（以此为准！数学评分细则）2023届大湾区普通高中毕业班第二次联合模拟考试数学参考答案与评分细则.pdf

1、数学参考答案第 1 页（共 19 页）2023 届大湾区普通高中毕业班联合模拟考试（二）数学参考答案与评分细则一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.题号12345678答案CDDCDBAA二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.题号9101112答案BDADCDBD1【参考答案】C【试题解析】0,A，,32B，所以32,0ABCR,故选 C2.【参考答案】D【试题解析】iiiiiz2121211，iz2121,故

2、选 D3.【参考答案】D【试题解析】由奇偶性排除 A 选项,由函数在0,上有零点，排除 B,C 选项，D 为最恰当选项.4【参考答案】C【试题解析】设剪去的ABC的边长ACBCx，可得224xx，解得42 2x，则4 24BD,因为正方形剪去四个角后得到一个正八边形，所以正八边形的每个内角为为135，数学参考答案第 2 页（共 19 页）所以45CABCBA o,则22.5BFD,所以外接圆的直径为421sin22.5dBF，根据题意知 周长4218(4 24)8sin22.5sin22.5d，故选 C.5【参考答案】D【试题解析】因为(1,1),(3,1)ab，所以1 3 1 12a b ，

3、223110b，所以a在b上的投影向量为131,555a b bbbb ，故选：D.6【参考答案】B【试题解析】由题意得，2222sincos2tan5sin2sincostan13，解得tan5或55，因为)2,4(，所以tan5，故选 B.7【参考答案】A【试题解析】法一：设抽取的果是大果为事件A，经过分选机筛选后是“大果”为事件B，则9.0)(AP，95.005.01)|(ABP，1.0)(AP02.0)|(ABP()()()(|)()(|)()P BP BAP BAP B AP AP B AP A0.9 0.95 0.1 0.020.857所以这颗“大果”是真的大果的概率为)()()|

4、(BPABPBAP0.9 0.958550.857857，故选 A.法二：根据题意，从 1000 个苹果中机器筛选出的大果有85702.010095.0900个而这些机选“大果”中真正的大果有85595.0900个所以这颗“大果”是真的大果的概率为：857855，故选 A.数学参考答案第 3 页（共 19 页）8【参考答案】A【试题解析】设圆锥的内切球半径为r，则343233r，解得2r，设圆锥顶点为A，底面圆周上一点为B，底面圆心为C，内切球球心为D，内切球切母线AB于E，底面半径2BCR，BDC，则tan2R，又2ADE故2tan22tan2ABBEAERR，又2222tan4tan21t

5、an414RRRR，故2224844R RRABRRR，故该圆锥的表面积为2242224244RRRSRRR，令240tR，则22416162822832tSttttt，当且仅当16tt，即4,2 2tR时取等号.9.【参考答案】BD【试题解析】最小正周期为：2|，故 A 错误.令zkkx,2232得412kx函数）（xf的对称中心为)0,412(k故 B 正确.令33tan)0(,0fx，332tan)6(,6fx，显然与递增矛盾，故 C错误.令1）（xf，得kxk2324，解得：Zkkxk，212224，0k时，1224x，故 D 正确.故选 BD.10【答案】AD数学参考答案第 4 页（

6、共 19 页）【试题解析】对于 A，因为随机变量X服从正态分布0,1N，fxP Xx，所以()()1()fxP Xxf x，所以 A 正确，对于 B，因为2(2)fxP Xx，22()fxP Xx，所以 B 错误，对于 C，因为随机变量X服从正态分布0,1N，fxP Xx，所以当0 x 时，随x的增大，P Xx的值在增大，所以 fx在0,上是增函数，所以 C 错误，对于 D，因为 1fxfx，所以1 21 2 1()2()1P XxPxXxfxf xf x ，所以 D 正确，故选：AD11.【参考答案】CD【试题解析】1221feef，所以 A 选项错误.2(1)2fee，所以 B 选项错误.

