《线性代数》课件2.1.ppt

1、 线性方程组理论是数学中一个重要的基线性方程组理论是数学中一个重要的基础理论，是线性代数研究的重点。科学技术础理论，是线性代数研究的重点。科学技术和经济管理中的许多问题，经常可以归结为和经济管理中的许多问题，经常可以归结为求解一个线性方程组。本章主要讨论线性方求解一个线性方程组。本章主要讨论线性方程组的求解方法、线性方程组有解的充要条程组的求解方法、线性方程组有解的充要条件、向量间的线性关系和性质、线性方程组件、向量间的线性关系和性质、线性方程组的性质和解的结构。的性质和解的结构。第一节第一节 线性方程组线性方程组一、线性方程组的概念一、线性方程组的概念二、克拉默法则二、克拉默法则三、高斯消元

2、法三、高斯消元法四、线性方程组有解的判定定理四、线性方程组有解的判定定理1 线性方程组一、线性方程组的概念数学中的许多问题线性化后可以转化为线性方程组问题，科学技术和经济管理中的许多实际问题的数学模型也可以由线性方程组表示.例（物资调运问题）甲、乙两煤矿供给,A B C三个城市的用煤，各矿日产量（吨）、各市需求量（吨）及各矿与各市之间的运输价格（元/吨）如下表，试建立完全满足城市用煤需求，又使运费的总费用最少的数学模型.城市 煤矿 A B C 日产量（吨）甲 90 70 100 200 乙 80 65 80 250 日需求量（吨）100 150 200 解 设总运费为S,甲、乙两煤矿调运,A

3、B C三个城市的用煤数量如下表所示 A B C 甲 x1 x2 x3 乙 x4 x5 x6 由数据可以看出，两个煤矿 与三个城市的总煤量相等，所以 两个煤矿的煤量应全部调出，三 个城市的用煤量全部满足，因而(1,2,6)ix i 满足线性方程组 123456142536200250100150200 xxxxxxxxxxxx运费的总费用为 1234569070100806580Sxxxxxx要解决的问题是：如何选择非负数ix使之满足线性方程组，使总费用S最小，这就是物资调运问题的数学模型.物资调运问题的解决，首先要对线性方程组进行研究.例 二元线性方程组 11 1122121 12222a x

4、a xba xa xb解的讨论.11 1122121 12222a xa xba xa xb12(,)x x有实数解 的充要条件是：两条直线 均过平面上的点 .12(,)x x111 11221:la xa xb221 12222:la xa xb解 平面上两条直线间有三种情况：相交、平行和重合，因此二元线性方程组的解也有三种形式：唯一解、无解和无穷多解，或者说方程组的解集中分别含有一个、零个和无穷多个元素.例 线性方程组的图像与解 121221(1)23xxxx 121221(2)21xxxx 121221(3)21xxxx x1x2x1x2x1x2唯一解 无解 无穷多解 方程组图像解线性方

5、程组的概念11 11221121 1222221 122 nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxbLLL L L L L L L L L L L LL11 1122121 122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxaxLLL L L L L L L L L L LL一般表达式矩阵表达式非齐次线性方程组齐次线性方程组ija称为方程组的系数，jx称为未知量，ib为方程组的常数项 111212122212nnmmmnaaaaaaaaaALLMMML12nxxxxM12mbbbbM000 M0系数矩阵未知量矩阵常数项矩

6、阵bAx 0Ax 线性方程组的系数和常数项构成的矩阵称为线性方程组的增广矩阵.11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaabALLMMM ML如果1122,nnxc xcxcL使得线性方程组中的每一个方程都成立，则称这n个数12,nc ccL是线性方程组的解.一个线性方程组的解的全体构成的集合称为这个线性方程组的解集合.两个具有相同解集合的线性方程组称为同解的.表示线性方程组的全部解的表达式称为线性方程组的通解.二、克拉默(Cramer)法则对于二元线性方程组11 1122121 12222a xa xba xa xb当系数行列式 111221220aaaaA时，二元线性方

