最新初中数学竞赛试题及答案汇编(DOC 138页).doc

1、_全国初中数学竞赛初赛试题汇编（1998-2018）目录1998年全国初中数学竞赛试卷11999年全国初中数学竞赛试卷62000年全国初中数学竞赛试题解答92001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷142002年全国初中数学竞赛试题152003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题172004年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题252005年全国初中数学竞赛试卷302006年全国初中数学竞赛试题322007年全国初中数学竞赛试题382008年全国初中数学竞赛试题462009年全国初中数学竞赛试题472010年全国初中数学竞赛试题522011年全国初中数学竞赛试题572012年全国初中数

2、学竞赛试题602013年全国初中数学竞赛试题732014年全国初中数学竞赛预赛772015年全国初中数学竞赛预赛852016年全国初中数学联合竞赛试题942017年全国初中数学联赛初赛试卷1032018 年初中数学联赛试题105收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 1998年全国初中数学竞赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a、b、c都是实数，并且，那么下列式子中正确的是（）（）（）（）（）2、如果方程的两根之差是1，那么p的值为（ ）（）2（）4（）（）3、在ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BDCE，BD=4，CE=6，那么ABC的面积等于（ ）（）12（）14

3、（）16（）184、已知，并且，那么直线一定通过第（ ）象限（）一、二（）二、三（）三、四（）一、四5、如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对（a、b）共有（ ）（）17个（）64个（）72个（）81个二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PEBD，PFAC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=_。7、已知直线与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，那么OAB的面积等于_。8、已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的

4、长度为_cm。9、已知方程（其中a是非负整数），至少有一个整数根，那么a=_。10、B船在A船的西偏北450处，两船相距km，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离是_km。三、解答题：（每小题20分，共60分）11、如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，A=900，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FEBE，求CEF的面积。12、设抛物线的图象与x轴只有一个交点，（1）求a的值；（2）求的值。13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台。已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为2

5、00元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值。（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值。解 答1根据不等式性质，选B2由=p2-40及p2，设x1，x2为方程两根，那么有x1+x2=-p，x1x2=1又由(x1-x2)2=(x1x2)2-4x1x2，3如图3271，连ED，则又因为DE是ABC两边中点连线

6、，所以故选C4由条件得三式相加得2(a+b+c)=p(a+b+c)，所以有p=2或a+bc0当p=2时，y=2x2，则直线通过第一、二、三象限y=-x-1，则直线通过第二、三、四象限 综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限故选B，的可以区间，如图3272 +1，382，383，388，共8个，98=72(个)故选C6如图3273，过A作AGBD于G因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所以PEPF=AG因为AD=12，AB=5，所以BD=13，所 7如图3-274，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1，1)，B(-3，9)作AA1，BB1分别垂直于x轴，

7、垂足为A1，B1，所以8如图3275，当圆环为3个时，链长为当圆环为50个时，链长为9因为a0，解得故a可取1，3或510如图3276，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1，A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|，所以11解法1如图3277，过C作CDCE与EF的延长线交于D因为ABEAEB=90，CEDAEB=90，所以 ABE=CED于是RtABERtCED，所以又ECF=DCF=45，所以CF是DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，所以所以 解法2 如图3278，作FHCE于H，设FH=h因为ABEAEB90，FEH+AEB=90，所以 ABE=FEH，于是RtEHFRt

8、BAE因为所以12(1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程有两个相等的实根，于是 (2)由(1)知，a2=a1，反复利用此式可得a4=(a1)2=a22a+1=3a+2，a8=(3a2)2=9a212a4=21a13，a16=(21a+13)2=441a2546a169987a610，a18(987a610)(a1)987a21597a610=2584a1597又因为a2-a-1=0，所以64a2-64a-65=-1，即(8a+5)(8a-13)=-1所以a18323a6=2584a1597323(-8a13)=579613(1)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x

9、，x，18-2x，发往E市的机器台数分别为10-x，10-x，2x-10于是W=200x300x+400(18-2x)800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10) =-800x17200W=-800x17200(5x9，x是整数) 由上式可知，W是随着x的增加而减少的，所以当x=9时，W取到最小值10000元；当x=5时，W取到最大值13200元(2)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，发往E市的机器台数分别为10-x，10-y，xy-10于是W=200x+800(10-x)+300y700(10-y)+400(18-x-y)+500(x+y

