1、 多元函数微分法及其应用 复习题及解答一、选择题1.极限= （ B ）(A)等于0；(B)不存在； (C)等于 ；(D)存在且不等于0或（提示：令） 2、设函数，则极限= （ C ）(A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数，则 （ A ） (A) 处处连续；(B) 处处有极限，但不连续；(C) 仅在（0,0）点连续；(D) 除（0,0）点外处处连续（提示：在，处处连续；在，令，故在，函数亦连续。所以，在整个定义域内处处连续。） 4、函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ）(A)必要而非充分条件； (B)充
2、分而非必要条件；(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件5、设，则= （ B ）(A) ；(B) ；(C) ；(D) 6、设，则 （ A ）（A）； （B）； （C）； （D）7、若，则 （C）（A）； （B）； （C）； （D）8、设，则 （C）（A）；（B）；（C）；（D）9、若，则= （ D ）(A) ；(B) ； (C) ；(D) 10、设，则 （ A ）(A) 2 ； (B) 1+ln2 ； (C) 0 ； (D) 1 11、设函数，则点 是函数 的 （ B ）（A）极大值点但非最大值点； （B）极大值点且是最大值点；（C）极小值点但非最小值点； （D）极小值点且是最小值点。
3、 12、设函数具有二阶连续偏导数，在处，有 （ C ），则（A）点是函数的极大值点； （B）点是函数的极小值点；（C）点非函数的极值点； （D）条件不够，无法判定。二、填空题1、极限= _ 。答：2、极限=_ 。答：3、函数的定义域为 _ 。答：4、函数的定义域为 _ 。答：，5、设函数，则= _ 。答：6、设函数，则= _ 。答：（）7、设，则_ 。答：3cos58、函数由方程所确定，则 0 9、设，则= _ 。答：9、函数的驻点是_。答：（1，1） 三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) (2)(3) (4) 解：(1)要使函数有意义，必须有，即有.故所求函数的定
4、义域为,图形为图3.1(2)要使函数有意义，必须有.故所有函数的定义域为，图形为图3.2(3)要使函数有意义，必须有，即且.故该函数的定义域为，图形为图3.3 (4)要使函数有意义，必须有.故该函数的定义域为，图形为图3.4 图3.1 图3.2 图3.3 图3.42、求极限 。解：= -83、设函数由方程所确定，求。答：4、设，求。 解：四、应用题。1、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产单位的产品甲与生产单位的产品乙的总费用是 元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数，令，解得唯一驻点（120，
5、80）. 又因，得.得极大值. 根据实际情况，此极大值就是最大值故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.五、证明题1、设, 求证. 证明： 因为, , 所以 2. 设2sin(x+2y-3z )=x+2y-3z, 证明证明：设F(x, y, z)=2sin(x+2y-3z)-x-2y+3z, 则 Fx=2cos(x+2y-3z)-1, Fy =2cos(x+2y-3z)2-2=2Fx, Fz=2cos(x+2y-3z)(-3)+3=-3Fx , , , 于是 . 3、设x=x(y, z), y=y(x, z), z=z(x, y)都是由方程F(x, y, z)=0所确定的具有连续偏导数的函数, 证明. 解：因为 , , , 所以 .
