高三数学总复习《函数的单调性》课件.ppt

1、第七讲第七讲 函数的单调性函数的单调性走进高考第一关走进高考第一关 考点关考点关回回 归归 教教 材材1.1.函数的单调性的定义函数的单调性的定义一般地一般地,设函数设函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为I:I:如果对于定义域如果对于定义域I I内某个区内某个区间间D D上的任意两个自变量的值上的任意两个自变量的值x x1 1,x,x2 2,当当x x1 1xx2 2时时,都有都有f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2)则则称称f(x)f(x)在区间在区间D D上为减函数上为减函数,若若f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2)则称则称f(x)f(x)在区间在区间D D上为减函数

2、上为减函数,区间区间D D叫做叫做y=f(x)y=f(x)的单调区间的单调区间,函数的单调性是函数的单调性是函数在某个区间上的整体性质函数在某个区间上的整体性质,所以讨论函数的单调性及单所以讨论函数的单调性及单调区间都必须考虑函数的定义域调区间都必须考虑函数的定义域;另外另外,在函数的单调性定义中的在函数的单调性定义中的x x1 1,x,x2 2满足满足:一是属于一个单调一是属于一个单调区间区间;二是任意性二是任意性;三是有大小三是有大小,即即x x1 1xxx2 2).).由于区间由于区间端点不具有单调性端点不具有单调性,因此写单调区间时因此写单调区间时,可以写成包含端点的可以写成包含端点的

3、闭区间闭区间,也可以写成不包含端点的开区间也可以写成不包含端点的开区间.2.2.函数单调性定义的等价形式函数单调性定义的等价形式(1)(1)对于任意对于任意x x1 1,x,x2 2a,b,(0)a,b,(0)0(0)(0-2x-30知知x-1x3,x3,由复合函数的单调性可知函数由复合函数的单调性可知函数在在(-,-1)(-,-1)上单调递减上单调递减,只有只有D D符合符合.2.2.已知已知f(x)f(x)为为R R上的减函数上的减函数,则满足则满足f()f(1)f()f(1)的实数的实数x x的取的取值范围值范围 ()()A.(-,1)A.(-,1)B.(1,+)B.(1,+)C.(-,

4、0)(0,1)C.(-,0)(0,1)D.(-,0)(1,+)D.(-,0)(1,+)1x答案答案:D:D 1:,1,11,10,.f xRffxxxDx解析 由于为 上的减函数得或故选3.(20103.(2010银川模拟银川模拟)下列函数在下列函数在(-,0)(-,0)为减函数的是为减函数的是()()A.y=logA.y=log2 2x xB.y=(x+1)B.y=(x+1)2 2C.y=10C.y=10 x xD.y=|x|D.y=|x|答案答案:D:D4.4.若函数若函数f(x)=logf(x)=log2 2(x(x2 2-ax+3a)-ax+3a)在区间在区间2,+)2,+)上是增函数

5、，上是增函数，则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是()()A.(-,4A.(-,4B.(-4,4B.(-4,4C.(-4,2C.(-4,2D.(-,-42,+)D.(-,-42,+)答案答案:B:Ba2:4a4.242a3a0解析 由题意得得5.(20095.(2009广东广东)函数函数f(x)=(x-3)ef(x)=(x-3)ex x的单调增区间是的单调增区间是 ()()A.(-,2)A.(-,2)B.(0,3)B.(0,3)C.(1,4)C.(1,4)D.2,+)D.2,+)答案答案:D:D解析解析:由由f(x)=ef(x)=ex x+e+ex x(x-3)=(x-2)e(x-3)=

6、(x-2)ex x0,0,得得x2.x2.解读高考第二关解读高考第二关 热点关热点关题型一题型一 求函数的单调区间求函数的单调区间例例1 1求下列函数的单调区间求下列函数的单调区间:21212a0a1;log(4);ln1.xyayxxyxx123且解解:(1):(1)令令t=1-xt=1-x2 2,则则t=1-xt=1-x2 2的递减区间是的递减区间是0,+),0,+),递增区间是递增区间是(-(-，0.0.又当又当a1a1时时,y=a,y=at t在在(-,+)(-,+)上是增函数上是增函数;当当0a10a1a1时时,函数的单调减区间是函数的单调减区间是0,+);0,+);单调增区间是单调