7、程组有唯一解.2221121122212111aaaaababxAB2221121122111122aaaababaxAB上式给出了二元线性方程组的求解公式这一结果可以推广到一般的n元线性方程组.定理 1（克拉默法则）如果含有n个方程的n元线性方程组的系数矩阵的行列式不为零，即 11 11221121 1222221 122 nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xbLLL L L L L L L L L L LL1112121222120nnnnnnaaaaaaaaaALLMMML则线性方程组有唯一解，且 ABiix(1,2,)inL其中iB为系数行列式

8、A的第i列元素换成常数项元素其它元素不变所得到的行列式.证 将线性方程组表示为矩阵形式bAx，其中()ijn naA，12(,)Tnx xxxL，12(,)Tnb bbbL 由于0A，故A可逆，在方程bAx 两边左乘1A得方程组的解为bAx1，由逆矩阵的唯一性，可知方程组的解是唯一的.又1*1AAA，于是方程组的解bAx1可表示成 11121112122122121nnnnnnnnxAAAbxAAAbxAAAbALLMMMMML1112211112222211221nnnnnnnnnb Ab Ab Ab Ab Ab Ab Ab Ab AALLML取 111,111,11212,121,121,

9、11,1iiniininn ininnaabaaaabaaaabaaBLLLLMMMMMLL即iB为系数行列式A的第i列元素换成常数项元素其它元素不变所得到的行列式.将iB按第i列元素展开，得 1122,(1,2,)iiinnib Ab Ab AinBLL因此，方程组的解可以表示为ABiix(1,2,)inL.克拉默法则给出了含有n个方程的n元线性方程组当系数行列式不为零时的求解公式，因此，对于这类方程组的求解可以代求解公式ABiix，(1,2,)inL，但当n较大时计算量很大，需要计算1n个n阶行列式.从定理的证明过程中可以看到，解该类方程组，只需计算bA1，因此，该类方程组的解也可以通过矩

10、阵的初等变换法求得.1750 年，瑞士数学家克拉默在其著作线性代数分析导引中，给出了行列式的定义和展开法则，以及著名的克拉默法则。例 解线性方程组 1231231232323425xxxxxxxxx 解1 用克拉默法则，线性方程组的系数行列式为1211215121105111061142061 A因此线性方程组有唯一解，又132131133542 B213123111152 B312321322145 B所以线性方程组的解为 1233,1,2xxx 解2 用矩阵的初等变换求解，由于12131213()21130513142506 18 A b12130125001122 12130125001

11、2 100301010012 方程组的解为 123312xxx 21312rrrr121301250618 120501010012 23132rrrr23rr326rr23(1)(11)rr 122rr 如果将克拉默法则运用的n元齐次线性方程组上,则有下面定理.定理 2 若n元齐次线性方程组 11 1122121 122221 1220 00nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa xLLL L L L L L L L L L LL系数行列式0A，则齐次线性方程组只有零解.推论 若n元齐次线性方程组有非零解（即解不唯一），则其系数行列式0A.例 已知齐次线性方程组

12、 1231231230020 xkxxxxxkxxx有非零解 求k的值.解 由推论知，方程组的系数行列式必为零 2111111101012012kkkkkk A210(1)(2)012kkkkk 解得1k 或2k.说明：克拉默法则给出了线性方程组的解与系数的关系，具有一定的理论意义，但它仅适用于行列式不为零的 n 元线性方程组，且计算量大，对于一般的线性方程组的求解主要采用下述高斯消元法.三、高斯(Gauss)消元法例 求解线性方程组 123123132 3142542 26xxxxxxxx12323232 314 2 5xxxxxxx12323232 31 54 2xxxxxxx123233