7、421111xxxxxxxxeeeeeexfxf，当1x时，取到等号.所以 C 选项正确.01，x时，xxxxxxxxxeexeeexexfln212112111令 xxxxgln21，则 01121122xxxxg,所以 xg在01，上单调递减，又01 g，所以 01 gxg所以 01xgxeexf，所以 xf在区间01，上递增，D 选项正确.故选 CD数学参考答案第 5 页（共 19 页）12.【参考答案】BD【试题解析】如图，记21FPF的内切圆I与2121,FFPFPF的切点分别为NML,由切线性质PMPL，NFLF11，NFMF22，821 PFPF，821 MFLF，所以821 N

8、FNF，又1021 NFNF，得12NF，内心I的横坐标为4，由圆的对称性，不妨设点P在第一象限，设21FIF，则221FPF，9tan1rcarNFIN，222811881192tan1tan22tanrrrr，随着的增大，2tan逐渐增大，无限接近渐近线的斜率43，43811802rr，解得30 r，动点I的轨迹方程为0334yyx且，选项 A 错误，选项 B 正确.对于 C 选项，由对称性，不妨设P在第一象限，由前述分析可知：INx轴，设1221,IFFIF F，则12212,2PFFPF F，122()FPF，12tantan 2()FPF 121tan,tan19ININF NF N

9、，则tantan5tan1tantan422tan40tan21tan9 数学参考答案第 6 页（共 19 页）故：12tantan 2()FPF 409，选项 C 错误.如图，延长21Q,PFF交于点R，则PRF1是等腰三角形，PRPF1，821 PFPF，82RF，4212RFOQ，动点Q在圆1622 yx上，随着2tan的增大，PF1，PR，PQ斜率越来越接近渐近线的斜率，xyyx431622，解得：51651621xx，由P为双曲线右支上，所以动点Q的轨迹方程为51641622xxyx且，选项D 正确.三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.131n（答案不唯一）

10、142m154316613.【参考答案】1n（答案不唯一）【试题解析】根据1nnSS可知，110nnnSSa，又1nnaa，故数列na为第二项起为负的递增数列，通项公式可以为1nan.14【参考答案】2m【试题解析】由同时开放23,m m疏散 1000 名乘客所需的时间为140s，同时开放34,m m疏散 1000 名乘客所需的时间为190s，所以2m比4m疏散乘客快，由同时开放34,m m疏散 1000 名乘客所需的时间为190s，同时开放13,m m疏散 1000 名乘客所需的时间为160s，所以1m比4m疏散乘客快，由同时开放23,m m疏散 1000 名乘客所需的时间为140s，同时开

11、放13,m m疏散 1000 名乘客所需的时间为160s，所以2m比1m疏散乘客快，数学参考答案第 7 页（共 19 页）由同时开放12,m m疏散 1000 名乘客所需的时间为120s，同时开放23,m m疏散 1000 名乘客所需的时间为140s，所以1m比3m疏散乘客快，综上所述：21131423,mm mm mm mm所以疏散乘客最快的一个安全出口的编号是2m.15【参考答案】43【试题解析】解：由三棱锥ABCD的平面展开图可得其直观图如下：其中ACCD，ACCB，CDCB，2ACCDCB，又BCCDC，,BC CD 平面BCD，所以AC 平面BCD，所以11142223323A BC

12、DBCDVSAC ，16.【参考答案】6【试题解析】由 35E得三条直线与抛物线公共点个数分别为 1，2，2，易知3 xy与抛物线相切，联立方程得6p.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10 分）（1）由题意，设na的公差为0d d，则22354141,14,1 13bad bad bad 1 分由 nb是等比数列，所以21411 13ddd，解得：2d，0d（舍去）2 分所以12121nann 3 分又22353,9baba，所以 nb的公比323bqb4 分所以2123nnnbb q5 分（2）由1122313nnncaccbbb数学参考

13、答案第 8 页（共 19 页）得：12213cab，所以13c 6 分当2n时，112233nnncaccbbb，-得：11233nnnncaab所以1122 323nnncbn7 分从而13,12 3,2nnncn8 分所以1n 时，113Sc2n 时，1213 1 3323 333231 3nnnnS 9 分综上：3nnS，*nN10 分18.（12 分）解：（1）因为52 sincossinsinsin2aCBaAbBbC由正弦定理得2252cos2acBabbc1 分由余弦定理得222225222acbacabbcac2 分所以52cb3 分又因为2 5c，所以4b4 分（2）因为2A

