求实数a的最大值. （第 18 题图） 7 20. (本小题满分 16 分) 已知等差数列 n a和等比数列 n b的各项均为整数，它们的前 n 项和分别为 n S， n T，且 11 22ba， 23 54b S ， 22 11aT （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）求 1 1223 3nnn Maba ba ba b； （3）是否存在正整数 m，使得 1mm mm ST ST 恰好是数列 n a

9、或 n b中的项？若存在，求出所有满足条件的 m 的值；若不存在，说明理由 8 2020 届高三春季联考 数学(附加题) 21.【选做题】本题包括21.【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的区域内作答。 若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的区域内作答。 若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A.【选修 42：矩阵与变换】 （本小题满分 10 分） 已知二阶矩阵 1 3 a M b 的特征值1 所对应的一个特征向量 1 1 3 e （1）求矩阵M； （2

10、）设曲线C在变换矩阵M作用下得到的曲线C的方程为1xy，求曲线C的方程 B B.【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合若直线 l 的极坐标方程 为sin3 2 4 （1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知P为椭圆 2 2 1 3 x Cy:上一点，求P到直线l的距离的最小值 注意事项注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1本试卷共 2 页，均为非选择题（第 21 题第 23 题） 。本卷满分为 40 分。考试时间为 30

11、 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置 作答一律无效。如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 9 C 【选修 4 - 5：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知实数 x，y，z 满足 x + y + z = 2，求 222 32zyx的最小值 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答

12、解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤 分请在答卷纸指定区域内作答解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22.22.（本小题满分 10 分） 已知(,), (,) 1122 A x yB xy是抛物线 2 :2(0)C xpy p上不同两点 (1) 若抛物线C的焦点为F，(,) 00 D xy为AB的中点，且 0 42AFBFy, 求抛物线C的方程； (2) 若直线AB与x轴交于点P，与y轴的正半轴交于点Q，且 2 12 4 p y y ， 是否存在直线AB，使得 113 PAPBPQ ？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由 10 23.23.（本小题满分 10 分） 已知数

13、集, 21n aaaA ，其中 n aaa 21 0，且3n，若对ji, （nji1） ， ij aa 与 ij aa 两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P （1）分别判断数集3 , 1 , 0与数集6 , 4 , 2 , 0是否具有性质P，说明理由； （2）已知数集 821 aaaA,具有性质P，判断数列 821 aaa,是否为等差数 列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由 11 2020 届春季联考数学参考答案届春季联考数学参考答案 一、填空题： 135 1.1,0,12.3.304.735.6.327. 2412 63 8.1109.210.1,00,111.2512. 2

14、 1 13.2 214.,0 2 二、解答题： 15.（1） 2 sincossin3xxxxf2 分 2 1 ) 6 2sin( 2 cos1 2sin 2 3 x x x4 分 xf的最小正周期为6 分 （2） 10 13 2 1 ) 6 sin( 2 f 5 4 ) 6 sin( 8 分 2 0 366 10 分 5 3 5 4 1) 6 (sin1) 6 cos( 2 2 12 分 6 sin 6 cos 6 cos 6 sin 66 sinsin 10 334 2 1 5 3 2 3 5 4 14 分 16. (1)在直三棱柱 111 CBAABC 中，ABCCC平面 1 ,ABCB

15、C平面BCCC 1 2 分 又ACBC ，CCCAC 1 ， 11A ACCAC平面， 111 AACCCC平面 11A ACCBC平面4 分 AMBCAACCAM 11 平面又 6 分 （2）QMNQQAB，连接的中点为取 1 中点、分别为、中，在 11 ABABQNABB 11 2 1 /ABNQABNQ且8 分 在直三棱柱 111 CBAABC 中， 12 的中点为，且 11111/ CCMCCBBCCBB 11 2 1 /BBCMBBCM且10 分 MCNQMCNQ且/为平行四边形四边形NCMQQMNC /12 分 11, AMBQMAMBNC平面平面又 1 /AMBCN平面14 分

16、17.（1）过点D作 DD 垂直于线段AB，垂足为 D 在直角ABC中，因为 ABBC， 6 BAC ，6AB ，所以2 3BC 在直角ADD中，因为2AD ，2 3DD ，所以4AD ，则 3 sin 2 DAD ， 故 3 DAD ，2 分 又 6 BAC ，所以 6 DAP 在ADP中，由正弦定理得 sin sin 6 ADDP =， 所以 2 sin DP ， 5 66 4 分 （2）在ADP中，由正弦定理得 sinsin APAD ADP ， 所以 5 4sin 4sin6 sinsin ADP AP 所以 55 4sin4sin 11266 sinsin 22sinsinsin A