7、增区间是(-(-,0,0,当当0a10a0,)0,则则f(x)f(x)在给定区间上单调递增在给定区间上单调递增,若若f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)0,)1a1时时,为使函数为使函数y=f(x)=logy=f(x)=loga a(ax(ax2 2-x)-x)在闭区间在闭区间2,42,4是增函是增函数数,只需只需g(x)=axg(x)=ax2 2-x-x在在2,42,4上单调递增上单调递增,且恒为正且恒为正,121a,2a24a20a1,a1,140a1,.241640,aga 得又当时由题意得无解综上得综上得,当当a1a1时时,f(x)=log,f(x)=loga a(ax(ax

8、2 2-x)-x)在在2,42,4上为增函数上为增函数.点评点评:这是一道探索性命题这是一道探索性命题,解题时先假设存在解题时先假设存在,再去求解再去求解,对于已对于已知函数的单调性求字母的取值范围的问题知函数的单调性求字母的取值范围的问题,要根据单调性的要根据单调性的概念得到恒成立的不等式概念得到恒成立的不等式,同时还要注意定义域的限制同时还要注意定义域的限制.笑对高考第三关笑对高考第三关 技巧关技巧关函数的单调性是函数的一个非常重要的性质函数的单调性是函数的一个非常重要的性质,又是解决有关又是解决有关最值、值域、不等式等问题的基础最值、值域、不等式等问题的基础,因而单调性就成了高考因而单调

9、性就成了高考中重点考查的知识中重点考查的知识,对于有关抽象函数的单调性在证明时要对于有关抽象函数的单调性在证明时要根据题目的特征利用定义解题根据题目的特征利用定义解题.典例典例(1)(1)已知已知f(x)f(x)是在是在R R+上的函数且对于任意正数上的函数且对于任意正数x,yx,y都有都有f(xy)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)+f(y),当当x1x1时时,f(x)0,f(x)0 x0时时,f(x)0.,f(x)0.求证求证f(x)f(x)为增函数为增函数;若若f(2)=1,f(2)=1,解不等式解不等式f(xf(x2 2-x-2)2.-x-2)2.解解:(1):(1)任取任取x

10、 x1 1,x,x2 2RR+,设设x x2 2=x=x1 1xx其中其中x1,xx1,x2 2xx1 1f(xy)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)+f(y)f(xf(x2 2)=f(x)=f(x1 1x)=f(xx)=f(x1 1)+f(x)+f(x)f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)=f(x)=f(x)x1x1时时,f(x)0,f(x)1x1f(x)0f(x)0故故f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)0)0.x0.f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y)f(xf(x2 2)=f(x)=f(x1 1+x)=f(x+x)=f(x1 1)+f

11、(x)+f(x)即即f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)=f(x)=f(x)又又x0 x0时时,f(x)0,x0,f(x)0,f(x)0,x0,f(x)0故故f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)0)0f(x)f(x)为为R R上的增函数上的增函数.f(x+y)=f(x)+f(y),f(x+y)=f(x)+f(y),又又f(2)=1,f(2)=1,f(4)=f(2+2)=2f(2)=2,f(4)=f(2+2)=2f(2)=2,又由知又由知,f(x),f(x)在在R R上为增函数上为增函数.xx2 2-x-24,-x-24,即即x x2 2-x-60,-x-60,得得x3x3或

12、或x-2.xf(2)B.f(a+1)f(2)C.f(a+1)f(2)C.f(a+1)f(2)D.D.不确定不确定答案答案:B:B解析解析:由由f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)上单调递增上单调递增,知知0a1,0a1,故故1a+12,1a+1f(2).f(a+1)f(2).课时作业课时作业(七七)函数的单调性函数的单调性一、选择题一、选择题1.(20091.(2009浙江嘉兴模拟浙江嘉兴模拟)下列函数下列函数,在其定义域内既是奇函在其定义域内既是奇函数又是增函数的是数又是增函数的是 ()()A.y=-logA.y=-log2 2x(x0)x(x0)B.y=x+xB.y=x+x3 3(xR