13、2 31 5318xxxxxx 消元过程第二个方程减去第一个方程的2倍第三个方程减去第一个方程第二个方程与第三个方程互换第三个方程减去第二个方程的4倍解 线性方程组的解为 1239,1,6xxx 回代过程1232332 31 56xxxxxx 将第三个方程两边乘以 1/3第一个方程减去第三个方程的3倍第二个方程加上第三个方程12232 19 16xxxx 1232 18 16xxx 第一个方程加上第二个方程第一个方程两边乘以 1/2123 9 16xxx 上面解方程的过程，从到称为消元过程，从到称为回代过程.线性方程组称为阶梯形方程组，线性方程组称为最简形方程组.在上述求解线性方程组的过程中，

14、对方程组反复进行了 3 种类型的变换，这 3 种变换称为线性方程组的初等变换.即 在上述求解线性方程组的过程中，对方程组反复进行了 3 种类型的变换，这 3 种变换称为线性方程组的初等变换.即 定义 1 对线性方程组施行下列三种变换：(1)交换线性方程组中第i个和第j个方程，记作ijrr；(2)用非零数k乘以线性方程组中的第i个方程，记作irk；(3)将线性方程组中第j个方程乘以数k加到第i个方程上，记作ijrkr.称此三种变换为线性方程组的初等变换.从例 5 的求解过程中可以看到，对线性方程组所做的初等变换，只是对方程组的系数和常数项进行运算，也就是说对线性方程组实施的初等变换，相当于对线性

15、方程组的系数和常数项构成的增广矩阵进行相同的初等行变换.下面将例 5的求解过程做下比较.线性方程组同解变换 增广矩阵的初等变换 123123132 3142542 26xxxxxxxx初等变换 213142542026A12323232 31 54 2xxxxxxx21312rrrr21310412011512323232 31 54 2xxxxxxx23rr2131011504121232332 31 5318xxxxxx 2131011500318324rr 对线性方程组所作的同解变换过程，相当于对其增广矩阵作对应的初等行变换过程.1232332 31 56xxxxxx 33r 21310

16、115001612232 19 16xxxx 13233rrrr21019010100161232 18 16xxx 12rr2001801010016123 9 16xxx 12r 100901010016定理 3 对线性方程组Axb，若将其增广矩阵()A bM经初等行变换化为()C dM，则方程组Axb与Cxd是同解方程组.证 由于增广矩阵()A bM经初等行变换化为()C dM，而每作一次初等行变换相当于矩阵左乘一个相应的初等阵，故存在初等矩阵12,tP PPL使得 121()()ttPPP P A bC dLMM由分块矩阵的乘法，得121ttPPP P ACL121ttPPP PbdL

17、记121ttPPP PPL，因为初等矩阵可逆，故P也可逆，于是PAC，Pbd.设1为方程组Axb的解，即有1Ab，将其两边左乘P，得1PAPb，也即1Cd，所以1为方程组Cxd的解.反之，若2为方程组Cxd的解，即有2Cd，将其两边左乘1P，得112P CP d，也即2Ab，所以2为方程组Axb的解.所以，方程组Axb与Cxd是同解方程组.据此，求解线性方程组的解，就是用矩阵的初等行变换将增广矩阵化成行阶梯形矩阵，这种消元过程就称为高斯消元法.高斯是德国数学家，也是科学家，他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列

18、，有“数学王子”之称。例 解线性方程组 解 对增广矩阵A施行初等行变换 2341341241230123xxxxxxxxxxxx01100101111101211103A10111011100110100111 10111011100021100111 12rr101110110011012111034331rrrr32rr10111011100011100211 10111011100011100011 10102011010010000011 10002010010010000011 故方程组的解为12342,1,0,1.xxxx 34rr43423rrr1323rrrr142434rrr

19、rrr例 解线性方程组 12341234123423 13 5322 223xxxxxxxxxxxx解 对增广矩阵A施行初等行变换 123111231131532054012122305401 A123110540100002 12342323 154 102xxxxxx 即 最后一个方程为矛盾方程，所以方程组无解.213132rrrr32rr例 解线性方程组 1234123412341234 3+1 2 344 3210221140 xxxxxxxxxxxxxxxx解 对增广矩阵A施行初等行变换 1131111311112130052244321000156622114000522 A113

