第五章积分论课件.ppt

1、一、简单函数的积分一、简单函数的积分01001)()(dxxDLE有QxQxxD1,011,00)(例：对例：对Dirichlet函数函数0 10()()()()sup()()|(),EExf xLf x dxLx dxxE为 上的简单函数为f(x)在E上的Lebesgue积分二、有界可测集有界可测集E上上非负可测函数的勒贝格积分定义1.2.1 设f(x)为有界可测集E上的非负可测函数，定义定义定义1.2.2 设设m(E),f(x)是是E上的有界可测函数上的有界可测函数,且且 f(x).分割分割：=y1y2.yn=则函数则函数f(x)在在E上的上的L积分积分定义定义取极限：取极限：niiiEm

2、1)()(niiiniiiyyEm1110)()(max)()(limniiiEEmdmxfL10)()(lim)()(i yi-1,yi,Ei=E(yi-1 f yi)=x|yi-1 f(x)yi作乘积和式：作乘积和式：0abxycd iyiyi-1Ei1Ei2Ei3Ei4也称也称f(x)在在E上上L可积可积dxxfLdxxfLEE)()(,)()(（要求 不同时为 ）为f(x)在E上的Lebesgue积分（有积分）dxxfLdxxfLdxxfLEEE)()()()()()(定义1.2 设f(x)为E上的可测函数，定义1()f xE定理 设是定义在有界可测集 上的函数，()()f xELf

3、xE则在 上()可积在 上可测1(),iif xEyyR 证明：在 上可测1iiiEE yfy可测imE即存在1iiiiy mEy mE从而与存在max0iy所以当时11()0iiiiiiiy mEy mEyymE()Ef x dx所以存在2,mEfgE 定理 设与 在 上可积，则,(0)ffg f gfgEg在 上可积fELfEL推论若 在 上()可积，则 在 上任一可测子集上()可积()()bbaafa bRfa bLRf x dxLf x dx定理3若 在,上()可积，则 在,上()可积,且()()()L 积分的计算4()0f xEmE 定理 设在 上可积，且满足1()0;2()0Ef

4、xf x dx、()0.f xaeE则于()0.f xaeE则于,()0 xE f x 证明：因为110nEE fE fn 所以00001,()EE fEEEEn令则0fEfEE由于 在 上可积，则 在 上可测，于是可测0EEE而 可测，所以可测000=()()()EEE Ef x dxf x dxf x dx所以001mEn00100mEn由于，所以1100()nmE fmE fn所以=000mE f 所以0.faeE即于思考：本定理的逆命题是否成立？0.fEffaeE若 在 上可测，且，=0于，则()0Ef x dx 0,0.ffaeE证明：因为且于00mE f 所以00()()()EE

5、fE ff x dxf x dxf x dx于是0()0f xmE 推论 对于非负有界可测函数，()00.Ef x dxfaeE于4,fEAE定理 设 在 上可积，则对任意的可测集0lim()0AmAf x dx有()L这个性质称为积分的绝对连续性()()()f xf xK K证明：因为有界，不妨设为常数()()AAf x dxf x dxKmA于是0()0AmAf x dx当时，必有()0Af x dx 从而0lim()=0AmAf x dx即关于这个定理作以下两点说明：(1)()()0Rf x 在积分中，如果有界函数，且()000Ef x dxfmE必有或()0Lf x 在()积分中，如果

6、有界函数，且()00.0Ef x dxfaeEmE必有于 或(2)()()Lf xE对于积分，无论是定义在 上的任何0mEfE形式的有界函数，只要，在 上总是可积，()0Ef x dx 且,fEa b证明：因为 在 上有界，所以存在实数()xEaf xb 使得，有()EamEf x dxbmE于是0()0EmEf x dx由于，所以0,11(),()D x dxD x例 求其中为狄利克雷函数()00,1f xx解：令，()()=0.f xD xaeE于是于0 10 10 1()()()()0f xD x dxf x dxD x dx，0 10 1()=()0D x dxf x dx，所以()A

