沪科版轴对称与等腰三角形总复习资料(DOC 12页).doc

1、 一对一辅导教案学生姓名性别年级初二学科数学授课教师上课时间 年 月 日寒假一对一课程课时： 课时教学课题 轴对称知识点的回顾巩固复习教学目标1、回顾轴对称的相关知识概念和性质特点。2、掌握轴对称的性质和判定，以及运用。3、熟练解决有关轴对称的综合运用问题。教学重点与难点熟练掌握轴对称的相关性质运用和技巧教学过程知识点一：轴对称（一）轴对称图形和轴对称1、轴对称图形（1）定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对 称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。例 如，等腰三角形是轴对称图形，它的底边的垂直平分线是它的对

2、称轴其它如等边三角形、矩 形、圆、菱形、等腰梯形等都是轴对称图形如图1 （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。2、轴对称（1）定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关 于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点，也可以说这两 个图形关于这条直线成轴对称。如上右图。（2）成轴对称的两个图形的性质： 关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； 如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长

3、线相交，那么它们的交点在对称轴上.3、轴对称图形与轴对称的区别和联系（1）区别：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及 两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的。（2）联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这轴对称；如果把成 轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形（二）线段的垂直平分线1线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。2线段的垂直平分线的作法： 分别以点 A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于C、

4、D两点； 作直线 CD；则直线CD即为线段AB的垂直平分线。知识点二：作轴对称图形1作轴对称图形：（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点， 就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称 点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.2用坐标表示轴对称：点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）.知识点三：等腰三角形（一）等腰三角形1、定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形。2、等腰三角形性质（1）等腰三角形的

5、两个底角相等，即“等边对等角”；注意：常结合三角形内角和定理及推论解决角度的计算问题。 （2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）。 特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45。3、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）。 （二）等边三角形1、定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。2、等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60。3、等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形。

6、4、直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边 的一半。 规律方法指导：1、要注意轴对称图形与轴对称概念的区别与联系。2、线段的垂直平分线的两个性质是定理和逆定理的关系。3、点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）。程 度较好的学生可以考虑再拓展：点关于直线y=a,x=b，y=x等的对称。4、等腰三角形“三线合一”的性质可以这么理解：等腰三角形；顶角的平分线；底边上的中 线；底边上的高，以其中任意两个作为条件，就能推出其他两个结论。5、推理证明是本章的难点，要克服这个难点，可以结合所要求证的结

7、论一起考虑，即“两头凑”，帮 助我们克服这一困难。重点考点：1. 垂直平分线、角平分线的定义以及性质运用： 练一练：（1） 用直尺和圆规作已知线段的中垂线。（2） 用直尺和圆规作已知角的角平分线。经典练习选讲：1如图，AP、CP分别是ABC外角MAC与NCA的平分线，它们相交于点P，PDBM于点D，PFBN于点F求证：BP为MBN的平分线2.如右图所示，已知ABAC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点，若AB12cm，BCl0cm，A49，求DBC度数。 2、轴对称变换：定义：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换；利用坐标表示轴对称：利用平面直角坐标系中与已知点关于x轴或y轴对

8、称点的坐标的规律，可以在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴与y轴对称的图形。（由点到线，到面）*点（x，y）关于x轴对称的点是（x，y），关于y轴对称的点是（x，y）,关于原点对称的点是（x，y）, 关于y=x对称的点是（y，x）。例题：1、如图:(1)求点A关于y轴对称的点的坐标；(2)求点B关于x轴对称的点的坐标；2、3、轴对称作图，找点，使得距离之和最短问题相应经典练习选讲：（1）.如图：D，E为ABC两边AB，AC的中点，将ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若B50，则BDF=_（2）.把一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在BM或BM的延长线

9、上，那么EMF的度数为_。（3） .如图所示，梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD=AD=1，B60，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PCPD的最小值为_。（4） 在正方形ABCD中，M，N为AD和BC中点，将点C沿直线BE对折，使C落在MN上为F，求EBC。5、已知直线l为x+y=8，点P（x，y）在l上，且x0，y0，点A的坐标为（6，0）（1）设OPA的面积为S，求S与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（2）当S=9时，求点P的坐标；（3）在直线l上有一点M，使OM+MA的和最小，求点M的坐标6、如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正

10、方形的顶点上（1）在图中画出与ABC关于直线l成轴对称的ABC；（2）ABC的面积为；（3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短，则这个最短长度为个单位长度（在图形中标出点P）4、等腰三角形：（1） 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角；（2） 等腰三角形的性质：a：两腰相等；b：两底角相等；c：顶角平分线，底边上的中线，高三线重合（三线合一），d：对称性；（3） 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等（“等角对等边”）；（4） 等边三角形的定义：三边都相等的三角形叫