10、-10) =-500x-300y+17200W=-500x-300y+17200，且W=-200x-300(x+y)+17200 -20010-3001817200=9800当x=10，y=8时，W=9800，所以W的最小值为9800又W=-200x-300(xy)17200 -2000-30010+17200=14200，当x=0，y=10时，W=14200，所以W的最大值为142001999年全国初中数学竞赛试卷 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分每小题均给出了代号为A，B， C，D的四个结论，其中只有一个是正确的请将正确答案的代号填在题后的括号里） 1一个凸n边形的内角和小

11、于1999，那么n的最大值是（ ） A11 B12 C13 D14 2某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费（ ） A60元 B66元 C75元 D78元 3已知，那么代数式的值为（ ） A B C D 4在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是（ ） A30 B36 C72 D125 5如果抛物线与x轴的交点为A，B，项点为C，那么三角形ABC的面积的最小值

12、是（ ） A1 B2 C3 D4 6在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P，使得PCD与BCD的面积相等，并且ABP为等腰三角形，这样的不同的点P的个数为（ ） A2 B3 C4 D5 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分） 7已知，那么x2 + y2的值为 8如图1，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边CB的延长线上，且EB=10cm，点P在边DC上运动，EP与AB的交点为F设DP=xcm，EFB与四边形AFPD的面积和为ycm2，那么，y与x之间的函数关系式是 （0x10） 9已知ab0，a2 + ab2b2 = 0，那么的值为 10如图2，已知边长为1的正方形OABC

13、在直角坐标系中，A，B两点在第象限内，OA与x轴的夹角为30，那么点B的坐标是 11设有一个边长为1的正三角形，记作A1（如图3），将A1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2（如图4）；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3（如图5）；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么A4的周长是 12江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等如果用两 台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机 台 三、解答题（本题共3小

14、题，每小题20分，满分60分） 13设实数s，t分别满足19s2 + 99s + 1 = 0，t2 + 99t + 19 = 0，并且st1，求的值 14如图6，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点是P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长 15有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法）每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次的运算结果乘2或乘3例如，30可以这样得到： （1）（10分）证明：可以得到22； （2）（10分）证明：可以得到2100 + 2972 1999年全国初中数学竞

15、赛答案 一、1C 2B 3D 4B 5A 6D 二、710 8y = 5x + 50 9 10 11126 三、13解：s0，第一个等式可以变形为： 又st1， ，t是一元二次方程x2 + 99x + 19 = 0的两个不同的实根，于是，有 即st + 1 =99s，t = 19s 14解：设圆心为O，连接BO并延长交AD于H AB=BD，O是圆心， BHAD 又ADC=90， BHCD 从而OPBCPD ， CD=1 于是AD= 又OH=CD=，于是 AB=， BC= 所以，四边形ABCD的周长为 15证明： （1） 也可以倒过来考虑： （或者） （2） 或倒过来考虑： 注意：加法与乘法必须

16、是交错的，否则不能得分 2000年全国初中数学竞赛试题解答一、选择题（只有一个结论正确）1、设a，b，c的平均数为M，a，b的平均数为N，N，c的平均数为P，若abc，则M与P的大小关系是（ ）。（A）MP；（B）MP；（C）MP；（D）不确定。答：（B）。M，N，P，MP，abc，即MP0，即MP。2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米（ba），再前进c千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（ ）。答：（C）。因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C

17、）正确地表述了题意。3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）。（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。答：（A）。由题意知3（甲乙）2510，甲乙5。4、一个一次函数图象与直线y=平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点（1，25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）。（A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。答：（B）。在直线AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是x14N，y255N，（N是整数）在线段AB上这样的点应满足14N0，且255N0，N5，即N1，2，3，4，5

18、。5、设a，b，c分别是ABC的三边的长，且，则它的内角A、B的关系是（ ）。（A）B2A；（B）B2A；（C）B2A；（D）不确定。答：（B）。由得，延长CB至D，使BDAB，于是CDa+c，在ABC与DAC中，C为公共角，且BC:ACAC:DC，ABCDAC，BACD，BADD，ABCDBAD2D2BAC。6、已知ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，A1B1C1的三边长分别为a1，b1,C1面积为S1，且aa1，bb1，cc1则S与S1的大小关系一定是（ ）。（A）SS1；（B）SS1；（C）SS1；（D）不确定。答：（D）。分别构造ABC与A1B1C1如下：作ABCA1B1C1，显