7、EAEx例2 设 为一可测集，为 的可测子集，1()=0AxAAxxEA是 的特征函数，即()AEx dx求EAE解：因为 可测，是 的可测子集，EA所以可测(),()AEAE AEA且有()()()AAAEAE Ax dxx dxx dx所以10mAmA AE本例表明，可测集 的测度等于它的特征函数在L上的()积分3例 已知黎曼函数1(,)()100pxp qqqR xxx为互质正数为无理数0,1()R x dx求()0,0,1()().e.f xxf xR x aE解：令，于是于10,10,10()()()0R x dxf x dxf x dx所以tan(ln)4(),()2 2cosxx

8、Ef xxx 为有理数例 设，为无理数()Ef x dx求()cos,(,),2 2g xx x 解：令()().f xg x aeE于2222()()cossin2EEf x dxg x dxxdxx所以350,1()xxxKEKf xexK例 设，为康托集，()Ef x dx求301(),10,1xPf xPxPx、设其中 为康托集，0,1()f x dx求6fAB例 设 是可测集、上的有界可测函数，试证：()()()()ABABABf x dxf x dxf x dxf x dxfAB证明：因为 是可测集、上的有界可测函数fAB所以 在、上可积(1)()0ABm AB若，则()()=()

9、=()()ABABABABf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx于是(2)AB若()()()()=AABABAAABAB由于-且-()()=()()AAABABf x dxf x dxf x dx所以()()()()BABBABf x dxf x dxf x dx同理()()()()AABAABf x dxf x dxf x dx()()()AABBABABAB又()()AABBABAB且，两两不相交()()()=()()()ABAABBABABf x dxf x dxf x dxf x dx所以()()()()ABABABf x dxf x dxf x dxf x dx

10、于是7fEmE fca例 设 为 上非负可测的有界函数，()Ef x dxa c证明：EE fcE fc证明：因为=E fcE fc且()()()EE fcE fcf x dxf x dxf x dx所以()E fcf x dxE fcc dxc mE fca c一般可测函数的积分问题()L在积分的定义中，我们设定了两个限制条件(1);(2)(),mEf xxE 因为只有作了这样的限制以后，才能确保大和L与小和有意义。为了使()积分应用范围更加广泛，我们当然希望将这两个限制条件去掉以后，也能积分就好了。本节课起我们将着手讨论这个问题：()0f x 一、先讨论的情形()qf xEER先设是定义在

11、 上的非负实值函数，(1)mEE 如果，我们可将 作如下处理：12(,),1,2,nqiKx xxxn iq令：,iiEEK并令这样我们就得到一个点集序列12,(1)nE EE序列(1)满足：1nE、有界；1232nEEEE、；3 lim.nnEE、(2)()f xEf如果在 上无界，可对 作如下处理：()()nf xxE fnfxnxE fn设()()1,2,nfxf xnn将称作的 截断函数，分别取 nf作一个函数序列，满足：(1)()nfx 均有界；12(2)()()()(2)nf xfxfx(3)lim()()nnfxf x(4)nff当 非负可测时，也非负可测.通过(1),(2)我们

12、就可以对无穷积分区域和无界函数作有限化处理。nEK一方面，若 可测，而为闭区间，则nnEEK可测nfEfE若 在 上可测，则 在上可测，于是nfE在每一个上可积nfE另一方面，若无界函数 在上可测，则nnfE有界可测函数 在上可测nnfE在上可积()nnEfx dx存在()lim()nnf xfx又由于()lim()nEE nf x dxfx dx所以 nEEfEf由叶果夫定理，在上一致收敛于()0m EE且EE EEfdxfdxfdx所以EfdxlimnEnf dxmEffL 这样当或 无界时，也可以讨论 的()积分()f x二、当不一定非负时fff我们有，同上，有EEEfdxf dxf d