13、)(xR)C.y=3C.y=3x x(xR)(xR)D.y=(xRD.y=(xR且且x0)x0)1x答案答案:B:B解析解析:y=-log:y=-log2 2x x单调递减单调递减,y=3,y=3x x不是奇函数不是奇函数,y=,y=是奇函数是奇函数,但但不单调不单调,只有只有B B符合题意符合题意.1x2.(20102.(2010山东烟台质检山东烟台质检)如果函数如果函数f(x)=axf(x)=ax2 2+2x-3+2x-3在区间在区间(-(-,4),4)上是单调递增的上是单调递增的,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是 ()()11A.aB.a4411C.a0.044Da 答案答案:

14、D:D 121212 0.2009340,0,11A.0,B.0,1C.,1D.0,344xaxf xaxaxf xf xxxaxx3陕西西安模拟 已知函数满足对任意都有成立 则 的取值范围是()答案答案:A:A4.4.设设(-,a)(-,a)是函数是函数 (x2)(x2)的反函数的一个单调的反函数的一个单调递增区间递增区间,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是 ()()A.a2A.a2B.a2B.a2C.a-2C.a-2D.a-2D.a-2 1 22xf xx答案答案:C:C 11 221:,2,222,2.xxyfxxxaa 解析的反函数为其增区间为又是反函数的一个增区间 故5.5.

15、若函数若函数f(x)f(x)是是R R上的增函数上的增函数,对实数对实数a,b,a,b,若若a+b0,a+b0,则有则有 ()()A.f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)A.f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)B.f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)B.f(a)+f(b)f(-a)-f(-b)C.f(a)-f(b)f(-a)-f(-b)D.f(a)-f(b)f(-a)-f(-b)D.f(a)-f(b)0,a-b,b-a,:a+b0,a-b,b-a,又又f(x)f(x)为为R R上的增函数上的增函数,f(a)f(-b),f(b)f(-a),f(a)f(-b),f(b)f(-a),故有

16、故有f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).6.6.已知已知f(x)f(x)为为R R上的减函数上的减函数,则满足则满足f(|)f(1)f(|)1,|1,得得-1x0-1x0或或0 x1.0 x1.二、填空题二、填空题7.y=log7.y=log2 2(x(x2 2-2x)-2x)的单调增区间是的单调增区间是_._.答案答案:(2,+):(2,+)28.4,0a10a1x,0 x0,a1a1x,0 x0,1log_.ayx 在给出的下列 个条件中能使函数为单调减函数的是答案答案:解析解析:利用复合函数的性质可知正确利用复合函数的性质可知正确.9.(2

17、0099.(2009江苏江苏)函数函数f(x)=xf(x)=x3 3-15x-15x2 2-33x+6-33x+6的单调减区间为的单调减区间为_._.答案答案:(-1,11):(-1,11)解析解析:由由f(x)=3xf(x)=3x2 2-30 x-33=3(x-30 x-33=3(x2 2-10 x-11)=3(x-11)(x+1)0,-10 x-11)=3(x-11)(x+1)0,得得-1x11.-1x0.a0.综上综上,得得a a的取值范围是的取值范围是0a1.00a0且且f(x)f(x)在在(1,+)(1,+)内单调递减内单调递减,求求a a的取值范围的取值范围.xf xxa12.(2

18、00912.(2009全国全国)设函数设函数f(x)=xf(x)=x3 3-(1+a)x-(1+a)x2 2+4ax+24a,+4ax+24a,其中其中常数常数a1.a1.(1)(1)讨论讨论f(x)f(x)的单调性的单调性;(2)(2)若当若当x0 x0时时,f(x)0,f(x)0恒成立恒成立,求求a a的取值范围的取值范围.13解解:(1)f(x)=x:(1)f(x)=x2 2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a)-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a)由由a1a1知知,当当x2x0,f(x)0,故故f(x)f(x)在在(-,2)(-,2)是增函数是增函数.当当2x2a2x2a时时,f(x)0,f(x)2ax2a时时,f(x)0,f(x)0,故故f(x)f(x)在区间在区间(2a,+)(2a,+)是增函数是增函数.综上得综上得,当当a1a1时时,f(x),f(x)在区间在区间(-,2)(-,2)和和(2a,+)(2a,+)是增函数是增函数,在区间在区间(2,2a)(2,2a)是减函数是减函数.