1、不等式的证明不等式的证明复习复习 不等式证明的常用方法不等式证明的常用方法:比较法、综合法、分析法比较法、综合法、分析法反证法反证法 先假设要证明的命题不成立，以此为出发点先假设要证明的命题不成立，以此为出发点,结合已知条件结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确，进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确，从而间接说明原命题成立的方法。，从而间接说明原命题成立的方法。1.x y02.1 x 12.yxyyx例 已知，且试证：，中至少有一个小于例题例例2、已知、已知a+b+c 0，ab+bc+ca 0，abc 0，求证：求证
2、：a,b,c 0 证：设证：设a 0,bc 0,则则b+c a 0 ab+bc+ca=a(b+c)+bc 0矛盾，矛盾，必有必有a 0 同理可证：同理可证：b 0,c 0例例3、设、设0 a,b,c 641 又又0 a,b,c 1/4,(1 b)c1/4,(1 c)a1/4,在证明不等式过程中，有时为了证明在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：小，实现证明。例如：要证要证bc,只须寻找只须寻找b1使使ba,只须寻找只须寻找b2使使bb2且且b2a(缩小缩小)这种证明方法这种证明方法,我们称之为我们称之为放缩法
3、。放缩法。放缩法放缩法的依据就是传递性。的依据就是传递性。放缩法放缩法例例1、若、若a,b,c,d R+，求证：，求证：21 caddbdccacbbdbaa证：记证：记m=caddbdccacbbdbaa a,b,c,d R+1 cbaddbadccacbabdcbaam 2 cdddccbabbaam同时 1 m 2 即原式成立即原式成立2.111abab例 已知a,b是实数，求证:a+bab 法法：bbaababa111证明：在时，显然成立.0ba当时，左边 0ba111ba1|11111abbaabababab.11bbaa1abab.11bbaa法：法：0,a bab 1 11111
4、1111|abababababab|11baabab法：函数的方法法：函数的方法*32.2()n n n 例 求证：111（n+1-1）1+23n*1222(1),21kkkNkkkk1111232(10)(21)(32)(1)2.nnnn cbacacababa 2222222222222233()()2424()()22aabbaaccaabacaaabcabc例例4、巳知：、巳知：a、b、c，求证：，求证：R略解略解小结 在证明不等式过程中，有时为了证明在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：小，实现证明
5、。例如：要证要证bc,只须寻找只须寻找b1使使ba,只须寻找只须寻找b2使使bb2且且b2a(缩小缩小)这种证明方法这种证明方法,我们称之为我们称之为放缩法。放缩法。放缩法放缩法的依据就是定理的依据就是定理2（传递性性质）（传递性性质）课堂练习课堂练习 1、当、当 n 2 时，求证：时，求证：1)1(log)1(log nnnn 证：证：n 2 0)1(log,0)1(log nnnn2222)1(log 2)1(log)1(log)1(log)1(log nnnnnnnnnn 12log22 nn n 2时时,1)1(log)1(log nnnn课堂练习课堂练习 2、若、若p0,q0,且且p3+q3=2,求证：求证：p+q2课堂小结课堂小结 证明不等式的特殊方法证明不等式的特殊方法:（1）放缩法：放缩法：对不等式中的有关式子进行对不等式中的有关式子进行 适当的放缩实现证明的方法。适当的放缩实现证明的方法。（2）反证法：反证法：先假设结论的否命题成立，先假设结论的否命题成立，再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结 论成立的方法。论成立的方法。