19、然，即SS1；设，则，S10，则S110010，即SS1；设，则，S10，则，S110，即SS1；因此，S与S1的大小关系不确定。二、填空题7、已知：，那么_。答：1。，即。8、如图，在梯形ABCD中，ABDC，AB8，BC6，BCD45，BAD120，则梯形ABCD的面积等于_。答：666（平方单位）。作AE、BF垂直于DC，垂足分别为E、F，由BC6，BCD45，得AEBFFC6。由BAD120，得DAE30，因为AE6得DE2，ABEF8，DC286142，。9、已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有_个。答：5。当时，；当时，易知是方程的一个整数根，再由且是整数，知，；由、得

20、符合条件的整数有5个。10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处，向两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为_米。答：2.4米。作PQBD于Q，设BQ米，QD米，PQ米，由ABPQCD，得及，两式相加得，由此得米。即点P离地面的高度为2.4米。（注：由上述解法知，AB、CD之间相距多远，与题目结论无关。）11、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么_。答：。直线通过点D（15，5），故BD1。当时，直

21、线通过，两点，则它恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分。12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是_。（注：100）答：17。设原进价为元，销售价为元，那么按原进价销售的利润率为100，原进价降低6.4后，在销售时的利润率为100，依题意得：1008100，解得1.17，故这种商品原来的利润率为10017。三、解答题13、设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根。（1）若，求的值。（2）求的最大值。解：因为方程有两个不相等的实数根，所以，。根据题设，有。（1）因为，即。由于，故。（2）。设上是递减的，所

22、以当时，取最大值10。故的最大值为10。14、如上图：已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AEEC，ABAE，且BD2，求四边形ABCD的面积。解：由题设得AB22AE2AEAC，AB:ACAE:AB，又EABBAC，ABEACB，ABEACB，从而ABAD。连结AD，交BD于H，则BHHD。OH1，AHOAOH211。，E是AC的中点，。15、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意。现在有32个人在第一层，并且他们分别住

23、在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）解：易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人。对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数。事实上，设住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，。交换两人上楼方式，其余的人不变，则不满意总分不增，现分别考虑如下：设电梯停在第层。当时，若住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为。当时，若住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不

24、满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为。当时，若住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多。当时，若住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多。当时，若住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多。今设电梯停在第层，在第一层有人直接走楼梯上楼，那么不满意总分为：当x27，y6时，s316。所以，当电梯停在第27层时，这32个人不满意的总分达到最小，

25、最小值为316分。2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷 选择题（30分）1、化简，得（ ）（A） (B) (C) (D)2、如果是三个任意整数，那么 （ ）（A）都不是整数 （B）至少有两个整数 （C）至少有一个整数 （D）都是整数3、如果是质数，且那么的值为（ ） （A） （B） （C） （D）4、如图，若将正方形分成个全等的矩形，其中上、 1 2下各横排两个，中间竖排若干个，则的值为（ ） （A）6 （B）8 （C）10 （D）12 3 45、如图，若PA=PB，APB=2ACB，AC与PB交于点D,且PB=4，PD=3，则ADDC等于（ ） P （A）6 （B）7 （C）12 （D）

26、16 D C A B 6、若是正数，且满足，则之间的大小关系是（ ） （A） （B） （C） （D）不能确定填空题（30分）7、已知：。那么 8、若则的值为 9、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于 10、销售某种商品，如果单价上涨，则售出的数量就将减少。为了使该商品的销售总金额最大，那么的值应该确定为 11、在直角坐标系中，轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）、Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标 12、已知实数满足，那么t的取值范围是 解答题（60分）13、某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次。在第6、第7、第8

27、、第9次射击中，分别得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环。他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数。如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环。那么他在第10次射击中至少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）14、如图，已知点P是O外一点，PS、PT是O的两条切线，过点P作O的割线PAB，交O于A,B两点，并交ST于点C。求证：. P S A C O T15、已知：关于x的方程 有实根。求取值范围；若原方程的两个实数根为，且，求的值。,2002年全国初中数学竞赛试题一、选择题（每小题5分，共30分）1、设ab0，a2b24ab，则的值为A、 B、 C、2 D、3