14、BACAD 5 分所以2ABADAC 6 分所以22244ABADAD ACAC 7 分因为3cos8CAD数学参考答案第 9 页（共 19 页）所以2320444168ADAD 8 分化简得22320ADAD，解得2AD 或12AD （舍去）9 分因为2355sin188DAC10 分所以115555sin2 42282ADCSADACDAC 11 分所以5522552ABCADCSS 12 分19.（12 分）（1）在等腰梯形11BBC C中，作1B DBC，则1BD 在1Rt BDB中，221213B D 1 分连1BC，在1Rt CDB中，3DC，解得12 3BC 2 分22211B

15、BBCBC，即11BCB B3 分由平面11AA B B 平面11BBC C，平面11AA B B平面11BBC C1B B，11BCB B1BC平面11AA B B4 分1BCAB5 分ABBC，1BCBCC,1,BC BC 平面11BBC CAB平面11BBC C6 分（2）方解法1：如图，在平面11BBC C内，过点B作BEBC以B为原点，以,BA BC BE所在的直线为,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图所示设ABt，0t，则1(,0,0),(0,4,0),(0,3,3)A tCC7 分1(,4,0),(0,1,3)ACtCC 设平面1ACC的法向量为(,)nx y z数学参考答案

16、第 10 页（共 19 页）则100n ACn CC ，即4030txyyz，则4 3(,3,1)nt平面11BBC C的一个法向量为(1,0,0)m 9 分则24 33cos,2483+1n mtn mnmt ，解得2t 11 分即2AB12 分解法 2：连1BC，1AC，由已知及（1）得11BCCC，12 3BC 7 分因为11ABBBC C 平面，111CCBBC C 平面所以1ABC C因为1ABBCB所以11CCABC 平面，11ACABC 平面所以11CCAC所以1BC A为二面角1BCCA的平面角9 分即1=6BC A10 分在1Rt BC A中，113tan=tan632 3A

17、BABBC ABC11 分解得2AB 12 分20.（12 分）解：(1)X的可能取值为0，1，21 分数学参考答案第 11 页（共 19 页）0202119014416P XC111211631144168P XC2022111214416P XC所以X的分布列为X012P916381164 分9311012168162E X 或由124XB，得：11242E X5 分(2)对于方案一，“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲，乙，丙三人中，至少有一人负责的 2 台机器同时发生故障”，考虑从反面处理这个问题，31112PP X 7 分33331161540963375721111616409

18、64096 8 分（注：正面分类处理同样给分，直接写最后的算式，没有任何铺垫的扣一分）对于方案二，机器发生故障时不能及时维修的概率06152401226661111111111444444PCCC 10 分6546656664336536 315 34096340269434714444096404962048 11 分数学参考答案第 12 页（共 19 页）（注：正面处理同样给分，直接写算式扣一分,最后结果没有约分不扣分）所以21PP，即方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率效率更高.（注：意思相同即可.)12 分21.（12 分）解：（1）记1(1,0)F，则O为1F

19、F中点，M为AF中点，所以12AFOM1 分122AFAFOMMF222()OMMPOMMP1242OPFF2 分所以A的轨迹是长轴长为 4，焦距为 2 的椭圆3 分所以点A的轨迹方程为22143xy4 分（2）设F到直线n的距离为h，设1122(,),(,),(,)HHS x yR xyH xy12,12HFRHFSHR hSHRSHSHS h1212GFSGFRGS hSGSSGRGR h5 分2112()()HHyyyHR GSHS GRyy y6 分设直线:4n xty，令1x，3(1,)Ht7 分进而21121212123()333()yyty yytyty yy yt8 分联立22

20、221,(34)24360434xyxtytyxty消去得数学参考答案第 13 页（共 19 页）所以1212222436,3434tyyy ytt，121232ty yyy 10 分所以121122121233322133322yyyyyyyyyy11 分所以 是为定值 112 分22.（12 分）解：（1）当1a时21()ln1xxf xxe，(1)0f1 分2121()xxxfxex，(1)0f 2 分曲线)(xfy 在1x处的切线方程为(1)(1)(1)yffx即为0y 所以曲线)(xfy 在1x处的切线方程为0y 3 分（2）方法一：令()0f x，则22ln0lnlnax ax a