17、PD SAP PD V 6 分 又 112 sin44sin4 3 223 ADC SAD DCADC V 所以 5 4sin 6 4 3 sin DPCADCAPD SSS VVV 8 分 设三项费用总和为( )f， 则 55 4sin()4sin() 266 ( )4(4 3)24 sinsinsin f 2cos 12 34() sin ， 5 66 ，10 分 所以 2 1 cos 2 ( )8() sin f ，令( )0 f ，则 2 3 C B A D P D 13 列表： 所以 2 3 时，min( )16 3f12 分 答：以上三项费用总和的最小值为16 3万元14 分 18

18、.解： （1）椭圆方程为1 4 2 2 y x 4 分 （2）设直线l的方程为ykxm，因为直线l与圆 C： 222 xyR(12R)相切于A， 所以 2 | 1 m R k ，即 222 (1)mRk，6 分 因为l与椭圆 2 2 1 4 x Ey相切于点B， 由 2 2 1 4 ykxm x y 得 22 4()4xkxm， 即 222 (14)8440kxkmxm有两个相等的实数解， 则 222222 6416(14)(1)16(41)0k mkmkm， 即 22 410km ，8 分 由、可得 2 2 2 2 2 2 3 4 1 4 R m R R k R ，10 分 设 11 (,)

19、B x y，由求根公式得 1 22 844 2(14) kmkmk x kmm ， 22 11 441 () kkm ykxmkm mmm ， 22 2 2 2 1 2 1 1614 |5 k OB mR xy ，12 分 在直角三角形OAB中， 22222 22 44 |55()ABOBOARR RR ，14 分 2 63 ， 2 3 25 36 ， ( )f 0 ( )f 2 3 Z 14 因为 2 2 4 4R R ，当且仅当2(1,2)R 时取等号，所以 2 |541AB， 即当2(1,2)R 时，|AB取得最大值，最大值为 116 分 19.解（1） ( )ln( )( )1111f

20、xxffa又 曲线( )f x在1x 处的切线方程为 -12 2yaxA切线过点（ ，）2213aa 3 分 2 2 22 2 ( )ln0 + 21 ( )0108 ( )802 22 2 h xxaxx xax h xxaxa x aa （2）的定义域为， 则令 当即时 ( ) 0( )0 +h xh x 函数的单调增区间为：，5 分 2 22 2 12 12 ( )802 22 2 88 210, 44 2 20,0,( )0 aaa aaaa xaxxx axxh x 当即或时， 有两个不等的实数根 当时， ( )0 +h x函数单调增区间为，7 分 12 2 20,0,axx当时，

21、12 12 22 ( )0 ( )0 88 ( )+ 44 h xxxxx h xxxx aaaa x 令，则0或 令，则 h单调递增区间为（0，）， 22 88 ( ), 44 aaaa h x 单调递减区间为（）9 分 （3）令 aaxxxxxgxfxFlnln， 则 a x xxF1 1 ln 记 a x xx1 1 ln，则 0 111 22 x x xx x，所以 xF 在，1上单调递增， 故 aFxF21 当2a， 0 xF，故 xF在，1上单调递增， 15 所以 01 FxF，符合题意.11 分 当2a时， 0 1 1 a e xF，故 01 FeF a ，13 分 又 xF 在

22、，1上单调递增，所以存在唯一的实数 , 1 0 x，使得0 0 xF， 列表如下： 则当 0 , 1 xx时， 01 FxF，这与 0xF恒成立矛盾.15 分 综上，实数a的最大值为 2.（16 分）16 分 20. 解： （1）设数列 n a的公差为d，数列 n b的公比为q. 因为11,54, 22 223211 TaSbab， 所以 ,11221 ,54332 qd dq 即 , 82 , 91 qd dq 解得 2 3 d q 或 5 2 3 d q （舍去） ，2 分 所以 1 32, 12 n nn bna 4 分 （2） 12 332211 321232532321 n nnn