28、2、已知a1999x2000，b1999x2001，c1999x2002，则多项式a2b2c2abbcca的值为A、0 B、1 C、2 D、33、如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于A、 B、 C、 D、4、设a、b、c为实数，xa22b，yb22c，zc22a，则x、y、z中至少有一个值A、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于05、设关于x的方程ax2(a2)x9a0，有两个不等的实数根x1、x2，且x11x2，那么a的取值范围是A、a B、a C、a D、a06、A1A2A3A9是一个正九边形，A1A2a，A1A3b，则A1A5等于A、

29、B、 C、 D、ab二、填空题（每小题5分，共30分）7、设x1、x2是关于x的一元二次方程x2axa2的两个实数根，则(x12x2)(x22x1)的最大值为 。8、已知a、b为抛物线y(xc)(xcd)2与x轴交点的横坐标，ab，则的值为 。9、如图，在ABC中，ABC600，点P是ABC内的一点，使得APBBPCCPA，且PA8，PC6，则PB 。10、如图，大圆O的直径ABacm，分别以OA、OA为直径作O1、O2，并在O与O1和O2的空隙间作两个等圆O3和O4，这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为 cm2。11、满足(n2n1)n21的整数n有 _个。12、某商品的标

30、价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可以用p表示为 。三、解答题（每小题20分，共60分）13、某项工程，如果由甲、乙两队承包，天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？14、如图，圆内接六边形ABCDEF满足ABCDEF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的交点为P。求证：（2）求证：15、如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2bxc的值都是平方数（即整数的平方）。证明

31、：（1）2a、2b、c都是整数；（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x的二次三项式ax2bxc的值都是平方数？2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填，得零分）1若4x3y6z=0，x+2y7z=0(xyz0)，则的值等于 ( ).(A) (B) (C) (D) 2在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0.80元，超过20g而不超过40g时付邮费1.6

32、0元，依次类推，每增加20g需增加邮费0.80元（信的质量在100g以内）。如果所寄一封信的质量为72.5g，那么应付邮费 ( ).(A) 2.4元 (B) 2.8元 (C) 3元 (D) 3.2元3如下图所示，A+B+C+D+E+F+G=（ ）. (A)360 (B) 450 (C) 540 (D) 720 （第3题图）（第4题图）4四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段（如上图），则x可取值的个数为（ ）.(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 6个5某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄

33、影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( ).(A)1种 (B)2种 (C)4种 (D) 0种 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6已知，那么 .7若实数x，y，z满足，则xyz的值为 . 8观察下列图形： 根据图、的规律，图中三角形的个数为 . （第9题图）9如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45，A=60 CD=4m，BC=m，则电线杆AB的长为_m.10已知二次函数（其中a是正整数）的图象经

34、 过点A（1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为 .三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11如图所示，已知AB是O的直径，BC是O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DEAB于点E，连结AC，与DE交于点P. 问EP与PD是否相等？证明你的结论.解：(第11题图)12某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？解：(第12题图)1

35、3B如图所示，在ABC中，ACB=90.（1）当点D在斜边AB内部时，求证：.（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.(第13 B题图)14B已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.（1）求a，b，c中的最大者的最小值；（2）求的最小值.注：13B和14B相对于下面的13A和14A是较容易的题. 13B和14B与前面的12个题组成考试卷.后面两页 13A和14A两题可留作考试后的研究题。13A如图所示，O的直径的长是关于x的二次方程（k是整数）的最大整数根. P是O外一点，过点P作

36、O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与O的交点.若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求的值. 解：(第13A题图)14A沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有0？请说明理由.（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有0？请说明理由.解：（1）（2）2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题参考答案与评分标准一、选择题（每小题6分，满分30分）1D由 解得 代入即得.2D因为20372.5204，所以根据题意，可知需付邮费0.84=3.2（元）.3C如图所示，B+BMN+E+G=360，FNM+F+A+C=360，而BMN +FNM =D180，所以A+B+C+D+E+F+G=540.(第3题图)(第4题图)4D显然AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x。（1）若AB=9，当CD=x时，；当CD=5时，；当CD=1时，.（2）若AB=x，当CD=9