21、xxxaxaexee即2lnaaxexexe，即lnaxaexxeex，即lnlnxaxaeexeex令ln()ttt，则上述方程可化为()()xaeex（*），4 分)(xf零点个数即为方程（*）的根个数，则21 ln()ttt，令()0t，得te，t(0,)ee(,)e 数学参考答案第 14 页（共 19 页）()t+0()t易知te为是唯一的极大值点，且max1()()tee，5 分令()()()xah xeex，当1a 时，,aaee e xex，当1x 时，,xaee e xexe，而ln()ttt在(,)e 上单调递减，为解方程()()xaeex，只需解方程xaeex，令,(1,)

22、xaeex x，即xaeex，令()xem xx，2(1)()xexm xx令()01m xx，得，列表如下：x(0,1)1(1,)()m x0()m x()m x在(1,)上单调递增，min()m x(1)amee，故()xxem xeeexx，(1)amee，2()aeeaaaaaaaeeem eeeee，根据零点存在定理，存在唯一的0(1,)x，使得000()xaem xex，即00 xaeex，所以00()()xaeex，故方程（*）在(1,)上有唯一解0 x，7 分 当1x 时，()()aee不成立，故1x 不是（*）的解；8 分数学参考答案第 15 页（共 19 页）当01x时，（

23、i）当11,1),xaaxee exee，所以()xe单调递增，()aex单调递减，故()()()xah xeex在11,1)ae上单调递增，1(1)()()()0aaheeee1111111()()()()0aaeeaheeeee根据零点存在定理，()h x在11,1)ae上存在唯一零点；10 分(ii)当11(0,),xaaxee exee则，而ln()ttt在(0,)e上单调递增，为解方程()()xaeex，只需解方程xaeex令(),xag xeex11(0,)axe，因为()0 xag xee，所以()g x 在11(0,)ae上单调递减，又1111()0aeageee，(0)10g

24、，故存在唯一1x 111(0,),()0ag xe，即11,xaeex即11()()xaeex故方程()()xaeex在区间11(0,)ae上存在唯一解1x，综上：当1a 时，()()xaeex存在三个解，故)(xf有三个零点12 分（2）方法二：2232121()()ax axaxxexxfxexxee4 分数学参考答案第 16 页（共 19 页）令223542()(0),()xxxxxxxh xxh xee，令()0,h x得1,4x x(0,1)1(1,4)4(4,)()h x+00()h x()h x的图像如下图示：因为11(0)0,(1),(2)0ahhhee，所以1()()0aae

25、fxh xxe有两个根，记为12,x x，1212xx，当x变化时，()fx，()f x关系如下表：x1(0,)x1x12(,)x x2x2(,)x()fx00()f x注意到1212xx 且111(1)0(1)axafaeaaaexe此处用到()f x在12,x x上单增，2()(1)0f xf,6 分数学参考答案第 17 页（共 19 页）又因为101x且12311121()0 xaxxfxee即1231112311,ln(2)2xaeeaxxxxx，所以1112223111111112311()lnlnln(2)2xxaxxxef xxaxxxxexxe111111lnln(2),012

26、xxxxx7 分令1()lnln(2),012m tttttt ，(1)0m2111()122m tttt 22(1)402ttt t()0m t，故()(0,1)m t 在上单调递增，所以()(1)0m tm，即1()0f x,8 分先证：224(0)xxxee，为此，令2222()(0),()xxxxxxxxu xxu xeee当(0,2)x时，()0,()u xu x单调递增；当(2,)x时，()0,()u xu x单调递减，max24()(2)u xue，所以224(0)xxxee，所以24()lnaf xexae,2244()ln(1)0aaeaeaf eeeaeaee,9 分而2(

27、)lnlnx axf xxaxae，故11()ln0aafaaaee,数学参考答案第 18 页（共 19 页）所以1()0afe，10 分又111()()1aaaaaefheeee，而2321111111122211111()11aaaaaaaaaaaaaeeeeeeeeheeeeeeee11121111110,()0,111+1+aaaaaaaaeefxeeeeee故故综上：111axe，21,2aexe；11 分1()0,afe1()0f x，2(1)0,()0ff x，()0aef e，()f x在12(,)x x单调递增，在1(0,)x，2(,)x 上单调递减.（如下图示）数学参考答案第 19 页（共 19 页）根据零点存在定理，()f x有三个零点；综上：当1a 时，()f x有三个零点.12 分