20、1100522000000000032423rrrr21314142rrrrrr行阶梯形矩阵对应的方程组为1234343+1 522xxxxxx13243431 52 2xxxxxx 即 对于任意给定24,xx都可唯一确定13,x x的值，从而得到原线性方程组的一个解，因此，原线性方程组有无穷多个解，并称24,xx为自由未知量.11311005220000000000A对行阶梯形矩阵继续实施初等行变换1111105522001550000000000 21253rrr从而有 124341115522+55xxxxx其中24,xx为自由未知量，称其为方程组的通解.若令2142,xc xc，其中1

21、2,c c为任意常数，则原线性方程组的通解还可以表示为 1122132421115522+55xccxcxcxc其中12,c c为任意常数.上述例题给出了线性方程组解可能出现的三种情况：唯一解、无穷多解和无解.问题：如何判别线性方程组是否有解？下面给出线性方程组有解的判定定理.四、线性方程组有解的判定定理定理 4 设A为m n矩阵，n元线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，即()()RRAA.证 由于方程组Axb为n元线性方程组，故增广矩阵A的第一列元素必不全为零.不妨设110a.将A的第 1 行分别乘以111iaa（2,3,im）再分别加到第i行上，可将A化为

22、111211111211212222222212200nnnnmmmnmmmnmaaabaaabaaabaabaaabaabALLLLMMMMMMMMLL111211,1112222,122,1100000000000000000000rrnrrnrrr rrnrraaaaabaaaabaaabbALLLLMMMMMMLLLLLLLMMMMMMLL矩阵的第 2 行至第m行，第2 列至第n列，重 复 进 行 上述变换，可将A最终化为行阶梯形矩阵.0iia(1,)ir行阶梯形矩阵对应的方程组原方程组同解，即111211,1111212222,12221,11 rrnrrnrrnrrnrrr rrn

23、rrrna xa xa xaxa xba xa xaxa xba xaxa xbLLLLL L L L L L L L L L L L L L LL1 0rb如果n元线性方程组Axb有解，则其同解方程组中10rb，否则方程组中将出现矛盾方程，因此()()RRAA.反之，如果()()RRAA，则10rb.(1)当rn时，阶梯形方程组为 1112111222222 nnnnnnnna xa xa xba xa xba xbLLL L L L由于0iia(1,2,)in，所以方程组的系数行列式不为零，由克拉默法则知，方程组有唯一解，因此原方程有唯一解.(2)当rn时，阶梯形方程组为 1112111,

24、1112122222,1221,11 rrnrrnrrnrrnrrrr rrnrrna xa xa xbaxa xa xa xbaxa xa xbaxa xLLLLL L L L L L L L L LL其中1,rnxxL为nr个自由未知量，对于任意给定1,rnxxL的一组值，相应的可以得到12,rx xxL的值，从而得到方程组的一个解，由于自由未知量的取值任意，因此方程组有无穷多个解.由定理 4 的证明可得下面定理 5.定理 5 设A为m n矩阵，对于n元线性方程组Axb,有(1)当()()RRnAA时，方程组Axb只有唯一的解；(2)当()()RRrnAA时，方程组Axb有无穷多个解；(3

25、)当()()RRAA时，方程组Axb有无解.对于n元齐次线性方程组 11 1122121 122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxaxLLL L L L L L L L L L LL其矩阵方程形式为Ax0，由于其增广矩阵A的最后一列元素全为零，因此有()()RRAA，将定理4,5 运用到n元齐次线性方程组上可得下述定理.定理 6 设A为m n矩阵，n元齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是()R An.定理 7 若n元齐次线性方程组Ax0系数矩阵的秩为r，即()RrA，则 (1)当rn时,齐次线性方程组Ax0仅有零解(2)当rn时，齐次线

