1、一选择题(每小题4分,共24分)1.当时, 与是等价无穷小，则常数的值为( )A.1 B.2 C.3 D. 4解：本题考查无穷小阶的比较，就是求两个函数比值的极限，条件说是等价无穷小，那么比值的极限是1，即有则，选B。 2.曲线的垂直渐近线是( )A. B. C. D. 没有垂直渐近线解：所谓垂直渐近线就是若（也可以是单侧极限，即左极限或右极限为无穷大），则称为垂直渐近线。一般拿来讨论极限的为函数中无定义的点，本题有三个无定义的点，即，但是在求极限时函数经过化简后变成，因此只有，所以选C。3. 设，则( )A. B. C. D. 解：本题考查变上限积分函数求导公式，选A。4. 下列级数中条件收
2、敛的是( )A. B. C. D.解：本题考查绝对收敛与条件收敛的概念，首先要知道无论是绝对收敛还是条件收敛都是满足收敛，只是收敛的“强度”不同罢了。选项A与D都是满足绝对收敛的，选项C一般项的极限不是零，显然发散，只有选项B满足条件收敛。5. 将二重积分，化成极坐标下的二次积分，则得( )A. B. C. D. 解： 本题考查二重积分的极坐标变换，首先关键是画出积分区域来，作图如下：本题积分区域形如右图阴影部分，显然答案选D。6.函数单调递减且其图形为凸的区间是( )A B. C. D. 解： 单调减就是一阶导数小于零，凸就是二阶导数小于零，于是，选D。二填空题（每小题4分,共24分）7.
3、解：本题考查“”型的幂指函数求极限，利用“重要极限的推广公式”8.已知，则_解：本题考查导数的定义，极限中的只是一个字母，一个无穷小而已，如同原始定义中的一样，从极限分子中可以看出自变量改变了，于是9.定积分_.解：本题考查定积分化简计算，即利用函数奇偶性10.设则_.解：本题考查向量坐标的加法、减法以及叉乘运算由已知可得，则11.设函数由方程所确定，则_.解：本题考查多元隐函数求偏导，可以选择的方法有很多，比如“公式法”、“全微分法”、“两边求法”，这里我们采用两边求的方法，即对原方程两边同时关于求偏导得，解得。当然本题用公式法做也很简单。12.幂级数的收敛域为_.解：本题考查利用系数模比值
4、法求幂级数的收敛域因为，所以于是，所以；当时，（发散-P-级数）；当时，（收敛-莱布尼茨判别法）；综上，收敛域为三计算题（每题8分，共64分）13.求极限解：原式=注：在本题的求解过程中使用了直接代入，即；并且利用，则14. 设函数由方程所确定，求解：本题考查隐函数求导，而且是求具体点的导数值当时，代入原方程得 方程两边同时关于求导得 （） 代入，得 再对（）式两边同时关于求导得 整理得 代入，及得 15.求不定积分解：令，则，代入得16.求定积分解：令，则；当时，当时；代入得17. 设，其中有二阶连续偏导数，求解： 18. 设直线通过点(-1,2,0)，垂直于直线又与平面平行，求其方程解：设
5、直线的方向向量为，平面的法向量为，则 ，设所求直线的方向向量为，则于是所求直线方程为19. 计算二重积分解：由已知条件可知积分区域D是由曲线所围成，在 第一象限中的交点坐标为（1,1），形如右图阴影部分，所以注：本题有些同学可能会错误的认为阴影部分应该是，这是不正确的这是因为若，则就是第二个图中的阴影部分了。20.求微分方程的通解解：原方程对应齐次线性微分方程的特征方程为，解得所以对应齐次线性微分方程的通解为；又为其中的一个特征根，所以原方程的一个特解为，则，代入原方程得，化简得所以，所以通解为四证明题（每小题9分，共18分）21.证明：当时，证明：令，则，所以单调递减，又，所以，所以单调递减
6、，又，所以，所以单调递减，又，所以，即当时，注：本题是利用三阶导数相关信息一次次反推到原来的函数，即连续使用了三次利用导数证明不等式的方法，具体的关系图如下：22.设函数，证明在处连续但不可导证明：显然在的函数值为 因为，所以 所以，即在处连续 因为所以，即左导数不等于右导数，所以在处不可导综上所述在处连续但不可导五综合题（每题10分，共20分）23.设函数在处取得极大值，且点是其图形的拐点，求常数的值解：因为函数显然满足一阶和二阶可导，所以它的极值点是驻点（一阶导数等于零的点），它的拐点是二阶导数等于零的点 因为，且在曲线上，所以综上可得 ，解得24.求微分方程的一个解，使曲线于直线及轴所围
7、成的平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积最小解：将上述微分方程变形为 即，这是一个一阶非齐次线性微分方程，其中 通解为 即，显然此时的体积是一个关于参数的一元二次函数，是一条抛物线，由中学数学可知抛物线的顶点是最小值点，顶点坐标公式为，即当时取得最小值 因此所求函数为注：本题涉及到画图的问题，对于抛物线，我们知道它一定过原点（0,0），但是常数C的正负性不知道，也就是不知道抛物线开口向上还是向下。由于本题只是求旋转体体积，所以只要画出大致图形即可。不过，光知道经过原点是不够的，会有很多种情况，从而围成的图形也不一样。我们做如下的讨论 当时，对称轴为，即此时抛物线开口向上且对称轴在y轴的左边； 当时，对称轴为，即此时抛物线开口向下且对称轴在y轴的右边边 因此就是下面这两种图形： 由旋转体体积公式可知，不管是哪种图形，其体积公式都是