13、xlimlimnnEEnnf dxf dxlimlimnnEEnnf dxf dx如果或中至少有一个有限，fEL我们可称 在 上()积分。EfdxfE如果两个都是，则无意义，称 在 上不可积1(1)0()mEEE定理设但，则对 上任何函数，0Efdx(2)()fEL设 在 上可积且积分有限，则0.mE ffEae ，即 在 上有限(3)fEfE若 在 上积分确定，则 在 的任一可测子集A上积分也确定.(4).fEfg aeE设 在 上积分确定，且于，则EEgEfdxgdx在 上积分确定，且,()EEEf gEfg dxfdxgdx(5)设在 上非负可测，则,EEf gEfgfdxgdx(6)设

14、在 上非负可测，且，则f证明：(1)若 有界，结论成立。f若 非负无界，令()()nf xxE fnfxnxE fn()0nnEfxf dx则非负有界，所以lim0nEEnfdxf dx所以f若 无界，且不一定非负时limlim0nnEEEnnfdxf dxf dx,0fa bL 例设 在上()可积，则，定义在,()a bx上的连续函数，s.t.bafdx,Ea bfEL证明：令，若 在 上()可积，则0mE f .fEae即在 上有限=neE fn令0lim0nnme则L又由()积分的绝对连续性，知0lim0nnemef dx00NnN 于是，当时，有4nef dxnnnnBEeEeB令，由

15、于 与 可测，则可测nfB由于 在上有界可测，利用鲁津定理，知()nnFBx存在闭集和连续函数，使得()()nxFf xx，()0(max()4nnm BFNxN且nnbaeBfdxfdxfdx所以nnnneeBFf dxdxfdx244442nN meNN极限运算与积分运算只有在很强的条件下极限运算与积分运算只有在很强的条件下(一致收敛一致收敛)才能交换才能交换积分次序。前面，我们学习了叶果夫定理，它对函数序列的要积分次序。前面，我们学习了叶果夫定理，它对函数序列的要求比一致收敛要低。下面，我们将继续探讨其他方法。求比一致收敛要低。下面，我们将继续探讨其他方法。问题问题),()(lim xf

16、xfnn 若若dxxfdxxfbanban)()(lim？积分的极限定理1()()nmEfx 定理 有界收敛定理 设，是定义()()nEfxf x在 上的可测函数列且，如果()nfxE在 上一致有界，则(1)(2)()lim()nEEnfEf x dxfx dx在 上可积；010mE 证明：若，则有()0()0(1,2,)nEEf x dxfx dxn，()lim()nEEnfEf x dxfx dx显然有 在 上可积，且有020mE 当时 nf一方面，由于一致有界，则0()nMxEnNfxM ，和，有()nnEfxEf dx是 上的有界可测函数，于是存在nnkfff又因为，由黎斯定理，子列，

17、使得.e.nkff aE于()()nnkfxMfxM又由，于是lim().nknfxfM aeE于fE所以,在 上可积00nffN 另一方面，由于，即，nN当时，有24nnmEmE ffmEMnnEEEf dxfdxff dx于是nnnnE EEff dxff dx224mEMmEM由极限定义()lim()nEEnf x dxfx dx(1)nff定理中加强为逐项收敛，结论显然成立(2)nnff定理中一致有界不能换成 逐个有界。(01)E 例设，1(0,)()10,1)nnxnfxxn(0,1)11(0,),1)lim()lim()()nnnnnnnfx dxfx dxfx dx一方面，10=

18、lim(0)nnndx=100nEfffdx但是，而limnEEnfdxf dx这时(3)nfEf若有界函数列在 上一致收敛于，则f必定一致有界0(1,2,)nnfMn事实上，由于 有界，使得nnxE fM，nxEfEf ，由于在 上一致收敛于，0NnN由柯西收敛准则，使得当时，有()()nNfxfx()()+nNNfxfxM于是有12=maxNMMMM取，+()nnNfxM 就有，从而lim()()nnfxf xM(4)1LR定理 只适用于 积分，不适用于 积分120,1,nEr rr例将中的有理数排成一列12121,()0,nnnxr rrfxxEr rr并令lim()()nnnfEfxD x显然 在 上一致有界，且()()D xD x而勒贝格可积，但黎曼不可积