26、性方程组Ax0有非零解，即有无穷多个解.特别地，对于含有n个方程的n元齐次线性方程组Ax0，由定理 2 和定理 6 可得 定理 8 设A为n n矩阵，n元齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是0A.对于mn矩阵A有()min(,)Rm nA，由此可得 推论 设A为m n矩阵，如果n元齐次线性方程组Ax0中，方程的个数少于未知量的个数，即mn，则齐次线性方程组Ax0必有非零解.求解线性方程组步骤(1)先通过消元过程用矩阵的初等行变换将增广矩阵化成行阶梯形矩阵;(2)用线性方程组有解的判定定理判别解的存在性;(3)如果线性方程组有解，再通过回代过程将行阶梯形矩阵化成行最简形矩阵，进而得到线性

27、方程组的解.例 讨论k取何值时，线性方程组 12341234123412342 +22453036433481711xxxxxxxxxxxxxxxxk有解，有解时求出其解.解 将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，有1211212112245300075436433007634817110021 158kk A12112007540001100004k 213141234rrrrrr32423rrrr当4k 时，方程组无解；当4k 时，方程组有无穷多个解.将4k 代入上面矩阵，继续作初等行变换 12112007540001100000121 039001070001100000 121200790010

28、70001100000 231327rrrrr12rr得原方程组的同解方程组1234212/79/71xxxx 即 123412/729/71xxxx 取2xc，得原方程组的通解 123412/729/71xcxcxx（c为任意常数）例 试确定k的值，使齐次线性方程组 12312312 0202 0 xxxkxxxxkx有非零解，并求线性方程组的解.解 由于方程组的系数行列式11111111121021021(2)(3)20022003kkkkkkkkkkA因此，当2k 或3k 时方程组有非零解.当2k 时，同解方程组为12300 xxx 即 1230 xxx.所以方程组一般解为 1230 x

29、cxcx（c为任意常数）111011101110221000300010220000200020 A213122rrrr22r 111011000010001000000000 322rr12rr当3k 时 111011101110321005200520230005200000 A310011105220100105500000000 同解方程组为 1323305205xxxx即 1323352 5xxxx 所以方程组通解为12332,55xc xc xc.213132rrrr32rr25r 12rr（c为任意常数）例 设有线性方程组 123123123(1)0(1)3 (1)xxxxxxx

30、xx问取何值时，方程组有(1)唯一解;(2)无解；(3)无穷多个解？并求通解.解 1 将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，有 1110111111311131111110 A111030(2)(1)1110300(3)(1)(3)13rr2131(1)rrrr 32rr(1)当0且3 时，()()3RRAA，有唯一解；(2)当0时，()1,()2RRAA，方程组无解；(3)当3 时,()()2RRAA,有无穷多个解.当3 时,将其代入矩阵，继续作初等变换 112311231011033601120112000000000000 A2(3)r 12rr同解方程组为132312xxxx 即 132312x

31、xxx 方程组通解为 1231,2,xcxcxc（c为任意常数）解2 方程组有唯一解的充分必要条件是系数行列式0A,由于 2111111111111(3)1 11(3)00(3)11111100 A(1)当0且3 时，有0A，方程组有唯一解.(2)当0时，1 1 1011101 1 1300011 1 100000 A2131rrrr由于()1,()2RRAA，所以方程组无解.(3)当3 时 211011231213121311232110 A112303360336 112301120000 101101120000 13rr21312rrrr322(3)rrr 12rr由于()()2RRAA，方程组有无穷多个解.方程组通解为 1231,2,xcxcxc（c为任意常数）对于线性方程组我们讨论了求解方程组的克拉默法则和高斯消元法，给出了方程组有解的判定定理，为了进一步深入分析线性方程组的各方程之间关系，各未知量的系数和常数项之间的关系，研究方程组在有无穷多解的情况下，这些解之间的关系和解集的结构特征等问题，需要引入研究工具n维向量及其理论.