23、nbabababaM nn n nnM321232323233213 12 所以 nnn n nnM34443212333422 12 6 分 所以2312 n n nM8 分 (3) 由（1）可得13, 2 n nn TnS 所以 m m mm mm m m TS TS 31 31 2 12 1 10 分 因为 mm mm TS TS 1 是数列 n a或 n b中的一项，所以 NLL m m m m , 31 31 2 12 所以 m LmL3311 2 ，因为03 , 01 2 m m 所以32, 31 LLNLm或则又12 分 16 当2L时，有 , 3 1 , 1 3 1 ,31 2

24、2 2 mm m m mf m m 令即 则 1 22 1 2 3 322 3 1 3 11 1 mmm mmmm mfmf 当 , 012;211mfmfmffm时，当时， 即 4321ffff 由 1 3 1 , 3 1 2, 01 2 m m ff知无整数解. 14 分 当3L时，有01 2 m，即存在1m使得3 31 31 2 12 m m m m ，是数列 n a中的第 2 项， 故存在正整数1m，使得 mm mm TS TS 1 是数列 n a中的项. 16 分 17 2020 届春季联考数学（选修）参考答案2020 届春季联考数学（选修）参考答案 【选做题】在【选做题】在 A，B

25、，C 四小题中只能选做两题，每小题四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共分，共 20 分解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 分解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 21A21A 解： （1）由 b a 3 1 3- 1 -1 3- 1 得 333 13 b a ，即 0 2 b a 3 分 03 12 M5 分 （2）设曲线C上一点),(yxP在矩阵M的作用下的到点) , ( yxP，则点 P在曲线C上 。 03 12 y x y x 即 xy yxx 3 2 8 分 又1yx13)2(xyx 整理得曲线C的方程为136 2 xyx10 分 21B21B. 解： （1）直线l

26、的极坐标方程sin3 2 4 ，则 22 sincos3 2 22 ， 即sincos6，2 分 所以直线l的直角坐标方程为60xy；4 分 （2）P为椭圆 2 2 1 3 x Cy:上一点，设( 3cossin)P,，其中0 2,， 则P到直线l的距离 |2cos()6| |3cossin6| 6 22 d ，8 分 当cos()1 6 时，d的最小值为2 210 分 21C证明：由柯西不等式可知 2222222 1111 (231)()()1 (23) 2323 xyzxyz 4 分 所以 2 222 ()24 23 11 11 1 23 xyz xyz ，8 分 当且仅当 11 12 ,

27、 11 4 , 11 6 zyx时取等号10 分 18 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤 分请在答卷纸指定区域内作答解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22.解： （1） 12 AFBFyyp由抛物线的定义得 00 2424ypyp2 分 2 8 .xy所求抛物线方程为4 分 （2）由题意得AB的斜率存在设:(0,0)AB ykxm km 2 1212 2 22022 2 ykxm xpkxpmxxpkx xpm xpy 2 22 1212 22 42 p

28、p y ymmyypkm6 分 作 AAx 轴，BBx 轴，垂足为 A，B， 22 2 12 22 1212 113 33.6 1 2 22 () 22 3 1 4 44 PQPQOQOQ PAPBPQPAPBAABB p pkpk mpkm mmm yy ppyyy y 分 8 分 2 111 4222 p kkABx 存在直线：y=符合题意10 分 23.解： （）由于13和13都不属于集合310 ,， 所以该集合不具有性质P；2 分 由于02 、04 、06 、24、26 、46 、00 、 22、44、66 都属于集合6420,， 所以该数集具有性质 P4 分 （）, 821 aaaA

29、 具有性质P，所以 88 aa 与 88 aa 中至少有一个属于A， 由 821 0aaa ，有 888 aaa，故Aaa 88 ，Aaa 88 0，故0 1 a 821 0aaa ， 88 aaa k ，故)8 , 3 , 2( 8 kAaa k 由A具有性质P知，)8 , 3 , 2( 8 kAaa k ，又 18287888 aaaaaaaa ， 19 818728278188 ,aaaaaaaaaaaa ，即)8 , 2 , 1( 89 iaaa ii 6 分 由 872 aaa知， 73 aa ， 74 aa ， ， 77 aa 均不属于A， 由A具有性质P， 37 aa ， 47 aa ， ， 77 -aa均属于A， 3837476777 aaaaaaaaaa，而6 38 aa， 0 77 aa， 267 aaa， 357 aaa， 537 aaa即),(721 78 iaaa ii 8 分 由可知),)(821 17898 iaaaaaa iii ， 即 781 aaaa ii （8 , 3 , 2 i） 故 821 aaa,构成等差数列10 分