11、做等边三角形；*等边三角形是一种特殊的等腰三角形等边三角形的性质：a：等边三角形的三个内角相等，并且每个角都等于60度；b：等边三角形每一条边上都是三线合一；（5） 等边三角形的判定：a：三个角都相等的三角形是等边三角形；b：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。经典练习选讲：题型一：等腰三角形的性质（1）如图：在中，ABAC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD，则A等于_。（2）等腰三角形两边长为5cm和9cm，周长为_；等腰三角形两边长为4cm和9cm时，周长为_；若等腰三角形周长为40cm，一边长为14cm，其他两边长为_。（3）等腰三角形中一个角为40，则另外两个角为_,如果一个

12、角为100，那另外两个角为_.（4）如图所示：在ABC中，123，ABC为等边三角形，求BEC的度数（5）如图,ABC中,AD平分CAB交BC于D，且CD=2，C=900，DEF=900，B=FDB=22.50,AE=6,DF=4,求AB的长. 第（4）题图第5题图（6）如图,ABC中,AB=AC,E 在CA的延长线上,AEF=AFE,求证:EFBC。第6题图（7）如图所示：在ABC 中，BD=DE=EC=AD=AE，求BAC的度数。第（7）题图（8）如图，AD是等腰ABC的顶角平分线，P是AD上一点，连接CP,BP,并分别将它们延长，交AB于点F,交AC于点E(1)说出点E关于AD的对称点，

13、并说明理由；(2)找出图中与CPE全等的三角形，并说明理由；(3)若AD=6,BC=4,求图中阴影部分的面积。第（8）题 题型二：等腰三角形的三线合一（1）如图，在等腰RtABC中，ACB=90，D为BC的中点，DEAB，垂足为 E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF （1）求证：ADCF； （2）连接AF，试判断ACF的形状，并说明理由第（1）题图（2）如图，AC=BC,ACBC,AEBE,BD=2AE, 求证：BE平分ABC第2题图(3)如图，ABC=90，D、E分别在BC、AC上，ADDE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M（1）求证：FMC=FCM；（2）

14、AD与MC垂直吗？并说明理由第3题图等边三角形和等腰直角三角形的性质应用及判定（1）如图，在等边ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，BD=AE,AD与CE交于点F.求证：(1)AD=CE;(2)求DFC的度数。（2）如图，在RtABC中，B=90，ACB=60，D是BC延长线上一点，且AC=CD,则BC:CD= （3）已知，如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，AD是 A的平分线，求证：AC+CD=AB （4）两个全等的含30，60的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC,试判断EMC的形状，并说明理由。等腰三角形巩

15、固提高1. 如图，在ABC中，AB=AD=DC，BAD=26，求B和C的度数2、如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=P13P14=P14A，则A的度数是2、如图，点D，E在ABC的边BC上，ABAC，ADAE，求证BDCE3、如图，ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O.给出下列三个条件：EBO=DCO;BEO=CDO;BE=CD.AEBCOD(1) 上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）(2) 选择第（1）小题中的一种情形，证明ABC是等腰三角形ACBFEO3、如图，ABC中，ABC与ACB的平分线交

16、于点O，过点O作EFBC，交AB于点E，交AC于点F求证：EF=EB+FC.4、如图，AB，CEDA，CE交AB于E，求证CEB是等腰三角形5、如图，已知点B、C、D在同一条直线上，ABC和CDE都是等边三角形BE交AC于F，AD交CE于H，求证：BCEACD；求证：CF=CH；判断CFH的形状并说明理由6、如图在四边形ABCD中，B+ADC=180，AB=AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAF=BAD，求证：EF=BEFD7、已知：如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A（4，0），B（0，-4），P为y轴上B点下方一点，PB=m（m0），以AP为边作等腰直角三角形

17、APM，其中PM=PA，点M落在第四象限（1）求直线AB的解析式；（2）用m的代数式表示点M的坐标；（3）若直线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的结论并说明理由8、如图，在等边ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQAD于点Q（1）求证：ABECAD；（2）请问PQ与BP有何关系？并说明理由（备注：在直角三角形中，30所对直角边是是斜边的一半）观察探究：1、已知如图（1）：ABC中，AB=AC，B、C的平分线相交于点O，过点O作EFBC分别交AB、AC于E、F（1）写出线段EF与BE、CF间的数量关系？（不证明）（2）若AB

18、AC，其他条件不变，如图（2），图中线段EF与BE、CF间是否存在（1）中数量关系？请说明理由（3）若ABC中，ABAC，B的平分线与三角形外角ACD的平分线CO交于O，过O点作OEBC交AB于E，交AC于F，如图（3），这时图中线段EF与BE，CF间存在什么数量关系？请说明理由2、已知MON=40，OE平分MON，点A、B在射线OM、OE上，点C是射线ON上的一个动点，连接AC交射线OE于点D，设OAC=x（1）填空：若ABON，当BAD=ABD时，（如图），则x的度数为；当BAD=BDA时，（如图），则x的度数为；（2）若ABOM于点A（如图），且ADB是等腰三角形，求x的度数3、（1）观察与发现小明将三角形纸片ABC（ABAC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图（1）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D 重合，折痕为EF，展平纸片后得到AEF（如图（2），小明认为AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由。 实践与运用将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图（3）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D处，折痕为EG（如图（4）；再展平纸片（如图（5），求图（5）中的大小。12